高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的基本定理及坐標表示 高質(zhì)作品

平面向量的基本定理及坐標表示教學(xué)目標1、了解平面向量的基本定理及其意義，能夠?qū)⒑唵螆D形中的向量表示為一組基底的線性組合；2、經(jīng)歷平面向量基本定理的探究過程，讓學(xué)生體會“由特殊到一般，一般到特殊”的思維方式，感受“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想；3、在定理的發(fā)現(xiàn)過程中，感受數(shù)學(xué)探究的樂趣．設(shè)計框架1、通過設(shè)置問題:平行四邊形中向量表示的實例引出本節(jié)課探究的主題；2、學(xué)生自主探究平面上給定兩個向量，任意的第三個向量如何由這兩個向量表示；3、學(xué)生歸納自主探究的結(jié)果，得到平面向量基本定理；4、例1通過變換基底，學(xué)生在表示平行四邊形中向量的過程中加深對平面向量基本定理的認識與理解；5、例2學(xué)生選擇適當?shù)幕妆硎酒矫嫦蛄?，既是實現(xiàn)對定理的應(yīng)用，同時也為下節(jié)課向量的正交分解做好鋪墊；6、小結(jié)，回顧定理及發(fā)現(xiàn)過程，在數(shù)學(xué)思想上加以升華，讓學(xué)生在學(xué)習過程中收獲科學(xué)的方法．教學(xué)過程一、問題引入教師引導(dǎo)：前面我們學(xué)習了平面向量的有關(guān)知識，請同學(xué)們解決如下問題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為DC，BC中點，，．試用向量表示：（1）；(2)．(圖1)學(xué)生探索：運用向量知識解決問題．設(shè)計意圖：學(xué)生通過對此題的解決，復(fù)習了前面所學(xué)，主要為本節(jié)課的學(xué)習做鋪墊．同時借助平行四邊形這一特殊圖形的作用，學(xué)生容易看出平行四邊形中不共線的兩個向量可以表示其它的向量，由此引出本節(jié)課的主題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對于一般情況的探究．二、定理發(fā)現(xiàn)（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生自主探究教師引導(dǎo)：從問題1中可以看出平行四邊形中的一些向量可以用向量，表示，那么在平面上的一個向量，我們是否也能用兩個向量表示？請大家看問題2．問題2:如圖，試用向量表示向量．(圖2)學(xué)生探索：學(xué)生利用已有的向量知識做圖．教師引導(dǎo)：為什么要平移向量？為什么能平移向量？如何表示向量c？教師引導(dǎo)：問題2中的向量，都是我給大家的，下面同桌為一組，其中一個同學(xué)畫出三個向量，，另一個同學(xué)用向量表示向量．學(xué)生探索：學(xué)生用直尺，三角板等做出圖形，并給出解釋．預(yù)案一：大部分同學(xué)畫出的向量都能被表示出來，只有個別同學(xué)的表示出現(xiàn)了困難．讓同學(xué)展示無法用向量表示向量的情況．教師引導(dǎo)：為什么不能用向量表示向量表示？這兩個向量能表示什么樣的向量？預(yù)案二：如果學(xué)生都能表示所給向量，教師給出共線的情況并追問其原因．

設(shè)計意圖：由問題1過渡到問題2以后學(xué)生研究的向量脫離了平行四邊形的限制，變成相對更為一般的平面上的兩個向量來表達平面上的向量，為發(fā)現(xiàn)定理做一個題設(shè)部分的鋪墊．此時教師的追問，學(xué)生自身的探究，都成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的助推劑．由于本節(jié)課將不嚴格證明平面向量基本定理，作圖的過程中一定要將定理中的存在性，唯一性，通過追問，學(xué)生自主探究做出明確解釋．（2）小組學(xué)習交流，明確定理條件讓同桌為一組，其中一人任意畫出三個向量，讓另一人用向量表示向量，并要求同學(xué)之間相互交流所畫的圖形.其目的有兩個：學(xué)生隨機構(gòu)造和，圖形的位置更具有一般性，便于形成定理；二是希望學(xué)生發(fā)現(xiàn)共線的兩個向量不能表示和它不共線的向量，明確定理所需條件.（3）總結(jié)作圖過程，歸納基本定理教師引導(dǎo)：通過問題1，2，及小組學(xué)習交流大家有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生歸納：學(xué)生通過對作圖過程的觀察，得到平面向量基本定理的內(nèi)容．