廣東省佛山市南邊中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省佛山市南邊中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是A．且則B．且，則C．則D．則參考答案：B根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判斷可知B正確。2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（4，－2），則它的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：C【分析】先求漸近線斜率，再用c2=a2+b2求離心率．【詳解】∵漸近線的方程是y=±x，根據(jù)對(duì)稱性，圖象也過∴2=?4，=，a=2b，c==a，e==，即它的離心率為．故選：C．

3.點(diǎn)為圓內(nèi)一條弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由已知圓的圓心C（1，0），因?yàn)辄c(diǎn)為圓內(nèi)一條弦的中點(diǎn)，所以CP⊥AB。因?yàn)?，所以，肯定選C了，不用再考慮了，故選擇C。4.記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，過區(qū)域D中任意一點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)∠APB的最大時(shí)，cos∠APB為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當(dāng)∠PAB最大時(shí)點(diǎn)P的位置，利用余弦函數(shù)的倍角公式，即可求出結(jié)論．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖所示，要使∠APB最大，則∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可．則P到圓心的距離最小即可，由圖象可知當(dāng)OP垂直直線3x+4y﹣10=0，此時(shí)|OP|===2，|OA|=1，設(shè)∠APB=α，則∠APO=，即sin==，此時(shí)cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握兩角和的倍角公式．5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)參考答案：A6.設(shè)是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則過,兩點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：A7.已知三棱錐的底面是邊長為的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為A．

B．

C．

D．

參考答案：C由正視圖與俯視圖可知，該幾何體為正三棱錐，側(cè)視圖為，側(cè)視圖的高為，高為，所以側(cè)視圖的面積為。選C.8.若點(diǎn)（4，tanθ）在函數(shù)y=log2x的圖象上，則2cos2θ=(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得tanθ的值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得2cos2θ=的值．【解答】解：∵點(diǎn)（4，tanθ）在函數(shù)y=log2x的圖象上，∴l(xiāng)og24=tanθ，求得tanθ=2，∴2cos2θ====，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9.，若在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.設(shè),若直線與軸相交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,則的面積的最小值為A. B.2 C.3 D.4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于函數(shù)），有下列命題： ①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)是減函數(shù)； ③的最小值是④在區(qū)間上是增函數(shù)，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

。參考答案：12.設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為r,滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種,則

．參考答案：13.（文）已知公差為等差數(shù)列滿足,且是的等比中項(xiàng)。記,則對(duì)任意的正整數(shù)均有,則公差的取值范圍是

參考答案：14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里有問題：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問：

日相逢？參考答案：9由題意可知：良馬與駑馬第天跑的路程都是等差數(shù)列，設(shè)路程為，由題意有：，故：，滿足題意時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：，解得：.即二馬相逢，需9日相逢

15.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為的等邊三角形，則橢圓C的方程為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題設(shè)條件知列出a，b，c的方程，結(jié)合三角形的面積，求出a，b求出橢圓的方程．【解答】解：F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為的等邊三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的橢圓方程為：．故答案為：．16.若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(m,2m＋1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是__________．參考答案：略17.設(shè)A為曲線M上任意一點(diǎn)，B為曲線N上任意一點(diǎn)，若|AB|的最小值存在且為d，則稱d為曲線M，N之間的距離．（1）若曲線M：y=ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線N：y=x，則曲線M，N之間的距離為

