【教案】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)（第2課時(shí)）（韓麗英）-高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊

5.3.2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用（第2課時(shí)）（一）教學(xué)內(nèi)容誘導(dǎo)公式五、六（±α的正弦、余弦和正切）．（二）教學(xué)目標(biāo)1、從三角函數(shù)的定義出發(fā)，借助單位圓的對(duì)稱性，能推導(dǎo)±α的正弦、余弦和正切，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．2、通過分析公式五、公式六之間的關(guān)系，以及公式一~公式六之間的聯(lián)系，形成誘導(dǎo)公式的整體架構(gòu)，能利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值與證明，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．（三）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：1、重點(diǎn)誘導(dǎo)公式五、六的探究．2、難點(diǎn)終邊關(guān)于對(duì)稱的兩個(gè)角之間的關(guān)系．（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)問題1：上一節(jié)課，我們研究了公式二~公式四，你能說說我們是如何得到這些公式的嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)言回顧公式二~公式四的研究方法、研究路徑，教師適時(shí)補(bǔ)充完善．追問：兩個(gè)角的終邊除了關(guān)于原點(diǎn)、x軸和y軸對(duì)稱外，你認(rèn)為還有哪些對(duì)稱關(guān)系值得研究？你打算怎樣研究？師生活動(dòng)：上節(jié)課已經(jīng)埋下伏筆，學(xué)生交流后確定值得研究的問題：兩個(gè)角的終邊關(guān)于對(duì)稱時(shí)，這兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，研究方法與前面類似．設(shè)計(jì)意圖：通過回顧公式二~公式四的研究內(nèi)容、研究路徑，為研究公式五、六做好思想方法的準(zhǔn)備，通過追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．問題2：你能類比公式二~公式四的研究過程，探究終邊關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生類比公式二~公式四的研究過程畫圖獨(dú)立思考嘗試：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，作P1關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P5（1）以O(shè)P5為終邊的角為與角α有什么關(guān)系？（2）角與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？這里作P1關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P5，確定以O(shè)P5為終邊的角時(shí)，學(xué)生可能只畫一種情況（如圖一），以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．追問1：提醒學(xué)生可以畫終邊在不同象限（或坐標(biāo)軸上）的角（如圖二），觀察是否仍然成立？圖一圖二圖三師生活動(dòng)：這里可以采用驗(yàn)證的方法：先將與x軸非負(fù)半軸重合的射線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)方向與角的方向相反，大小與相等，得到角的終邊，再將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，可以發(fā)現(xiàn)與OP1關(guān)于直線y=x對(duì)稱．因此，與角終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角始終有的關(guān)系．追問2：角的關(guān)系已經(jīng)有了，那直角坐標(biāo)系中關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)P1與P5的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢？師生活動(dòng)：學(xué)生分小組討論，可以就圖一先猜想點(diǎn)P1（x1，y1）與點(diǎn)P5（x5，y5）關(guān)于y=x對(duì)稱，那么有x5=y1，y5=x1．引導(dǎo)學(xué)生利用全等知識(shí)對(duì)圖一進(jìn)行證明：如圖三，作P1關(guān)于y軸的垂線，P5關(guān)于x軸的垂線，由于P1與P5關(guān)于y=x對(duì)稱，我們可以證明圖中的兩個(gè)三角形全等，因此對(duì)應(yīng)邊相等，將長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，就有x5=y1，y5=x1．對(duì)于終邊的其他的不同位置，同學(xué)們課后可以去證明它們的坐標(biāo)依然有這種等量關(guān)系.追問3：最后角與角的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考寫出誘導(dǎo)公式五.公式五：.設(shè)計(jì)意圖：此處與第一課時(shí)的公式二的研究方法相同，不同之處在于對(duì)稱軸變?yōu)橹本€，增加了推導(dǎo)的難度．將難點(diǎn)細(xì)化為問題串，引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)擊破，經(jīng)歷推導(dǎo)公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，提升直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)．問題3：作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，又能得到什么結(jié)論？（1）以為終邊的角與角有什么關(guān)系？（2）角的終邊與角的終邊具有怎樣的關(guān)系？（3）與的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？與P1的坐標(biāo)之間又有什么關(guān)系呢？（4）角與角的三角函數(shù)值之間又有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：給出問題后，學(xué)生先類比問題2的解決方法獨(dú)立思考，然后交流，教師適時(shí)補(bǔ)充完善．