高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程第2章3

2．5圓錐曲線的統(tǒng)一定義[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義.2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題．[知識(shí)鏈接]1．橢圓上一點(diǎn)到準(zhǔn)線距離與它到對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)距離之比等于多少？答：eq\f(1,e).2．動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F的距離與到一條定直線l的距離之比為定值的軌跡一定是圓錐曲線嗎？答：當(dāng)F?l時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M軌跡是圓錐曲線．當(dāng)F∈l時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M軌跡是過(guò)F且與l垂直的直線．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．0<e<1時(shí)，它表示橢圓；e>1時(shí)，它表示雙曲線；e＝1時(shí)，它表示拋物線．2．對(duì)于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，與F(c,0)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l：x＝eq\f(a2,c)，與F′(－c，0)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l′：x＝－eq\f(a2,c)；如果焦點(diǎn)在y軸上，則兩條準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c).要點(diǎn)一統(tǒng)一定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離等于，那么，P到右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．答案8解析如圖所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1,＝e＝eq\f(4,5)，∴PF1＝2，∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.規(guī)律方法橢圓的兩個(gè)定義從不同角度反映了橢圓的特征，解題時(shí)要靈活運(yùn)用．一般地，如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的問(wèn)題，應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓的定義；如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)及一定直線距離的問(wèn)題，應(yīng)自然聯(lián)想到統(tǒng)一定義；若兩者都涉及，則要綜合運(yùn)用兩個(gè)定義才行．跟蹤演練1已知橢圓eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為b(b>1)，求P到左準(zhǔn)線的距離．解方法一由eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得a＝2b，c＝eq\r(3)b，e＝eq\f(\r(3),2).由橢圓第一定義，PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.由橢圓第二定義，eq\f(PF1,d1)＝e，d1為P到左準(zhǔn)線的距離，∴d1＝eq\f(PF1,e)＝2eq\r(3)b，即P到左準(zhǔn)線的距離為2eq\r(3)b.方法二∵eq\f(PF2,d2)＝e，d2為P到右準(zhǔn)線的距離．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴d2＝eq\f(PF2,e)＝eq\f(2\r(3),3)b.又橢圓的兩準(zhǔn)線的距離為2·eq\f(a2,c)＝eq\f(8\r(3),3)b，∴P到左準(zhǔn)線的距離為eq\f(8\r(3),3)b－eq\f(2\r(3),3)b＝2eq\r(3)b.要點(diǎn)二應(yīng)用統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化求最值例2已知橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，－1)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)M，使MP＋2MF之值為最?。庠O(shè)d為M到右準(zhǔn)線的距離．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(MF,\f(1,2))＝d，即d＝2MF(如圖)．故MP＋2MF＝MP＋MM′.顯然，當(dāng)P、M、M′三點(diǎn)共線時(shí)，所求的值為最小，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(2,3)eq\r(15)，－1)．規(guī)律方法本例中，利用統(tǒng)一定義，將橢圓上點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再利用圖形的形象直觀，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決．跟蹤演練2已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(9,2)，試在雙曲線上求一點(diǎn)M，使MA＋eq\f(3,5)MF的值最小，并求這個(gè)最小值．解過(guò)M作MN垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線l于N，由第二定義可知MN＝eq\f(MF,e)(如圖)．又a＝3，b＝4，c＝5，e＝eq\f(5,3)，∴MN＝eq\f(3,5)MF，∴MA＋eq\f(3,5)MF＝MA＋MN，顯然當(dāng)M、N、A三點(diǎn)共線時(shí)MA＋MN＝AN為最小，即MA＋eq\f(3,5)MF取得最小值，此時(shí)AN＝9－eq\f(a2,c)＝9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5)，∴MA＋eq\f(3,5)MF的最小值為eq\f(36,5)，此時(shí)點(diǎn)M(eq\f(3\r(5),2)，2)．要點(diǎn)三圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應(yīng)用例3已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,\f(9,25)a2)＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，且AF2＋BF2＝eq\f(8,5)a，AB的中點(diǎn)N到左準(zhǔn)線的距離等于eq\f(3,2)，求此橢圓方程．解設(shè)F1為左焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓定義有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－eq\f(8,5)a＝eq\f(12,5)a.再設(shè)A、B、N三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為d1，d2，d3，由梯形中位線定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f(9,25)a2，∴c2＝eq\f(16,25)a2，∴離心率e＝eq\f(4,5)，由統(tǒng)一定義AF1＝ed1，BF1＝ed2，∴AF1＋BF1＝eq\f(12,5)a＝e(d1＋d2)＝eq\f(12,5)，∴a＝1，∴橢圓方程為x2＋eq\f(y2,\f(9,25))＝1.規(guī)律方法在圓錐曲線有關(guān)問(wèn)題中，充分利用圓錐曲線的共同特征，將曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化是一種常用方法．跟蹤演練3設(shè)P(x0，y0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1為其左焦點(diǎn)．(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1上求一點(diǎn)P，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直．解(1)對(duì)應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a2,c)，根據(jù)統(tǒng)一定義：eq\f(PF1,x0＋\f(a2,c))＝e，∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，∴當(dāng)x0＝－a時(shí)，(PF1)min＝a＋eq\f(c,a)×(－a)＝a－c；當(dāng)x0＝a時(shí)，(PF1)max＝a＋eq\f(c,a)·a＝a＋c.(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝eq\f(4,5).∵PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.將數(shù)據(jù)代入得25＋eq\f(4,5)xeq\o\al(2,0)＝40.∴x0＝±eq\f(5\r(3),2).代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)，\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)，－\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，－\f(\r(5),2))).1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為_(kāi)_______．答案－1<k<1解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋k>0，,1－k>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>－1，,k<1，))即－1<k<1.2．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是________．答案2解析設(shè)P(x0，y0)，則eq\o(PF,\s\up6(→))1＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(1－x0，－y0)，∴eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(－2x0，－2y0)，∴|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2).∵點(diǎn)P在橢圓上，∴0≤yeq\o\al(2,0)≤1，∴當(dāng)yeq\o\al(2,0)＝1時(shí)，|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|取最小值為2.3．