高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)的基本性質(zhì)（市一等獎(jiǎng)）

6．函數(shù)的單調(diào)性黃文輝學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解函數(shù)的單調(diào)性，體會(huì)怎樣由圖象語(yǔ)言、文字語(yǔ)言的自然描述轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)的單調(diào)性．2．能差別或證明一些簡(jiǎn)單的單調(diào)性．3．能夠通過(guò)圖象來(lái)判斷單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．4．理解最大（?。┲导捌鋷缀我饬x．5．掌握一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．增函數(shù)和減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的__________兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有：那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．__________那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．幾何意義函數(shù)在區(qū)間上的圖象是__________的．函數(shù)在區(qū)間上的圖象是__________的．圖解表示2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間叫做的__________．3．題型分析（1）用定義證明（判斷）函數(shù)的單調(diào)性；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．給出函數(shù)：①；②；③；④，，其中在其定義域上是增函數(shù)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D2．已知函數(shù)滿足條件：，則關(guān)于這一函數(shù)正確的說(shuō)法是（）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是D．函數(shù)在區(qū)間上一定不單調(diào)遞增，在區(qū)間上一定不單遞減3．函數(shù)是定義在上單調(diào)遞減函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)和，根據(jù)函數(shù)的圖象，可以得知不等式的解集是（）A． B．C． D．4．解決下列問(wèn)題：（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出其單調(diào)遞增區(qū)間是__________．（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出其單調(diào)遞減區(qū)間是__________．5．根據(jù)最大值的定義，證明的最大值為，寫出取最大值時(shí)的．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．下列函數(shù)哪幾個(gè)函數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量，當(dāng)時(shí)，都有？（1），；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）．2．（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，在觀察函數(shù)的圖象基礎(chǔ)上，請(qǐng)寫出一次函數(shù)、二次函數(shù)有的單調(diào)區(qū)間．（2）證明在區(qū)間上單調(diào)遞減．3．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且在區(qū)間[3，4]上也單調(diào)遞增，我們能否說(shuō)[-1，2][3，4]是函數(shù)的遞增區(qū)間？我們能否說(shuō)反比例函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，為什么？4．仔細(xì)閱讀、理解和記憶教材上的函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷下列說(shuō)法是否正確；（1）若定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是上的增函數(shù)；（2）若定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是上不是減函數(shù)；（3）若函數(shù)在和上都是增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)；（4）若函數(shù)在和上都是增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)；5．函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，其圖象有不同的形態(tài)，觀察下列三個(gè)函數(shù)的圖象，隨的增大而增大速度最快的是哪一個(gè)，你是如何判斷的？ 6．關(guān)于函數(shù)的最大（?。┲担铝心男┱f(shuō)法是正確的？（1）定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有，則有最大值6．（2）如果函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么一定有最大（小）值．7．思維拓展：已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是，對(duì)于任意的，．（1）試根據(jù)下列條件，用“單調(diào)增函數(shù)”、“單調(diào)減函數(shù)”填空：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)增函數(shù)（1）你能否說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有何內(nèi)在的聯(lián)系？寫出的單調(diào)區(qū)間．在判斷的單調(diào)區(qū)間時(shí)需要注意哪些問(wèn)題？（3）請(qǐng)選擇表格中的一個(gè)結(jié)論進(jìn)行論證．案例分析1．下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】C．【解析】注意到函數(shù)是以為對(duì)稱軸的開(kāi)口向下的拋物線，在上為增函數(shù)；是以為對(duì)稱軸的開(kāi)口向上的拋物線，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)；是以為對(duì)稱軸的開(kāi)口向上的拋物線，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)；的圖象是出現(xiàn)在第2和第4象限的兩支雙曲線，在上單調(diào)遞增．2．畫(huà)出下列函數(shù)圖象，并寫出相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）；（2）【解析】（1）（圖略）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（）；（2）如圖，函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)．3．（1）根據(jù)最小值的定義，證明的最小值為2，寫出取最小值時(shí)的．（2）判斷（）的單調(diào)性，并求函數(shù)的最大值和最小值．【解析】（1）任取，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．由于，所以，即．所以，當(dāng)時(shí)，的最小值是．（2）任取，且設(shè)元求差=變形，由，且，得斷號(hào)所以，即，故在區(qū)間上是減函數(shù)．結(jié)論所以，當(dāng)時(shí)，有最小值2；沒(méi)有最大值．三、能力提升能力闖關(guān)1．函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，是定義在上的增函數(shù)，則下列函數(shù)中在上一定是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．2．解決下列問(wèn)題：（1）設(shè)函數(shù)是定義上的減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，若（），能否確定與的大小關(guān)系？