高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 基本不等式

課時作業(yè)(四)基本不等式一、單項(xiàng)選擇題1．“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由a>b>0，可知a2＋b2>2ab，充分性成立；由ab<eq\f(a2＋b2,2)，可知a≠b，a，b∈R，故必要性不成立．]2．(2023·平頂山模擬)若M＝eq\f(a2＋4,a)(a∈R，a≠0)，則M的取值范圍為()A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]C．[4，＋∞) D．[－4，4]A[M＝eq\f(a2＋4,a)＝a＋eq\f(4,a)，當(dāng)a>0時，M≥4；當(dāng)a<0時，M≤－4.]3．若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4C[因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a>0，b>0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時取等號)，所以ab的最小值為2eq\r(2).]4．若m>0，n>0，m＋2n＝1，則eq\f(1,m)＋eq\f(m＋1,n)的最小值為()A．4B．5C．7D．6C[由m，n>0，m＋2n＝1，得m＝1－2n，所以eq\f(1,m)＋eq\f(m＋1,n)＝eq\f(1,m)＋eq\f(（1－2n）＋1,n)＝eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)－2，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋2n)＝5＋eq\f(2n,m)＋eq\f(2m,n)≥5＋2·eq\r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,3)時等號成立，所以eq\f(1,m)＋eq\f(m＋1,n)＝eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)－2≥9－2＝7.故選C.]5．(2023·河北廊坊聯(lián)考)已知a，b∈(0，＋∞)，且1＋eq\f(2,ab)＝eq\f(9,a＋b)，則a＋b的取值范圍是()A．[1，9]B．[1，8]C．[8，＋∞)D．[9，＋∞)B[∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≥ab，可得eq\f(1,ab)≥eq\f(4,（a＋b）2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．∵1＋eq\f(2,ab)＝eq\f(9,a＋b)，∴eq\f(9,a＋b)－1＝eq\f(2,ab)≥eq\f(8,（a＋b）2)，化為(a＋b)2－9(a＋b)＋8≤0，解得1≤a＋b≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)或a＝b＝4時取等號，∴a＋b的取值范圍是[1，8].故選B.]6．(2023·廣州期末)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋6x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,3)))，則eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)的最小值為()A．4B．8C．16D．32B[實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋6x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,3)))，∴x＝eq\f(4,y＋6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))，y>0，則eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)＝y(tǒng)＋6＋eq\f(1,y)≥2＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1，x＝eq\f(4,7)時取等號．∴eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)的最小值為8.]7.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C．eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D．eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)D[由AC＝a，BC＝b，可得圓O的半徑r＝eq\f(a＋b,2)，又OC＝OB－BC＝eq\f(a＋b,2)－b＝eq\f(a－b,2)，則FC2＝OC2＋OF2＝eq\f(（a－b）2,4)＋eq\f(（a＋b）2,4)＝eq\f(a2＋b2,2)，再根據(jù)題圖知FO≤FC，即eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．故選D.]8．(2023·廣東珠海高三期末)已知x>0，y>0，z>0，且eq\f(9,y＋z)＋eq\f(1,x)＝1，則x＋y＋z的最小值為()A．8 B．9C．12 D．16D[∵y>0，z>0，∴y＋z>0，又eq\f(9,y＋z)＋eq\f(1,x)＝1，x>0，∴x＋y＋z＝[x＋(y＋z)](eq\f(1,x)＋eq\f(9,y＋z))＝10＋eq\f(9x,y＋z)＋eq\f(y＋z,x)≥10＋2eq\r(\f(9x,y＋z)·\f(y＋z,x))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(9x,y＋z)＝eq\f(y＋z,x)，即y＋z＝3x時等號成立，∴x＋y＋z的最小值為16.故選D.]二、多項(xiàng)選擇題9．下列選項(xiàng)錯誤的是()A．兩個不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是相同的B．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2C．函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值為4D．x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充要條件ABCD[對于選項(xiàng)A，不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0；對于選項(xiàng)B，函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的值域是(－∞，2]∪[2，＋∞)，沒有最小值；對于選項(xiàng)C，函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)沒有最小值；對于選項(xiàng)D，x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充分不必要條件．]10．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列選項(xiàng)中正確的是()A．a(chǎn)b有最大值eq\f(1,4) B．eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4 D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)AC[因?yàn)閍>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以ab≤eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時取等號，所以ab有最大值eq\f(1,4)，所以選項(xiàng)A正確；eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)取等號，所以eq\r(a)＋eq\r(b)的最小值是eq\r(2)，所以B錯誤；因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時取等號，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4，所以C正確；因?yàn)閍2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時取等號，所以a2＋b2的最小值不是eq\f(\r(2),2)，所以D錯誤．故選AC.]11．(2023·山東卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2) B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2 D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)ABD[對于A項(xiàng)，因?yàn)閍2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥eq\f(1,2)，正確；對于B項(xiàng)，易知0<a<1，0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝eq\f(1,2)，正確；對于C項(xiàng)，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，則log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)<－2，錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)閑q\r(2)＝eq\r(2（a＋b）)，所以[eq\r(2（a＋b）)]2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，所以eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，正確，故選ABD項(xiàng)．]12．(開放型)一個矩形的周長為l，面積為S，則如下四組數(shù)對中，可作為數(shù)對(S，l)的是()A．(1，4) B．(6，8)C．(7，12) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))AC[設(shè)矩形的邊長分別為x，y，則x＋y＝eq\f(1,2)l，S＝xy.對于A，(1，4)，則x＋y＝2，xy＝1，根據(jù)基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，符合題意；對于B，(6，8)，則x＋y＝4，xy＝6，根據(jù)基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，不符合題意；對于C，(7，12)，則x＋y＝6，xy＝7，根據(jù)基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，符合題意；對于D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，則x＋y＝eq\f(1,4)，xy＝3，根據(jù)基本不等式得xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)，不符合題意．故選AC.]三、填空題13．不等式a＋1≥2eq\r(a)(a>0)中等號成立的條件是________．解析：因?yàn)閍>0，根據(jù)基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故a＋1≥2eq\r(a)中等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝1.答案：a＝114．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為________．解析：因?yàn)閥＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2(x>－1)，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時等號成立．答案：015．(2023·河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是________萬元．解析：每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，此時每臺機(jī)