（1）以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．（2）軸對(duì)稱角度：角的終邊首先關(guān)于直線作對(duì)稱，再關(guān)于y軸作對(duì)稱，就得到的終邊．旋轉(zhuǎn)角度：角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，就得到角的終邊．（3）通過觀察易得：；．（4），（公式六）．追問：你能不能從代數(shù)變換角度，利用已有公式直接推出公式六？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考得出：；設(shè)計(jì)意圖：基于公式五的背景增加新的研究條件，提出問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力．這里的重點(diǎn)是利用前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過適當(dāng)?shù)膸缀巫儞Q、坐標(biāo)變換，得出角與角的關(guān)系，以及點(diǎn)與、P1的坐標(biāo)之間的關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉研究的一般方法．通過追問，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法推導(dǎo)公式，從不同的角度認(rèn)識(shí)公式，建立公式之間更緊密的聯(lián)系，提升對(duì)誘導(dǎo)公式整體性的認(rèn)識(shí)，為靈活運(yùn)用公式解決問題打下基礎(chǔ)．提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．問題四：例1證明：（1）；（2）.師生活動(dòng)：學(xué)生類比上一個(gè)問題的解決方法自行完成：證明：（1）（2）追問1：觀察題目，發(fā)現(xiàn)題目的特征，并總結(jié)解決此類問題的思想方法．師生活動(dòng)：學(xué)生思考、總結(jié)：題目中的所求角與誘導(dǎo)公式中的角有著特殊的關(guān)系，可以將所求角轉(zhuǎn)化為公式中我們熟悉的角，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式解決問題．例2化簡師生活動(dòng)：學(xué)生選擇合適的公式自行完成：解：原式．追問2：總結(jié)解決此類問題的思想方法．師生活動(dòng)：學(xué)生思考、總結(jié)：與第一課時(shí)利用誘導(dǎo)公式化簡的方法一致，選擇合適的公式，按照“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”的步驟進(jìn)行化簡．例3已知，且，求的值．師生活動(dòng)：學(xué)生自行完成可能有困難，教師給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)：追問3：題目中已知為，所求為，它們中的兩個(gè)角有關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由此可轉(zhuǎn)化為，就可以使用誘導(dǎo)公式解決問題了．解：因?yàn)椋杂烧T導(dǎo)公式五，得因?yàn)椋裕?，得．所以，所以．追?：總結(jié)解決此類問題的思想方法．師生活動(dòng)：學(xué)生思考、總結(jié)：此類問題的解題關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)所求角與已知角之間的特殊關(guān)系，將所求角用已知角表示，進(jìn)而運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決問題．設(shè)計(jì)意圖：三道例題，分別是證明、化簡、求值．在三道例題的求解過程中，都要注意數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)．例1例2較為簡單，重點(diǎn)放在恰當(dāng)?shù)倪x擇公式上．例3的難點(diǎn)在于學(xué)生觀察不到已知和所求中兩個(gè)角的特殊關(guān)系，所以本例的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生觀察角之間的特殊關(guān)系上，意圖滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，最終形成解決一類問題的思維方法，滲透算法思想．問題5：回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下面的問題：探索誘導(dǎo)公式，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？公式一~公式六有怎樣的結(jié)構(gòu)？一般可以按怎樣的順序運(yùn)用這些公式？誘導(dǎo)公式數(shù)量很多，你覺得用什么方法可以達(dá)到不僅有效記憶，而且能靈活運(yùn)用的效果？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后進(jìn)行交流，教師教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)歸納．誘導(dǎo)公式的探究過程可以歸結(jié)為：單位圓的對(duì)稱性→角與角的關(guān)系→對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系→三角函數(shù)值之間的關(guān)系．探究誘導(dǎo)公式的過程，使用了非常豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如對(duì)稱變換（包括中心對(duì)稱，軸對(duì)稱），坐標(biāo)變換，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，算法思想等．從變換的觀點(diǎn)出發(fā)，公式一~公式六的結(jié)構(gòu)可以這樣來看：公式一~公式四是同名三角函數(shù)之間的變換，公式五、公式六是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的變換．誘導(dǎo)公式的運(yùn)用順序：是以將角的范圍變到為目的，具體順序?yàn)椤柏?fù)化正，大化小，化到銳角為終了”．公式的記憶建立在理解的基礎(chǔ)上，要強(qiáng)調(diào)以單位圓為載體，數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行記憶．設(shè)計(jì)意圖：從誘導(dǎo)公式所研究的問題、過程、方法和公式的整體架構(gòu)以及涉及到的數(shù)學(xué)思想等角度進(jìn)行梳理，并注意從不同視角進(jìn)行分析和總結(jié)，從而達(dá)成對(duì)公式的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)．目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1、用誘導(dǎo)公式求下列三角函數(shù)值．（1）；（2）；