高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊總復(fù)習總復(fù)習 章末質(zhì)量評估

第一章一、選擇題(本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1解析：∵y′＝2x＋a，∴曲線y＝x2＋ax＋b在(0，b)處的切線方程的斜率為a，切線方程為y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.答案：A2．函數(shù)y＝x2cosx的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝2xcosx－x2sinx B．y′＝2xcosx＋x2sinxC．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－x2sinx解析：利用求導(dǎo)法則運算．答案：A3．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝()A．e2 B．eC．eq\f(ln2,2) D．ln2解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，f′(x0)＝lnx0＋1＝2?x0＝e.答案：B4．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)解析：由f′(2)，f′(3)的幾何意義知f′(2)>f′(3)>0，設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，則kAB＝eq\f(f3－f2,3－2)，由圖象知0<f′(3)<kAB<f′(2)．答案：B5．過曲線y＝eq\f(x＋1,x2)(x>0)上橫坐標為1的點的切線方程為()A．3x＋y－1＝0 B．3x＋y－5＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：∵y′＝eq\f(x2－2xx＋1,x4)＝eq\f(－x2－2x,x4)，∴該切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝－3，則所求的切線方程為y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0，故選B.答案：B6．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，則A．f(0)<f(6) B．f(0)＝f(6)C．f(0)>f(6) D．無法確定解析：f′(x)＝2x＋2f′(2)?f′(2)＝4＋2f′(2)?f′(2從而f(x)＝x2－8x＋3，其對稱軸為x＝4，則f(0)>f(6)．答案：C7．如圖，陰影部分的面積是()A．2eq\r(3) B．－2eq\r(3)C．eq\f(35,3) D．eq\f(32,3)解析：S＝eq\a\vs4\al(\i\in(,1,－3))(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,－3)＝eq\f(32,3).答案：D8．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝x2－4x＋3，則函數(shù)f(x＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(2,4) B．(－3，－1)C．(1,3) D．(0,2)解析：由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，當x∈(1,3)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(1,3)上為減函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到的，所以(0,2)為函數(shù)y＝f(x＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間．故選D.答案：D9．函數(shù)f(x)＝x3－3x的極大值為m，極小值為n，則m＋n為()A．0 B．1C．2 D．4解析：f(x)＝x3－3x?f′(x)＝3x2－3＝0?x＝±1，不難判斷m＝f(－1)＝(－1)3＋3＝2，n＝f(1)＝13－3＝－2，m＋n＝0.答案：A10．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1處運動到x＝3處(單位：m)，則力F所作的功為()A．10J B．14JC．7J D．28J解析：W＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,3,))F(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,3,))(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(3,1)＝(2·32－3)－(2·12－1)＝14J.答案：B11．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(解析：當1≤x≤2時，f′(x)≥0，則f(2)≥f(1)；而當0≤x≤1時，f′(x)≤0，則f(1)≤f(0)，從而f(0)＋f(2)≥2f(1答案：C12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，對于任意實數(shù)x都有f(x)≥0，則eq\f(f1,f′0)的最小值為()A．3 B．eq\f(5,2)C．2 D．eq\f(3,2)解析：f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)>0?b>0.由于對于任意實數(shù)x都有f(x)≥0，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0，))得c>0，從而eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)＝1＋eq\f(a＋c,b)≥1＋eq\f(a＋c,2\r(ac))≥1＋eq\f(2\r(ac),2\r(ac))＝2，當且僅當a＝c時取等號．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)13．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3x2＋a≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在x∈[1，＋∞)上恒成立．而－3x2的最大值為－3，故只需a≥－3即可．答案：a≥－314．過點(2,0)且與曲線y＝eq\f(1,x)相切的直線的方程為________．解析：設(shè)所求切線與曲線的切點為P(x0，y0)，∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴y′|x＝x0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，所求切線的方程為y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．