【公開課教案】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計（第3課時）必修第一冊

課題：5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計（第3課時）（一）教學(xué)內(nèi)容同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其應(yīng)用．（二）教學(xué)目標1．通過三角函數(shù)的定義能推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理素養(yǎng) 2.通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，能根據(jù)一個角的三角函數(shù)值，求其它三角函數(shù)值，發(fā)展學(xué)生分類討論的思想3.通過靈活運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的不同變形，能進行化簡、求值與恒等式證明，發(fā)展學(xué)生計算素養(yǎng)。（三）教學(xué)重點與難點1.重點理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；2.難點同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用。教學(xué)過程（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系導(dǎo)入語：此前我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，并從定義出發(fā)發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)值的符號規(guī)律，我們還從終邊相同的角的三角函數(shù)的關(guān)系入手發(fā)現(xiàn)了公式一．公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．因為三個三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．那么，終邊相同的角的三個三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？問題1：如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P，那么，正弦線MP和余弦線OM的長度有什么內(nèi)在聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？師生活動：學(xué)生觀察圖形，利用已學(xué)正余弦線知識和平面幾何知識得出結(jié)論。設(shè)計意圖：從已有的知識出發(fā)，類比探索知識的延展，得到合理的猜想，為發(fā)現(xiàn)新知奠定基礎(chǔ)，體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。問題2：上述關(guān)系反映了角α的正弦和余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特點，將它稱為平方關(guān)系.那么當角α的終邊在坐標軸上時，上述關(guān)系成立嗎？師生活動：學(xué)生觀察特殊位置，得到一致的結(jié)論。設(shè)計意圖：通過討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。問題3：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P(x,y)，根據(jù)三角函數(shù)定義，有由此可得sinα，cosα，tanα滿足什么關(guān)系？師生活動：學(xué)生通過剛才的結(jié)論，寫出關(guān)系式，設(shè)計意圖：再一次強化定義，又讓學(xué)生自己得出關(guān)系式，也有利于關(guān)系式的記憶。符合學(xué)生的認知過程。運用定義進行嚴格證明，是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法。問題4：上述關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系，那么商數(shù)關(guān)系成立的條件是什么？師生活動：學(xué)生回答，對于分式，不要保證分母不為0。設(shè)計意圖：通過討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。思考5：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系是反映同一個角的三角函數(shù)之間的兩個基本關(guān)系，它們都是恒等式，如何用文字語言描述這兩個關(guān)系？師生活動：學(xué)生回答，同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．設(shè)計意圖：讓學(xué)生由符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，既深化對公式的認識，又利于關(guān)系式的記憶。符合學(xué)生的認知過程。（二）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用例1已知，求，的值．師生活動：學(xué)生思考后給出解答．對于本例在學(xué)生給出答案后，應(yīng)該要求學(xué)生總結(jié)解題步驟，明確這類題目應(yīng)該先根據(jù)條件判斷角所在的象限，確定各三角函數(shù)值的符號，再利用基本關(guān)系求解．在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生歸納用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值的問題類型．設(shè)計意圖：進一步加強學(xué)生對三角函數(shù)值在各象限的符號的認識以及對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的理解．【解析】∵sinα＝－eq\f(3,5)，α是第三、第四象限角，當α是第三象限角時，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝.α是第四象限角時，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝-教師提問：已知余弦是否能求出正弦和正切已知正切是否能求出正弦和余弦學(xué)生回答：可以教師講解已知余弦和已知正切的步驟教師總結(jié)：知一求二題型①已知正弦和已知余弦步驟一樣，先用平方關(guān)系再用商數(shù)關(guān)系②已知正切時，先用商數(shù)關(guān)系，再用平方關(guān)系，其中用到了聯(lián)立方程組③注意分類討論α終邊所在位置例2求證．師生活動：學(xué)生可能根據(jù)此前用到的分析法進行證明，也可以用綜合法直接給出證明，教師板書證明過程．設(shè)計意圖：本例實際上是的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從不同方向進行推導(dǎo)，可以要求學(xué)生至少給出兩種證明方法．例3已知，求的值．師生活動：學(xué)生經(jīng)過思考給出思路，可以利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系由和解出和的值，但是由于無法確定所在象限，因此無法判斷和的正負，若要求出代數(shù)式的值，需要進行分類討論．教師在肯定了這個思路后進行追問．追問：有沒有其它的方法可以避免談?wù)摵偷姆?，直接用到已知的取值來求出分式的值呢？師生活動：學(xué)生經(jīng)過思考回答，可以利用將代數(shù)式中和轉(zhuǎn)化為和常數(shù)．教師給予肯定并指出所求分式的結(jié)構(gòu)特點，可利用“齊次式”的特征對此類分式進行化簡后求值．設(shè)計意圖：通過本例了解“齊次式”的結(jié)構(gòu)特點，并能利用特定的方法進行化簡．通過以上幾道例題加深了學(xué)生對三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解，通過靈活運用性質(zhì)的訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．（三）課時小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本課時的內(nèi)容，并回答下面的問題：（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是什么？（2）在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行化簡、求值及證明時要注意哪些問題？（3）結(jié)合前一課時內(nèi)容，你能說說我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)的？師生活動：學(xué)生思考后給出解答．（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，．（2）在三角求值時，應(yīng)注意：①注意角所在象限；②一般涉及到開方運算時要分類討論．在化簡時，應(yīng)注意化簡結(jié)果：①涉及的三角函數(shù)名稱要相對較少；②表達形式較簡單．證明恒等式時常用以下方法：①從一邊開始，證明它等于另一邊；②證明左右兩邊等于同一個式子；③分析法，尋找等式成立的條件．證明的指向一般是“由繁到簡”．（3）借助單位圓，從三角函數(shù)的定義出發(fā)，我們從三角函數(shù)值的符號規(guī)律、終邊相同的角的三角函數(shù)的關(guān)系入手發(fā)現(xiàn)了公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)本課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法．在小結(jié)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生體會研究和發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)的過程，為后續(xù)誘導(dǎo)公式二～五的學(xué)習(xí)做好鋪墊．布置作業(yè)教科書習(xí)題5.2第6，11，12，13，14題．六、目標檢測設(shè)計1．已知，且為第三象限角，求，的值．設(shè)計意圖：考査學(xué)生利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決簡單的求值問題．2．已知，求，的值．設(shè)計意圖：