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．滿(mǎn)足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________．答案(0，eq\f(\r(2),2))解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2＋y2＝c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則OP>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知OP≥b，其中b為橢圓短半軸長(zhǎng)，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，∴(eq\f(c,a))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).4．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，有相同的焦點(diǎn)(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是________．答案eq\f(1,2)解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝c2，①,m2＋n2＝c2，②,c2＝am，③,2n2＝2m2＋c2，④))由②④可得m2＋n2＝2n2－2m2，即n2＝3m2，⑤⑤代入②得4m2＝c2?c＝2m，⑥⑥代入③得4m2＝am?a＝4m.所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).1.三種圓錐曲線的共同特征是曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線距離的比是常數(shù)．2．利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義可實(shí)現(xiàn)曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的相互轉(zhuǎn)化．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝______.答案－1解析焦點(diǎn)為(1,0)，代入直線方程，可得a＝－1.2．已知橢圓的準(zhǔn)線方程為y＝±4，離心率為eq\f(1,2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________．答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝4，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1.))所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.3．雙曲線3x2－y2＝9，P是雙曲線上一點(diǎn)，則P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的比值為_(kāi)_______．答案2解析由統(tǒng)一定義，所求距離之比即為雙曲線的離心率．雙曲線方程可化為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，得a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(12),\r(3))＝2.4．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為3，則點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．答案5解析依題意e＝eq\f(3,5)，所以點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離d＝eq\f(PF1,e)＝5.5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，右準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(\r(3),3)，則雙曲線方程為_(kāi)_________．答案x2－eq\f(y2,2)＝1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,\f(a2,c)＝\f(\r(3),3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝\r(3)，))所以b2＝3－1＝2.所以雙曲線方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.6．已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線與雙曲線x2－y2＝2的左準(zhǔn)線重合，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(1,0)解析雙曲線的左準(zhǔn)線為x＝－1，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．7．已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，一條準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(9,5)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝\f(9,5)，,\f(a,b)＝\f(3,4)，,a2＋b2＝c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))所以所求雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.二、能力提升8．已知點(diǎn)P在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上，F(xiàn)1、F2是橢圓的上、下焦點(diǎn)，M是PF1的中點(diǎn)，OM＝4，則點(diǎn)P到下準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．答案eq\f(40,3)解析因?yàn)镺M是△F1F2P的中位線，所以PF2＝2OM＝8.又e＝eq\f(3,5)，所以P到下準(zhǔn)線的距離d＝eq\f(PF2,e)＝8×eq\f(5,3)＝eq\f(40,3).9．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上橫坐標(biāo)為eq\f(3a,2)的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．答案(2，＋∞)解析由已知得(eq\f(3a,2)－eq\f(a2,c))e>eq\f(3a,2)＋eq\f(a2,c)，即3c2>5ac＋2a2，所以3e2－5e－2>0，解得e>2或e<－eq\f(1,3)(舍去)．10．在給定的橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為eq\r(2)，焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為1，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(2),2)解析設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則右焦點(diǎn)F(c,0)，右準(zhǔn)線l：x＝eq\f(a2,c).把x＝c代入橢圓的方程得y2＝b2(1－eq\f(c2,a2))＝eq\f(b4,a2)，即y＝±eq\f(b2,a).依題設(shè)知eq\f(2b2,a)＝eq\r(2)且eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c)＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b2,a)·eq\f(c,b2)＝eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),2).11．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，－2)，且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求以雙曲線的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解(1)橢圓的焦點(diǎn)為(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，它也是雙曲線的焦點(diǎn)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．則由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝2.))所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)可知雙曲線的右準(zhǔn)線為x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(3\r(5),5).它也是拋物線的準(zhǔn)線，所以eq\f(p,2)＝eq\f(3\r(5),5)，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(12\r(5),5)x.12．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，點(diǎn)F2到右準(zhǔn)線l的距離為eq\r(2).(1)求a、b的值；(2)設(shè)M、N是l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0，證明：當(dāng)|eq\o(MN,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，eq\o(F2F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2M,\s\up6(→))＋eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0.(1)解因?yàn)閑＝eq\f(c,a)，F(xiàn)2到l的距離d＝eq\f(a2,c)－c，所以由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(a2,c)－c＝\r(2)，))解得c＝eq\r(2)，a＝2.由b2＝a2－c2＝2，得b＝eq\r(2).故a＝2，b＝eq\r(2).(2)證明由c＝eq\r(2)，a＝2得F1(－eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(eq\r(2)，0)，l的方程為x＝2eq\r(2)，故可設(shè)M(2eq\r(2)，y1)，N(2eq\r(2)，y2)．由eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0知(2eq\r(2)＋eq\r(2)，y1)·(2eq\r(2)－eq\r(2)，y2)＝0，得y1y2＝－6，所以y1y2≠0，y2＝－eq\f(6,y1).|eq\o