∵點(2,0)在切線上，∴0－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(2－x0)，∴xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0， ①又x0y0＝1， ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝1，))∴所求直線方程為x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝015．已知函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(3,4)，且eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝1，則函數(shù)f(x)的解析式為________．解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)，因為函數(shù)f(x)的圖象過點(3,4)，所以有b＝4－3a∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(ax＋4－3a)dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ax2＋4－3ax))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)a＋4－3a＝1，∴a＝eq\f(6,5).∴b＝eq\f(2,5).∴f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5).答案：f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5)16．設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,fn)))(n∈N*)的前n項和是________．解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝1.))則f(x)＝x2＋x，eq\f(1,fn)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，其和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).答案：eq\f(n,n＋1)三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標．解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13，∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)方法一：設(shè)切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．方法二：由題意知，直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．18．(本小題滿分12分)物體A以速度v＝3t2＋1在一直線上運動，在此直線上物體A出發(fā)的同時，物體B在物體A的正前方5m處以v＝10t的速度與A同向運動，問兩物體何時相遇？相遇時物體A走過的路程是多少(時間單位為：s，速度單位為：解析：設(shè)A追上B時，所用的時間為t0，依題意有sA＝sB＋5，即eq\a\vs4\al(∫t00)(3t2＋1)dt＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,t0,))10tdt＋5，∴teq\o\al(3,0)＋t0＝5teq\o\al(2,0)＋5，即t0(teq\o\al(2,0)＋1)＝5(teq\o\al(2,0)＋1)，t0＝5s，∴sA＝5teq\o\al(2,0)＋5＝130(m)．19．(本小題滿分12分)某電視生產(chǎn)廠家有A，B兩種型號的電視機參加家電下鄉(xiāng)活動．若廠家投放A，B型號電視機的價值分別為p，q萬元，農(nóng)民購買電視機獲得的補貼分別為eq\f(1,10)p，eq\f(2,5)lnq萬元．已知廠家把總價值為10萬元的A，B兩種型號電視機投放市場，且A，B兩型號的電視機投放金額都不低于1萬元，請你制訂一個投放方案，使得在這次活動中農(nóng)民得到的補貼最多，并求出其最大值．(精確到，參考數(shù)據(jù)：ln4≈解析：設(shè)B型號電視機的價值為x萬元(1≤x≤9)，農(nóng)民得到的補貼為y萬元，則A型號電視機的價值為(10－x)萬元，由題意得，y＝eq\f(1,10)(10－x)＋eq\f(2,5)lnx＝eq\f(2,5)lnx－eq\f(1,10)x＋1，y′＝eq\f(2,5x)－eq\f(1,10)，由y′＝0?x＝4.當x∈[1,4)時，y′>0，當x∈(4,9]時，y′<0，所以當x＝4時，y取最大值，ymax＝eq\f(2,5)ln4－＋1≈.即廠家分別投放A，B兩型號電視機6萬元和4萬元時，農(nóng)民得到的補貼最多，最多補貼約為萬元．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有極值．(1)求c的取值范圍；(2)若f(x)在x＝2處取得極值，且當x<0時，f(x)<eq\f(1,6)d2＋2d恒成立，求d的取值范圍．解析：(1)∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d，∴f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)有極值，則方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)解，從而Δ＝1－4c>0，∴c<eq\f(1,4).(2)∵f(x)在x＝2處取得極值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x＋d.∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，∴當x∈(－∞，－1]時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當x∈(－1,2]時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減．∴x<0時，f(x)在x＝－1處取得最大值eq\f(7,6)＋d，∵x<0時，f(x)<eq\f(1,6)d2＋2d恒成立，∴eq\f(7,6)＋d<eq\f(1,6)d2＋2d，即(d＋7)(d－1)>0，∴d<－7或d>1，即d的取值范圍是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．21．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵x∈(－1,3)時，f′(x)>0，∴f(x)在(－1,3]上單調(diào)遞增．又f(x)在[－2，－1)上單調(diào)遞減，∴f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最小值為－7.22．(本