高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)的基本性質(zhì)-參賽作品

第一章1.3.2A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)且在(0,1)上遞增的函數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174436)(D)A．f(x)＝x＋eq\f(1,x) B．f(x)＝x2－eq\f(1,x)C．f(x)＝eq\r(1－x2) D．f(x)＝x3[解析]∵對于A，f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)；對于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴A、D選項(xiàng)都是奇函數(shù)．易知f(x)＝x3在(0,1)上遞增．2．若f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則下列各式成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174437)(B)A．f(－2)＞f(0)＞f(1) B．f(－2)＞f(1)＞f(0)C．f(1)＞f(0)＞f(－2) D．f(0)＞f(－2)＞f(1)[解析]因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)．又因?yàn)閒(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(－2)＞f(1)＞f(0)．故選B．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函數(shù)，則有eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174438)(D)A．a(chǎn)≥eq\f(1,2) B．a(chǎn)≤eq\f(1,2) C．a(chǎn)>－eq\f(1,2) D．a(chǎn)>eq\f(1,2)[解析]∵y＝f(x)在R上為增函數(shù)，∴2a－1>0，即a>eq\f(1,2).4．設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)＝0，則f(x)<0的解集是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174439)(B)A．{x|－3<x<0或x>3} B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3<x<0或0<x<3}[解析]x>0時(shí)f(3)＝－f(－3)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，∴x∈(0,3)時(shí)f(x)<0，又∵f(x)為奇函數(shù)．當(dāng)x<0時(shí)，只有x∈(－∞，－3)時(shí)f(x)<0，故選B．5．已知函數(shù)f(x)和g(x)均為奇函數(shù)，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在區(qū)間(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174440)(B)A．－5 B．－1 C．－3 D．[解析]令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，則F(x)為奇函數(shù)．∵x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)≤5，∴x∈(0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，∴F(－x)≤3?－F(x)≤3?F(x)≥－3.∴h(x)≥－3＋2＝－1，選B．6．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集為eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174441)(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析]奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，eq\f(fx－f－x,x)＝eq\f(2fx,x)<0.畫出示意圖得解集為(－1,0)∪(0,1)．二、填空題7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)為奇函數(shù)，則a＝__－\x(導(dǎo)學(xué)號69174442)[解析]f(x)＝eq\f(1,x)(x＋1)(x＋a)為奇函數(shù)?g(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數(shù)，故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.8．偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是__f(x1)>f(x2)\x(導(dǎo)學(xué)號69174443)[解析]∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴f(－x1)>f(x2)，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x1)>f(x2)．此類問題利用奇偶函數(shù)的對稱特征畫出示意圖一目了然．三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1).eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174444)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求證：函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)；(3)求函數(shù)f(x)的最小值．[解析](1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值需滿足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函數(shù)f(x)的定義域是[－1，＋∞)．(2)證明：設(shè)－1<x1<x2，則Δx＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1＋1)－eq\r(x2＋1)＝eq\f(\r(x1＋1)－\r(x2＋1)\r(x1＋1)＋\r(x2＋1),\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1＋1－x2＋1,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1))＝eq\f(x1－x2,\r(x1＋1)＋\r(x2＋1)).∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，eq\r(x1＋1)>0，eq\r(x2＋1)>0.∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，∴函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)．(3)∵函數(shù)f(x)在定義域[－1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函數(shù)f(x)的最小值是0.10．(2023～2023·太原高一檢測)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，對于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且滿足f(2)＝\x(導(dǎo)學(xué)號69174445)(1)求f(1)，f(4)的值．(2)求滿足f(x)＋f(x－3)>2的x的取值范圍．[解析](1)令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0；令x＝y(tǒng)＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(4)＝2.(2)由題知當(dāng)x>0，x－3>0時(shí)有f(x)＋f(x－3)＝f(x(x－3))，且2＝f(4)，所以由f(x)＋f(x－3)>2得f(x(x－3))>f(4)．又因?yàn)閥＝f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－3>4，,x>0，,x－3>0，))解不等式組得x>4，所以x的取值范圍是(4，＋∞)．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋b，則f(－1)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174446)(C)A．0 B．2 C．－2 D．[解析]∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即b＝0，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x，∴f(－1)＝－f(1)＝－2，故選C．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[3a－2,2a＋eq\f(1,3)]上的偶函數(shù)，則5a＋3b＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174447)(A)A．eq\f(5,3) B．eq\f(1,3) C．0 D．－eq\f(2,3)[解析]∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，又f(x)定義域?yàn)閇3a－2,2a＋eq\f(1,3)]，∴3a－2＋2a＋eq\f(1,3)＝0，∴a＝eq\f(1,3).故5a＋3b＝eq\f(5,3).3．已知函數(shù)f(x)是定義在(－6,6)上的偶函數(shù)，f(x)在[0,6)上是單調(diào)函數(shù)，且f(－2)＜f(1)，則下列不等式成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174448)(D)A．f(－1)＜f(1)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(－4)C．f(－2)＜f(0)＜f(1) D．f(5)＜f(－3)＜f(－1)[解析]∵f(－2)＝f(2)＜f(1)，∴f(x)在[0,6]上為減函數(shù)，在[－6,0]上為增函數(shù)，f(－5)＝f(5)，∴f(－5)＜f(－3)＜f(－1)，故選D．4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174449)(B)A．－1 B．0 C．1 D．[解析]∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.二、填空題5．已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示，則f(x)≥0的x的取值范圍是__[－2,2]∪{－5,5}\x(導(dǎo)學(xué)號69174450)[解析]∵f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，∴由f(x)在[0,5]上的圖象作出f(x)在[－5,0]上的圖象，從而得到f(x)在[－5,5]上的圖象(如圖)．根據(jù)圖象可知：使f(x)≥0的x的取值范圍為[－2,2]∪{－5,5}．6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上為增函數(shù)，若f(1－a)＋f(eq\f(1,2)－2a)＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(eq\f(1,2)，＋∞)\x(導(dǎo)學(xué)號69174451)[解析]∵y＝f(x)為R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)為增函數(shù)，∴f(x)在R上為增函數(shù)．又f(1－a)＋f(eq\f(1,2)－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(eq\f(1,2)－2a)＝f(2a－eq\f(1,2))．∴1－a＜2a－eq\f(1,2)，即a＞eq\f(1,2).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(eq\f(1,2)，＋∞)．C級能力拔高1．已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(2,x).eq\x(導(dǎo)學(xué)號69174452)(1)若g(x)＝f(x)－a為奇函數(shù)，求a的值；(2)試判斷f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明．[解析](1)由已知得g(x)＝1－a－eq\f(2,x)，∵g(x)是奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq\f(2,－x)＝－(1－a－eq\f(2,x))，解得a＝1.(2)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,x1)－(1－eq\f(2,x2))＝eq\f(2x1－x2,x1x2).∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，從而eq\f(2x1－x2,x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a、b∈R，當(dāng)a＋b≠0時(shí)，都有eq\f(fa＋fb,a＋b)＞\x(導(dǎo)學(xué)號69174453)(1)若a＞b，試比較f(a)與f(b)的大小關(guān)系；(2)若f(1