高中數(shù)學蘇教版1第3章導數(shù)及其應用3．3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 第3章33

導數(shù)在研究函數(shù)中的應用3.3.1單調性1.了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.2.掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的方法，會求函數(shù)的單調區(qū)間.(重點、難點)[基礎·初探]教材整理函數(shù)的單調性閱讀教材P86思考以上部分，完成下列問題.1.函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系定義在區(qū)間(a，b)內的函數(shù)y＝f(x)f′(x)的正負f(x)的單調性f′(x)>0增函數(shù)f′(x)<0減函數(shù)2.函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)值大小的關系一般地，設函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上導數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)1.判斷正誤：(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調遞增.()(2)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)一定大于零.()(3)若f(x)＝eq\f(1,x)(x≠0)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，所以f(x)是單調減函數(shù).()【解析】(1)×.反例：f(x)＝－eq\f(1,x)，f′(x)＝eq\f(1,x2)＞0，但f(x)在其定義域上不是增函數(shù).(2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函數(shù)，但f′(0)＝0.(3)×.f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在其定義域上不是減函數(shù).【答案】(1)×(2)×(3)×2.函數(shù)y＝x2(x－1)的單調增區(qū)間為________.【解析】y′＝2x(x－1)＋x2＝3x2－2x，令y′≥0，得3x2－2x≥0，x(3x－2)≥0，∴x≥eq\f(2,3)或x≤0，∴函數(shù)增區(qū)間為(－∞，0]和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).【答案】(－∞，0]和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]函數(shù)與其導函數(shù)圖象之間的關系(1)如圖3-3-1，設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不正確的是________(填序號).圖3-3-1(2)已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖3-3-2(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是________(填序號).圖3-3-2【精彩點撥】(1)通過對各個選項中圖象的變化判斷是否符合題目的條件.(2)根據y＝xf′(x)函數(shù)圖象中所反映的f′(x)的符號，確定y＝f(x)的單調區(qū)間，確定y＝f(x)的圖象.【自主解答】(1)①，②，③均有可能；對于④，若C1為導函數(shù)，則y＝f(x)應為增函數(shù)，不符合；若C2為導函數(shù)，則y＝f(x)應為減函數(shù)，也不符合.(2)由題圖知，當x＜－1時，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴當x＜－1時，函數(shù)y＝f(x)單調遞增；當－1＜x＜0時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，∴當－1＜x＜0時，函數(shù)y＝f(x)單調遞減；當0＜x＜1時，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴當0＜x＜1時，函數(shù)y＝f(x)單調遞減；當x＞1時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴當x＞1時，y＝f(x)單調遞增.綜上可知，③是y＝f(x)的大致圖象.【答案】(1)④(2)③1.利用原函數(shù)圖象可以判斷導函數(shù)的正負，原函數(shù)的單調增區(qū)間即為f′(x)≥0的區(qū)間，原函數(shù)的減區(qū)間就是導函數(shù)f′(x)≤0的區(qū)間.2.利用導函數(shù)的圖象可以判斷原函數(shù)的單調區(qū)間，導函數(shù)在x軸上方的區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間，導函數(shù)在x軸下方的區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間.[再練一題]′(x)是f(x)的導函數(shù)，若f′(x)的圖象如圖3-3-3所示，則f(x)的圖象可能是________(填序號).【導學號：24830079】圖3-3-3【解析】由導函數(shù)的圖象可知，當x＜0時，f′(x)＞0，即函數(shù)f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)；當0＜x＜x1時，f′(x)＜0，即函數(shù)f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)；當x＞x1時，f′(x)＞0，即函數(shù)f(x)在此區(qū)間為增函數(shù).觀察選項易知③正確.【答案】③求函數(shù)的單調區(qū)間求下列各函數(shù)的單調區(qū)間：(1)f(x)＝2x3－3x2；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).【精彩點撥】求定義域→求導數(shù)f′(x)→解f′(x)＞0的增區(qū)間→解f′(x)＜0的減區(qū)間【自主解答】(1)函數(shù)f(x)定義域為R，且f′(x)＝6x2－6x.令f′(x)＞0，即6x2－6x＞0，解得x＞1或x＜0；令f′(x)＜0，即6x2－6x＜0，解得0＜x＜1.所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0)和(1，＋∞)；單調遞減區(qū)間是(0,1).