廣東省東莞市雁田鎮(zhèn)田學校初中部2021年高二數(shù)學理模擬試卷含解析

廣東省東莞市雁田鎮(zhèn)田學校初中部2021年高二數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示△ABC的面積，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），則∠B=（）A．90° B．60° C．45° D．30°參考答案：C【考點】余弦定理的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】先利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡整理求得sinC的值，進而求得C，然后利用三角形面積公式求得S的表達式，進而求得a=b，推斷出三角形為等腰直角三角形，進而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC?sinC∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故選C【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．作為解三角形常用的定理，我們應(yīng)熟練記憶和掌握正弦定理公式及其變形公式．2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：D3.觀察下列各圖，其中兩個分類變量之間關(guān)系最強的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D4.復數(shù)，則

A.1B.C.D.

參考答案：B略5.雙曲線的一個焦點是，則m的值是_________.參考答案：-26.已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷：

①△ABC一定是鈍角三角形

②△ABC可能是直角三角形

③△ABC可能是等腰三角形

④△ABC不可能是等腰三角形

其中，正確的判斷是

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：B略7.復數(shù)

(為虛數(shù)單位)等于

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略8.觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：B略9.設(shè)雙曲線的左焦點為F，右頂點為A，過點F與x軸垂直的直線與雙曲線的一個交點為B，且，則此雙曲線的離心率為（

）A. B. C.2 D.參考答案：A【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程和題設(shè)條件，得到，進而求得，最后利用離心率的公式，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得左焦點為，右頂點為，又由過與軸垂直的直線與雙曲線的一個交點為，則，又因為，即，且，解得，所以雙曲線的離心率為，故選A.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．10.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A.2 B.3C.4 D.8參考答案：D【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．【詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為

．參考答案：7【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，依次寫出每次循環(huán)得到的n，S的值，當n=8時，退出循環(huán)，輸出的S的值為7．【解答】解：模擬程序框圖的運行過程，如下；S=0，n=0，執(zhí)行循環(huán)體，S=0+[]=0，不滿足條件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不滿足條件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不滿足條件n＞6，n=6，S=3+[]=5，不滿足條件n＞6，n=8，S=5+[]=7，滿足條件n＞6，退出循環(huán)，輸出S的值為7．故答案為：7．12.代數(shù)式中省略號“…”代表以此方式無限重復，因原式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，則1+=t，則t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用類似方法可得=

．參考答案：3【考點】類比推理．【分析】通過已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負根），再運用該方法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負的即可．【解答】解：由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負根），可得要求的式子．令=m（m＞0），則兩邊平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案為：3．13.直線與直線垂直，則=

．參考答案：14.如右圖，在正三棱錐S﹣ABC中，M，N分別為棱SC，BC的中點，AM⊥MN，若，則正三棱錐S﹣ABC的外接球的體積為

．參考答案：【考點】球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．【專題】計算題．【分析】由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．【解答】解：∵M，N分別為棱SC，BC的中點，∴MN∥SB∵三棱錐S﹣ABC為正棱錐，∴SB⊥AC（對棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC為從同一定點S出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑．∴2R=，∴R=，∴V=πR3=π×=故答案為：【點評】本題考查了三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力．三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵．15.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=90°，過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2||=a+b，由余弦定理可得||2=（a+b）2﹣3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得||的取值范圍，從而得到本題答案【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2||=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，||2=a2+b2﹣2abcos90°=a2+b2，配方得，||2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到||≥（a+b）．∴≤，即的最大值為．故答案為：【點評】本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．16.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M是SB上一點，試探求點M的位置，使SD//平面MAC，并證明．答：點M的位置是

．證明：參考答案：點M是SB的中點。證明：設(shè)AC與BD交于點O,連結(jié)OM易知，OB=OD,(平行四邊形對角線互相平分）。又BM=SM.=>OM||SD（三角形中位線性質(zhì)），顯然，直線OM在平面MAC內(nèi)，=>SD||平面MAC.(直線與平面平行的判定定理）

略17.如圖是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為_________.參考答案：6.8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓方程為，它的一個頂點為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：解：（1）設(shè)，依題意得

解得

橢圓的方程為

（2）①當AB

②當AB與軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為，由已知得

代入橢圓方程，整理得

當且僅當時等號成立，此時③當

綜上所述：，此時面積取最大值略19.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù)．當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4＜x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．（1）當0＜x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值．參考答案：【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）當4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，根據(jù)待定系數(shù)法求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)f（x）的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值即可．【解答】解（1）由題意得當0＜x≤4時，v=2；

當4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，故函數(shù)v=；（2）設(shè)年生長量為f（x）千克/立方米，依題意并由（1）可得f（x）=當0＜x≤4時，f（x）為增函數(shù)，故f（x）max=f（4）=4×2=8；

當4＜x≤20時，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，f（x）max=f（10）=12.5．所以當0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．20.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于P、Q兩點，若與圓相切，求證:OPOQ參考答案：略21.某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種？（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種？參考答案：【考點】D8：排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意甲乙兩人必須相鄰的站法，把甲乙捆綁成一個整體與其余3人當著4個人作全排列有A44種，且甲、乙的位置還可以互換根據(jù)分步計數(shù)原理，得到結(jié)果．（2）除甲乙兩人外其余3人的排列數(shù)為A33，而甲乙二人應(yīng)插其余3人排好的空才不相鄰；且甲、乙位置可以互換．故有C42A22種排列方式（3）若甲站最右端，則乙與其余三人可任意排，則此時的排法數(shù)為A44種；若甲不站最右端，則先從中間3個位置中選一個給甲，再從除最右端的省余的3個位置給乙，其余的三個人任意排，則此時的排法數(shù)為C31C31A33種；【解答】解：（1）把甲乙捆綁成一個整體與其余3人當著4個人作全排列有A44種，且甲、乙的位置還可以互換∴不同站法有A44?A22=48種．（2）除甲乙兩人外其余3人的排列數(shù)為A33，而甲乙二人應(yīng)插其余3人排好的空才不相鄰；且甲、乙位置可以互換．故有C42A22種排列方式．∴不同站法有A33?C42A22=72種．（3）優(yōu)先考慮甲：若甲站最右端，則乙與其余三人可任意排，則此時的排法數(shù)為A44種；若甲不站最右端，則先從中間3個位置中選一個給甲，再從除最右端的省余的3個位置給乙，其余的三個人任意排，則此時的排法數(shù)為C31C31A33種；∴不同站法有A44+C31C31A33=78種．22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.（1）求證：AB為圓的直徑；（2）若AC=BD，求證：AB=ED.參考答案：（Ⅰ）因為PD=P