安徽省定遠(yuǎn)縣三中2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．2．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，如果在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3．函數(shù)在的圖象大致為()A． B．C． D．4．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件下，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為（）A． B． C． D．7．在滿(mǎn)足，的實(shí)數(shù)對(duì)中，使得成立的正整數(shù)的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．98．中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或9．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．10．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．411．音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味．著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱(chēng)為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂(lè)音的是（）A． B． C． D．12．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍，則的值為_(kāi)__________.14．已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則______.15．若，則____.16．若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則______，______．-101三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.（其中表示通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測(cè)2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳，在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，18．（12分）已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，且離心率為，設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求滿(mǎn)足條件的的最小值（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）.20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，求的值；21．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)平面，求的值；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求四面體的體積.22．（10分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，E是邊PD上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面ACE；（2）當(dāng)PA的長(zhǎng)為何值時(shí)，AC與平面PCD所成的角為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可知選B.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，，即，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則得，得，即實(shí)數(shù)的最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.3、C【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，所以排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)；綜上可知，C為正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

通過(guò)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大即可，作出切線方程即可求出比值的最小值．【詳解】解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過(guò)作垂直直線于，由拋物線的定義可知，連結(jié)，當(dāng)是拋物線的切線時(shí)，有最小值，則最大，即最大，就是直線的斜率最大，設(shè)在的方程為：，所以，解得：，所以，解得，所以，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.6、A【解析】

設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”，分別計(jì)算出，再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”，由題意，，，則所求的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.7、A【解析】

由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)?，，由題可知：時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)無(wú)限接近時(shí)，滿(mǎn)足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時(shí)，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.8、A【解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論：

①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有：②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案．9、C【解析】

根據(jù)表示出線段長(zhǎng)度，由勾股定理，解出每條線段的長(zhǎng)度，再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系，求出離心率.【詳解】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過(guò)幾何關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)系，得到離心率.屬于中檔題.10、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.選B。11、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱(chēng)為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.12、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.14、【解析】

數(shù)列滿(mǎn)足知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．15、【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.16、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值，最后求得的值，由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計(jì)算公式，方差的計(jì)算公式，方差的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）117人；（3）分布列見(jiàn)解析，【解析】

（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算可得人數(shù)；（3）和被選中的人數(shù)分別為2和3，利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題，所以線性回歸方程為（若第一問(wèn)求出.）（2）當(dāng)時(shí)，所以預(yù)測(cè)2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人（3）由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3，進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0，1，2，，的分布列為012【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算，考查回歸直線方程的計(jì)算，考查期望的計(jì)算，考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.18、（1）（2）或【解析】

（1）由已知條件得到方程組，解得即可；（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由得到的范圍，設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為則，所以在軸上方，只需位于內(nèi)（含邊界）就可以，即滿(mǎn)足，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：（1）由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為聯(lián)立，消元整理得，，由，解得設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在軸上方，只需位于內(nèi)（含邊界）就可以，即滿(mǎn)足，即，解得或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即.（2），.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩不等實(shí)根，即.令，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得且.又由，所以，且當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，是極值點(diǎn)，此時(shí)令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹愠闪?，所?若，取，則，所以.令，則，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即存在使得，不合題意.滿(mǎn)足條件的的最小值為-4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識(shí)，是一道難題.20、（1）（2）【解析】

（1）將，利用三角恒等變換轉(zhuǎn)