廣東省廣州市南洋英文中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省廣州市南洋英文中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在

A.

B.

C.

D.

參考答案：C因為，所以。因為，選C.2.如圖是一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線部分為半圓，尺寸如圖，則該幾何體的全面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，P是DC的中點，則|+2|=（）A． B．2 C．4 D．5參考答案：A【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】以BA，BC所在的直線為y，x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計算即可求出【解答】解：以BA，BC所在的直線為y，x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（0，0），A（0，1），C（1，0），D（2，1），∵P是DC的中點，∴P（，），∴=（，﹣），=（，），∴+2=（，﹣）+2（，）=（，），∴|+2|==，故選：A．4.一個算法的程序框圖如右，則其輸出結(jié)果是（）A．0

B．

C．

D．

參考答案：B5.已知雙曲線C的一條漸近線為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A6.設(shè)向量，若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.在等腰梯形中，分別是底邊的中點，把四邊形沿直線折起后所在的平面記為，，設(shè)與所成的角分別為均不為0．若，則點的軌跡為（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線參考答案：B如圖，過作于，過作于，易知平面，平面，則，由，可得，故定值，且此定值不為1，故點的軌跡為圓。（到兩定點的比為不為1定值的點的軌跡為圓――――阿波羅尼斯圓）8.已知分別為橢圓的兩焦點，點M為橢圓上一點，且為等邊三角形，則該橢圓的離心率的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.已知下面四個命題：①“若②的充分不必要條件③命題存在，使得，則④若P且為假命題，則p,q均為假命題A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C10.已知集合A={1，2}，B={1，m，3}，如果A∩B=A，那么實數(shù)m等于（）A．﹣1 B．0 C．2 D．4參考答案：C【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合．【分析】由A∩B=A，得出A?B，即可得出m．【解答】解：∵A∩B=A，∴A?B．∵A={1，2}，B={1，m，3}，∴m=2．故選C．【點評】本題考查了集合之間的關(guān)系、元素與集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點F1、F2，點P是C1與C2的一個公共點，是一個以PF1為底的等腰三角形，C1的離心率為則C2的離心率為

參考答案：3

略12.若函數(shù)，則__________．參考答案：2當(dāng)時，,,同理：當(dāng)時，，∴.故答案為：213.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為_____參考答案：【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求的最大值．【詳解】解：作出實數(shù)x，y滿足約束條件，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由的得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大．由解得．代入目標(biāo)函數(shù)得．即的最大值為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．利用平移確定目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的條件是解決本題的關(guān)鍵．14.若函數(shù)的零點都在內(nèi)，則的最小值為

。

參考答案：15.雙曲線M的焦點是F1，F(xiàn)2，若雙曲線M上存在點P，使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則M的離心率是______參考答案：【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應(yīng)為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.【點睛】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.16.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=．參考答案：8【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得2a4=10，再由a1，a4，a7成等差數(shù)列求得a7．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a3+a5=10，得2a4=10，又a1=2，∴a7=2a4﹣a1=10﹣2=8．故答案為：8．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．17.已知實數(shù)x，y滿足不等式組，則2x+y的最大值為

．參考答案：5【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出可行域，平行直線可得直線過點A（3，0）時，z取最大值，代值計算可得．【解答】解：作出不等式組，所對應(yīng)的可行域（如圖陰影），變形目標(biāo)函數(shù)z=2x+y可得y=﹣2x+z，由，可得A（2，1）平移直線y=﹣2x可知，當(dāng)直線經(jīng)過點A（2，1）時，z取最大值，代值計算可得z=2x+y的最大值為：5．故答案為：5．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(10分)以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的單位長度．已知直線L經(jīng)過點P(1,1),傾斜角．（I）寫出直線L的參數(shù)方程；（II）設(shè)L與圓相交與兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．參考答案：（I）直線的參數(shù)方程是（II）因為點A,B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則點A,B的坐標(biāo)分別為．圓化為直角坐標(biāo)系的方程．以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到

①

因為t1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2．所以|PA|·|PB|=|t1t2|＝|－2|＝2．19.已知直線l：（t為參數(shù)），曲線C1：（θ為參數(shù)）．（Ⅰ）設(shè)l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；（Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．參考答案：【考點】圓的參數(shù)方程；函數(shù)的圖象與圖象變化；直線與圓相交的性質(zhì)；直線的參數(shù)方程．【分析】（I）將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．（II）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C2任意點P的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程為y=（x﹣1），C1的普通方程為x2+y2=1，聯(lián)立方程組，解得交點坐標(biāo)為A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲線C2：（θ為參數(shù)）．設(shè)所求的點為P（cosθ，sinθ），則P到直線l的距離d==[sin（）+2]當(dāng)sin（）=﹣1時，d取得最小值．【點評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點到直線的距離公式表示出d，進(jìn)而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路．20.已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的范圍．參考答案：（1）（2）(，2]．【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形兩邊之和大于第三邊求出a+c的范圍即可．【詳解】(1)∵＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0．即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA．∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosB＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝(a＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范圍是(，2]．【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．21.已知函數(shù)f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣2x，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）當(dāng)m＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)m=﹣1時，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=F（x）相切？說明理由．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間．（II）先表示出過點（2，5）與曲線y=g（x）相切的直線，進(jìn)而假設(shè)函數(shù)，可求得切線的條數(shù)．【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=x2﹣mlnx的定義域是（0，+∞）．∵f′（x）=x﹣==令f′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）．由f′（x）＞0得x＞，∴此時f（x）是增函數(shù)；由f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）是減函數(shù)．∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（=，+∞），減區(qū)間是（0，）．（II）設(shè)切點為（x1，y1）當(dāng)n=﹣1時，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+2x，F(xiàn)′（x）=+2，切線方程為y﹣5=（+2）（x﹣2），切點在y=F（x）上，即y1=lnx1+2x1，∴l(xiāng)nx1+2x1﹣5=（+2）（（x1﹣2），即lnx1+﹣2=0，令∴，由h′（x）=0可得，x=2，由h′（x）＞0得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=2時，函數(shù)h（x）取得極小值同時也是最小值，∵h(yuǎn)（2）=ln2﹣1＜0，且h（）=2e﹣3＞0，h（e2）=＞0，∴h（x）與x軸有兩個交點∴過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．22.（本小題滿分12分）在△ABC中，已知、、的對邊分別為a、b、c，且。（Ⅰ）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍；（Ⅱ）若，，求的值。參考答案：解：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理有

-------------------------2分在