(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＞0，即eq\f(1－lnx,x2)＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0，即eq\f(1－lnx,x2)＜0，得x＞e，所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(0，e)，單調遞減區(qū)間是(e，＋∞).1.利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間，實質上是轉化為解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函數(shù)的單調區(qū)間.2.利用導數(shù)求單調區(qū)間時，要特別注意不能忽視函數(shù)的定義域，在解不等式f′(x)＞0[或f′(x)＜0]時，要在定義域前提下求解.如果函數(shù)的單調區(qū)間不止一個時，要用“和”“及”等連結，而不能寫成兩個區(qū)間并集形式.[再練一題]2.求下列各函數(shù)的單調區(qū)間：(1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.【導學號：24830080】【解】(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).當f′(x)＞0時，x<－1或x＞1，此時函數(shù)f(x)遞增；當f′(x)<0時，－1<x<1，此時函數(shù)f(x)遞減.∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(1，＋∞)，遞減區(qū)間是(－1,1).(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x).令f′(x)＞0，即eq\f(23x2－1,x)＞0，∵x＞0，∴x＞eq\f(\r(3),3).∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).令f′(x)＜0，即eq\f(23x2－1,x)＜0，∵x＞0，∴0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).根據函數(shù)的單調性求字母參數(shù)的取值范圍若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.【精彩點撥】【自主解答】f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的單調函數(shù)，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.由于導函數(shù)的二次項系數(shù)3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.方法一：由上述討論可知要是f′(x)≥0恒成立.只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判別式Δ＝4－12m≤0，故m≥eq\f(1,3).經檢驗，當m＝eq\f(1,3)時，只有個別點使f′(x)＝0，符合題意.所以實數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,3).方法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立.設g(x)＝－3x2－2x＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)，易知函數(shù)g(x)在R上的最大值為eq\f(1,3)，所以m≥eq\f(1,3).經檢驗，當m＝eq\f(1,3)時，只有個別點使f′(x)＝0，符合題意.所以實數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(1,3).1.可導函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞增(或單調遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子集內都不恒等于0.2.已知f(x)在區(qū)間D上單調，求f(x)中參數(shù)的取值范圍的方法為分離參數(shù)法.通常將f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的參數(shù)分離，轉化為求函數(shù)的最值問題，從而求出參數(shù)的取值范圍.特別地，若f′(x)為二次函數(shù)，可以由相應方程的根的判別式求出參數(shù)的取值范圍.[再練一題]3.若函數(shù)h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________.【解析】根據條件，得h′(x)＝2＋eq\f(k,x2)＝eq\f(2x2＋k,x2)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞).【答案】[－2，＋∞)[探究共研型]求含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間探究1函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的導數(shù)f′(x)是什么？f′(x)＝0是否一定有實數(shù)根？【提示】f′(x)＝x2－2x＋a，f′(x)＝0即x2－2x＋a＝0不一定有實數(shù)根，當Δ＝4－4a＞0，即a＜1時，f′(x)＝0有不等實數(shù)根；當Δ＝4－4a＝0，即a＝1時，f′(x)＝0有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＝4－4a＜0，即a＞1時，f′(x)＝0沒有實數(shù)根.探究2根據探究1的討論，求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的單調區(qū)間.【提示】由探究1知，當Δ＝4－4a≤0，即a≥1時，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax在定義域(－∞，＋∞)上單調遞增，沒有單調遞減區(qū)間；當Δ＝4－4a＞0，即a＜1時，令f′(x)＞0，解得x＞1＋eq\r(1－a)或x＜1－eq\r(1－a)，令f′(x)＜0，解得1－eq\r(1－a)＜x＜1＋eq\r(1－a)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的單調遞增區(qū)間是(－∞，1－eq\r(1－a))，(1＋eq\r(1－a)，＋∞)，單調遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(1－a)，1＋\r(1－a))).