教師小結(jié)：平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使．其中叫做基底，叫做的分解式．教師引導(dǎo)：平面向量基本定理中關(guān)鍵點有哪些？學(xué)生反思：回憶定理發(fā)現(xiàn)過程，總結(jié)定理中的關(guān)鍵點．設(shè)計意圖：從作圖到表述定理就是從形到數(shù)的一個過程．教師不代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)和表述定理，而是由學(xué)生自主探究自主總結(jié)發(fā)現(xiàn)，教師起到引導(dǎo)、輔助作用，特別要關(guān)注學(xué)生的表述．三、定理應(yīng)用教師引導(dǎo)：下面我們應(yīng)用平面向量基本定理定理解決問題．例1如圖3，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為DC，BC中點，，試用向量表示（1），； （2）． (圖3)學(xué)生探索：學(xué)生運用所學(xué)向量知識解決問題，深入理解平面向量基本定理．預(yù)案一：學(xué)生運用向量方程組做出了例1，則啟發(fā)學(xué)生從平面幾何的性質(zhì)入手，看看是否能有不同做法？如果仍然用平面幾何做不出來，則留為課后思考．預(yù)案二：學(xué)生運用平面幾何性質(zhì)做出了例1，則啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)角度思考，看看是否能有不同做法？如果學(xué)生做不出來，則留為課后思考．教師總結(jié)：無論是借助向量方程組還是平面幾何，其目的都是為了用兩個不共線的向量表示平面向量，進一步理解、落實平面向量基本定理，通過問題1和例1的對比，在平行四邊形中，以向量為例，我們發(fā)現(xiàn)基底選擇不同表示向量的形式也會有差異．設(shè)計意圖：由平面上研究任意向量表示的一般情境回到平行四邊形中的特殊情境，啟發(fā)學(xué)生對于定理的理解和認識，由于問題1和例1的圖形背景完全一致，用于表示向量的基底不一樣，但平行四邊形中的向量都可以被兩個不共線的向量表示出來，緊緊圍繞平面向量基本定理的核心，加強學(xué)生對定理的理解和認識，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴謹?shù)木瘢處熞龑?dǎo)：那么在平面上的向量表示，選擇不同的基底，表示向量會不會也有差異？我們來看例題2大家如何表示向量？例2:向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4所示，試用向量表示向量．ee1e2c（圖4）學(xué)生探索：學(xué)生運用已學(xué)知識解決問題，加強對定理運用的意識．預(yù)案一：學(xué)生將向量直接作為基底，表示向量，追問學(xué)生如何利用表示向量？根據(jù)什么這樣表示？表示的結(jié)果是什么？這種表示難度比較大，學(xué)生還沒有學(xué)過三角函數(shù)中的相關(guān)知識，結(jié)果求不出來，肯定學(xué)生的做法可行，等到進一步學(xué)習以后就可以得出結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生是否可以象例1中的情況那樣變換其他基底來表示？預(yù)案二：同預(yù)案一，學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量直接作為基底，表示向量難度很大，重新選擇水平和豎直方向上兩個向量作為基底來表示，追問學(xué)生，這一組基底是什么？根據(jù)什么表示向量？由學(xué)生完成后續(xù)表示，課上時間緊張，可課后完善．教師小結(jié)：例題2可以看出，平面上不共線的兩個向量一定能表示平面上的任意向量．當然選擇不同的基底，表示向量也會有很大的差異，選擇合適的基底會使向量的表示較為容易．設(shè)計意圖：類似于問題2的研究背景，再次將研究平面向量表示的視角一般化，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于實踐，同時也為下一節(jié)平面向量正交分解做好鋪墊，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習過程．四、課堂小結(jié)教師引導(dǎo)：通過本節(jié)課的學(xué)習，同學(xué)們學(xué)到了什么？有什么樣的收獲？學(xué)生總結(jié)：學(xué)生回憶整節(jié)課的過程，反思并回答課堂所