；（2）若曲線M：y2+1=x，曲線N：x2+1+y=0，則曲線M，N之間的距離為

．參考答案：（1）（2）?？键c(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；點(diǎn)到直線的距離公式．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；直線與圓．分析：（1）設(shè)與直線N：y=x平行且與曲線M：y=ex相切的直線方程為y=x+t，切點(diǎn)P（x0，y0）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)P（0，1），代入y=x+t，解得t=1．可得切線方程為y=x+1．即可得出曲線M，N之間的距離．（2）由曲線M：y2+1=x，曲線N：x2+1+y=0，可知兩曲線關(guān)于直線：y=﹣x對(duì)稱．設(shè)與直線：y=﹣x平行，且與曲線N：x2+1+y=0相切于點(diǎn)p（x，y），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)，利用平行線之間的距離公式即可得出．解答： 解：（1）設(shè)與直線N：y=x平行且與曲線M：y=ex相切的直線方程為y=x+t，切點(diǎn)P（x0，y0）．∵y′=ex，∴，∴x0=0．∴y0=1．∴切點(diǎn)P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切線方程為y=x+1．∴曲線M，N之間的距離==．（2）由曲線M：y2+1=x，曲線N：x2+1+y=0，可知兩曲線關(guān)于直線：y=﹣x對(duì)稱．設(shè)與直線：y=﹣x平行，且與曲線N：x2+1+y=0相切于點(diǎn)p（x，y），由曲線N：x2+1+y=0，y′=﹣2x，令﹣2x=﹣1，解得x=，y=﹣．切點(diǎn)P到直線y=﹣x的距離d==．∴曲線M，N之間的距離為．故答案為：，．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率、兩條平行線之間的距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C1，C2分別相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)P，Q，求的取值范圍.參考答案：(1)直線的極坐標(biāo)方程為：.的直角坐標(biāo)方程為.(2)【分析】（1）由直線的參數(shù)方程可知，直線過原點(diǎn)且傾斜角直線的為的直線，由此可表示出直線的極坐標(biāo)；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，得到|PQ|

，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍。【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），所以直線表示過原點(diǎn)且傾斜角直線的為的直線，則其極坐標(biāo)方程為：.曲線的極坐標(biāo)方程可化為，即，因此曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，則因?yàn)?，即，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間的距離的求法和最值得求解，考查三角恒等變換和三角函數(shù)在區(qū)間上的范圍，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力。19.（13分）數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2且滿足an+2=2an+1﹣an（n∈N+）（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．（3）設(shè)bn=（n∈N+），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N+，都有Tn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；（2）對(duì)an≥0，an＜0，討論，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可；（3）利用“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1﹣an（n∈N+），∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d．∵a1=8，a4=2，∴2=8+3d，解得d=﹣2．∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為An，則An==n（9﹣n）．令an≥0，解出n≤5．∴當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=An=n（9﹣n），當(dāng)n≥6時(shí)，Sn=A5﹣a6﹣a6﹣…﹣an=2A5﹣An=2×5×（9﹣5）﹣n（9﹣n）=n2﹣9n+40．∴Sn=．（3）證明：bn===，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=+++…++=＜．∴對(duì)于任意的n∈N+，都有Tn＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.（本題滿分13分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為2.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;(Ⅱ)設(shè),討論的單調(diào)性;(Ⅲ)已知且,證明:參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；不等式的證明.

B11

B12

E7（Ⅰ）1；(Ⅱ)在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的，此函數(shù)無減區(qū)間；(Ⅲ)證明：見解析.

解析：（Ⅰ）

所以……1分由題意,得……3分(Ⅱ)，所以……4分設(shè)當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，，所以，故在上為增函數(shù)；

……………5分當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，，所以，故在上為增函數(shù)；所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。

……………8分(Ⅲ)因?yàn)?，由（Ⅱ）知成立，即，……?分從而，即………12分

所以?！?3分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）、由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，解得m值；(Ⅱ)、定義域上導(dǎo)函數(shù)大于零的x范圍是增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于零的x范圍是減區(qū)間；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上單調(diào)遞增，而，所以，即.【典例剖析】綜合法是證明不等式的常用方法，但尋找推證不等式的基礎(chǔ)不等式比較困難.本題第(Ⅲ)問的證明，采用了第(Ⅱ)問的結(jié)論：函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而得，由此變形、拆項(xiàng)，再用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論,總的來說這是一個(gè)較典型的考題.21.（13分）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線(不與x軸重合)與雙曲線交于兩點(diǎn)，且直線、分別交雙曲線的右準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，求證：為定值．參考答案：

解析：（Ⅰ）雙曲線的右準(zhǔn)線為，漸近線為.因?yàn)橛覝?zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以解得．于是，雙曲線的方程為．

………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，右準(zhǔn)線為．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則直線方程分別為，令，得的坐標(biāo)分別為，此時(shí)．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得．因?yàn)橹本€與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，，解得．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，．則直線方程分別為，令，得的坐標(biāo)分別為，所以