高中數(shù)學蘇教版3第二章概率【省一等獎】

章末綜合測評(二)概率(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在題中橫線上)1．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________．【解析】甲、乙兩名運動員選擇運動服顏色有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍)，(白，白)，(白，紅)，(白，藍)，(藍，藍)，(藍，白)，(藍，紅)，共9種．而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種．所以所求概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)2．設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T，T只與道路暢通狀況有關，對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010則T的數(shù)學期望E(T)＝________.【解析】由統(tǒng)計結果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P從而E(T)＝25×＋30×＋35×＋40×＝32(分鐘)．【答案】32分鐘3．甲、乙、丙三人獨立地去破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，則此密碼能被譯出的概率為________．【解析】三人都不能譯出密碼的概率為P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(2,5)，故三人能破譯密碼的概率是1－P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)4．已知X～N(0,1)，則P(－1＜X＜2)＝________.【解析】∵P(－1＜X＜1)＝，P(－2＜X＜2)＝，∴P(1＜X＜2)＝eq\f(1,2)－＝5.∴P(－1＜X＜2)＝＋5＝5.【答案】55．已知隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則V(2X＋1)＝________.【導學號：29440064】【解析】V(2X＋1)＝22×V(X)＝4V(X)，V(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴V(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.【答案】66．某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字，只好任意去試撥．他第一次失敗，第二次成功的概率是________．【解析】電話號碼的最后一個數(shù)可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一個數(shù)，所以他第一次失敗，第二次成功的概率為eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).【答案】eq\f(1,10)7．設隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝eq\f(1,7)，則n＝________，V(X)＝________.【解析】∵E(X)＝np＝3，p＝eq\f(1,7)，∴n＝21，并且V(X)＝np(1－p)＝21×eq\f(1,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,7)))＝eq\f(18,7).【答案】21eq\f(18,7)8．某人參加駕照考試，共考6個科目，假設他通過各科考試的事件是相互獨立的，并且概率都是p.若此人未能通過的科目數(shù)ξ的均值是2，則p＝________.【解析】因為通過各科考試的概率為p，所以不能通過考試的概率為1－p，易知ξ～B(6,1－p)，所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)9．一個袋子裝有大小相同的3個紅球和2個白球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是________．【解析】法一同時取出的2個球中含紅球數(shù)X的概率分布為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(6,10)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5).法二同時取出的2個球中含紅球數(shù)X服從參數(shù)N＝5，M＝3，n＝2的超幾何分布，所以E(X)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)10．一個盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域為R的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學期望為________．【解析】由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機變量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的概率分布為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).【答案】eq\f(7,4)11.將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D1所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是eq\f(1,2)，則小球落入A袋中的概率為________．圖1【解析】小球落入B袋中的概率為P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)))×2＝eq\f(1,4)，∴小球落入A袋中的概率為P＝1－P1＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)12．某一部件由三個電子元件按圖2方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________．圖2【解析】三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000，502)得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為p＝eq\f(1,2).超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4)，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為p2＝p1×p＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)13．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列結論：①從中任取3球，恰有一個白球的概率是eq\f(3,5)；②從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為eq\f(4,3)；③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為eq\f(2,5)；④從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為eq\f(26,27).其中所有正確結論的序號是________.【導學號：29440065】【解析】①恰有一個白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正確；②每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差為6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故②正確；③設A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．則P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故③錯；④每次取到紅球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到紅球的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故④正確．【答案】①②④14．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1,2)個球放入甲盒中．(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1,2)；(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1,2)．則下列比較正確的序號是________．①p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)；②p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)；③p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)；④p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)．【解析】隨機變量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112Peq\f(n,m＋n)eq\f(m,m＋n)ξ2123Peq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))eq\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))所以E(ξ1)＝eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2m,m＋n)＝eq\f(2m＋n,m＋n)，E(ξ2)＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))＋eq\f(2C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))＋eq\f(3C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))＝eq\f(3m＋n,m＋n)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．因為p1＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2m＋n)，p2＝eq\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))＋eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))·eq\f(2,3)＋eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))·eq\f(1,3)＝eq\f(3m＋n,3m＋n)，p1－p2＝eq\f(n,6m＋n)>0，所以p1>p2.【答案】①二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：圖3以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？【解】(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為,,,.從而P(X＝16)＝×＝；P(X＝17)＝2××＝；P(X＝18)＝2××＋×＝；P(X＝19)＝2××＋2××＝；P(X＝20)＝2××＋×＝；P(X＝21)＝2××＝；P(X＝22)＝×＝.所以X的分布列為X16171819202122P(2)由(1)知P(X≤18)＝，P(X≤19)＝，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)．當n＝19時，E(Y)＝19×200×＋(19×200＋500)×＋(19×200＋2×500)×＋(19×200＋3×500)×＝4040；當n＝20時，E(Y)＝20×200×＋(20×200＋500)×＋(20×200＋2×500)×＝4080.可知當n＝19時所需費用的期望值小于當n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19.16．(本小題滿分14分)甲、乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知甲獨立解出的概率為，且兩人中至少有一人解出的概率為.(1)求該題被乙獨立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)X的概率分布．【解】(1)設甲、乙分別解出此題的事件為A，B，則P(A)＝，P＝1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝1－·P(eq\x\to(B))＝，解得P(eq\x\to(B))＝，∴P(B)＝.(2)P(X＝0)＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝×＝，P(X＝1)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝×＝，∴X的概率分布為：X012P17.(本小題滿分14分)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產量(kg)300500概率作物市場價格(元/kg)610概率(1)設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的概率分布；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．【解】(1)設A表示事件“作物產量為300kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設知P(A)＝，P(B)＝，∵利潤＝產量×市場價格－成本，∴X所有可能的取值為500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－×(1－＝，P(X＝2000)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝(1－×＋×(1－＝，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝×＝，所以X的概率分布為X40002000800P(2)設Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i＝1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝＋＝(i＝1,2,3)，3季的利潤均不少于2000元的概率為P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C33季中有2季的利潤不少于2000元的概率為P(eq\x\to(C)1C2C3)＋P(C1eq\x\to(C)2C3)＋P(C1C2eq\x\to(C)3)＝3××＝，所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為＋＝.18．(本小題滿分16分)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求X的概率分布；(2)求此員工月工資的期望．【解】(1)X的所有可能取值為：0,1,2,3,4.P(X＝i)＝eq\f(C\o\al(i,4)C\o\al(4－i,4),C\o\al(4,8))(i＝0,1,2,3,4)，故X的概率分布為：X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)(2)令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100,2800,3500，則P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝eq\f(1,70)，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝eq\f(8,35)，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝eq\f(53,70)，所以E(Y)＝3500×eq\f(1,70)＋2800×eq\f(8,35)＋2100×eq\f(53,70)＝2280(元)．所以此員工工資的期望為2280元．19．(本小題滿分16分)設甲、乙兩家燈泡廠生產的燈泡壽命X(單位：小時)和Y的概率分布分別為：X90010001100PY95010001050P試問哪家工廠生產的燈泡質量較好？【解】由期望的定義，得E(X)＝900×＋1000×＋1100×＝1000，E(Y)＝950×＋1000×＋1050×＝1000.兩家燈泡廠生產的燈泡壽命的期望值相等，需進一步考查哪家工廠燈泡的質量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得V(X)＝(900－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1100－1000)2×＝2000，V(Y)＝(950－1000)2×＋(1