探究3設f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(a＋1)x2＋ax，f′(x)＝0一定有實數(shù)根嗎？若有，它們的大小確定嗎？試求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.【提示】f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)，所以f′(x)＝0有實數(shù)根a和1，但它們的大小不確定，所以求f(x)的單調區(qū)間要據此分類討論：當a＞1時，由f′(x)＜0解得1＜x＜a，所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(1，a)；當a＝1時，因為f′(x)＝(x－1)2≥0，所以函數(shù)f(x)不存在單調遞減區(qū)間；當a＜1時，由f′(x)＜0解得a＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(a,1).探究4設函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3－eq\f(3,2)ax2＋2ax＋1(a≠0)，則f′(x)＝ax2－3ax＋2a＝a(x－1)(x－2)，不等式f′(x)＜0的解一定是1＜x＜2嗎？試求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.【提示】不一定是，只有a＞0時，不等式f′(x)＜0的解才是1＜x＜2，當a＜0時，不等式f′(x)＜0的解是x＜1或x＞2，所以當a＞0時，函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,2)，當a＜0時，函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2，＋∞).探究5通過以上討論，在求含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間時，一般要對參數(shù)進行討論，那么要從哪幾個方面考慮這類問題呢？【提示】首先要確定f′(x)＝0是否有根，若不確定，要分類討論；在f′(x)＝0有根的情況下，如果根的大小不確定，則要按照其大小為分類標準進行討論；如果f′(x)＝0的最高次冪的系數(shù)的正負不確定，那么還要按照其正負進行討論.已知a∈R，求函數(shù)f(x)＝x2eax的單調區(qū)間.【精彩點撥】求導數(shù)f′(x)后對實數(shù)a的符號進行討論，并解不等式可得函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.【自主解答】函數(shù)的定義域為′(x)＝2xeax＋ax2eax＝(2x＋ax2)eax.①當a＝0時，若x＜0，則f′(x)＜0，若x＞0，則f′(x)＞0，∴當a＝0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)內為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)內為增函數(shù)；②當a＞0時，由2x＋ax2＞0，解得x＜－eq\f(2,a)或x＞0，由2x＋ax2＜0，解得－eq\f(2,a)＜x＜0，∴當a＞0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,a)))和(0，＋∞)內為增函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)，0))內為減函數(shù).③當a＜0時，由2x＋ax2＞0，解得0＜x＜－eq\f(2,a)，由2x＋ax2＜0，解得x＜0或x＞－eq\f(2,a)，∴當a＜0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))內為減函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,a)))內為增函數(shù).1.本題主要考查求函數(shù)單調性的一般方法以及函數(shù)求導公式和法則的綜合應用.2.當解題過程中含有參數(shù)時，一般要對參數(shù)進行分類討論，此時需注意應準確確定分類標準和分類討論的準確性.[再練一題]4.求函數(shù)f(x)＝ex－ax(a∈R)的單調區(qū)間.【解】函數(shù)定義城為R，且f′(x)＝ex－a.當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，無減區(qū)間；當a＞0時，由f′(x)＝ex－a＞0，得x＞lna，由f′(x)＜0，得x＜lna，所以f(x)在(lna，＋∞)上單調遞增，在(－∞，lna)上單調遞減.綜上，當a≤0時，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，＋∞)，無減區(qū)間；當a＞0時f(x)的單調遞增區(qū)間是(lna，＋∞)，單調遞減區(qū)間是(－∞，lna).[構建·體系]1.函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調遞減區(qū)間是________.【解析】f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(1,2).【答案】(1,2)2.函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調遞減區(qū)間為________.【導學號：24830081】【解析】函數(shù)定義域為(0，＋∞)，y′＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)當x∈(0，＋∞)時，令y′＜0，得0＜x＜1，僅f′(1)＝0.【答案】(0,1]3.若函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是________(填序號).【解析】∵y＝f(x)的導函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則從左到右函數(shù)f(x)圖象上的點的切線斜率是遞增的.【答案】①4.函數(shù)y＝ax3－x在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】因為y′＝3ax2－1，函數(shù)y＝ax3－x在R上是減函數(shù)，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立.當x＝0時，3ax2≤1恒成立，此時a∈R；當x≠0時