若能，試比較它們的大小；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．求證：函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．拓展遷移4．已知函數(shù)．若在區(qū)間是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．設(shè)定義在上的函數(shù)對(duì)于任意都有成立，且，當(dāng)時(shí)，．（1）判斷的單調(diào)性，并加以證明；（2）試問(wèn)：當(dāng)時(shí)，是否有最值？如果有，求出最值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．挑戰(zhàn)極限6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒有成立，且對(duì)任意，恒有，求證：（1）為增函數(shù)；（2）；（3）．（3）由（2）得，課程小結(jié)1．高中學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，是一個(gè)逐步提高認(rèn)識(shí)的過(guò)程，隨著高二導(dǎo)數(shù)知識(shí)的介入，我們研究函數(shù)單調(diào)性的方法和手法也會(huì)變得靈活多樣．高一時(shí)期學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，應(yīng)注意體會(huì)由圖象語(yǔ)言、文字語(yǔ)言的自然描述轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)的單調(diào)性．2．單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，在定義域的不同區(qū)間，單調(diào)性可能不同．3．在函數(shù)單調(diào)性的定義中，要特別強(qiáng)調(diào)的“任意”這個(gè)詞．由此可知，若要說(shuō)明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)增（減）函數(shù)，只要在該區(qū)間上，找到兩個(gè)值，當(dāng)，有（）成立，即可說(shuō)明該區(qū)間不是函數(shù)的增（減）區(qū)間．4．證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的方法與步驟：設(shè)元，求差，變形，斷號(hào)，定論．5．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度比較好的同學(xué)研究下列問(wèn)題：（1）若在同一區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)，那么函數(shù)在此區(qū)間上是否一定是單調(diào)增函數(shù)．（2）函數(shù)的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有何內(nèi)在關(guān)系．6．認(rèn)真理解函數(shù)的最大（?。┲档亩x，求函數(shù)的最大（?。┲档幕舅悸肥茄芯亢瘮?shù)的單調(diào)性．想一想每一個(gè)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)嗎？

6．函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)梳理1．任意，，，上升，下降．2．單調(diào)區(qū)間．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．．．．．【解析】?jī)H③④滿足要求，這里要特別注意②在其定義域上不是增函數(shù)．2．．【解析】?jī)H由幾個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系無(wú)法確定函數(shù)的單調(diào)性，可以舉反例說(shuō)明．3．．【解析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)示意圖（如右圖），不等式，從函數(shù)圖象容易看出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．故所求解集為．4．【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)稱軸，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）函數(shù)的圖象如右圖：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間是：．（3）其單調(diào)遞減區(qū)間是：．5．【解析】（1）任取，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．由于，所以，即．所以，當(dāng)時(shí)，的最大值是．自主探究1．【解析】（1）（2）（3）（4）．2．【解析】（1）對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減．對(duì)于一般的二次函數(shù)．分兩種情況：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）證明：任取，且，則，∵，，又，∴，即，∴，故二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．3．【解析】首先函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而方的，離開(kāi)取值區(qū)間來(lái)談?wù)摵瘮?shù)單調(diào)性是沒(méi)有意義的，其次區(qū)間必須是某一連續(xù)取值范圍，不能有取值間斷點(diǎn)，所以不是區(qū)間，更加不能作為單調(diào)區(qū)間，再其次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且在區(qū)間上也單調(diào)遞增，也不能保證函數(shù)在上隨著的增大，相應(yīng)的也一定增大（如圖所示），綜上各種理由，我們不能說(shuō)是函數(shù)的遞增區(qū)間．顯然我們也不能說(shuō)反比例函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，原因是但．4．【解析】（1）是錯(cuò)誤的，我們不能根據(jù)有限個(gè)點(diǎn)來(lái)判斷函數(shù)增減性，這里應(yīng)深刻理解函數(shù)單調(diào)性定義中的“任意的兩個(gè)自變量”的意義．（2）是正確的．（3）是錯(cuò)誤的，如右圖所示；（4）是正確的，可用定義嚴(yán)格證明．5．【解析】（3）速度最快，在圖象上任取兩點(diǎn)根據(jù)來(lái)比較即可．6．【解析】均不對(duì)，對(duì)于（1）可能不存在，例如，但不能說(shuō)的最小值是．對(duì)于（2）在開(kāi)區(qū)間既沒(méi)有最大值，又沒(méi)有最小值．7．思維拓展：【解析】（1）答案分別是：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)、單調(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)．（2）“同增異減”．的單調(diào)區(qū)間是．在判斷的單調(diào)區(qū)間時(shí)需要注意是否有“對(duì)于任意的”．（3）已知：函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，對(duì)于任意的，．求證：在內(nèi)為增函數(shù)．證明：設(shè)，且，∵在定義域內(nèi)為減函數(shù)，∴，且．∵在定義域內(nèi)為減函數(shù)，，，∴，∴在內(nèi)為增函數(shù)．能力闖關(guān)1．．【解析】由定義可以斷定，舉反例也能排除．2．【解析】（1）由函數(shù)是定義上的減函數(shù)，及，得到所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）能，證明如下：由已知，所以，由是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，得，同理可得，兩式相加即得．3．【解析】方法一：設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，同理，所以，即，所以，故在上是單調(diào)減函數(shù)．方法二：函數(shù)可化為，于是可直接比較與的大小，后略．拓展遷移4．【解析】設(shè)，，由，得，，于是在區(qū)間是增函數(shù)恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．5．【解析】（1）函數(shù)在上單