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廣東省廣州市第四中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線的參數(shù)方程是(
)A、(t為參數(shù))
B、(t為參數(shù))C、
(t為參數(shù))
D、(t為參數(shù))參考答案:C2.當(dāng)x,y滿足條件|x–1|+|y+1|<1時(shí),變量u=的取值范圍是(
)(A)(–,)
(B)(–,)
(C)(–,)
(D)(–,)參考答案:B3.已知圓與圓,則兩圓的公共弦長(zhǎng)為(
)A.
B.
C.
D.1參考答案:B4.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題,其中真命題為(
)
A.z的虛部為
B.z為純虛數(shù)
C.
D.參考答案:D略5.若,則是的A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A6.設(shè){an}是等比數(shù)列,則“a1<a2<a3”是數(shù)列{an}是遞增數(shù)列的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件、C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:C【詳解】或,所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則“a1<a2<a3”,因此“a1<a2<a3”是數(shù)列{an}是遞增數(shù)列的充分必要條件,選C7.點(diǎn)P是橢圓+=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),且△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1,當(dāng)P在第一象限時(shí),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A.2 B. C. D.3參考答案:C【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合;橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】利用橢圓方程求出a,c,△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1,利用三角形的面積公式,化簡(jiǎn)求解即可.【解答】解:|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,點(diǎn)P是橢圓+=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),且△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1,=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)×1=8=|F1F2|?yP,yP=.故選:C.8.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M為AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C到平面A1DM的距離為()A.a(chǎn)B.a(chǎn) C.a(chǎn) D.a(chǎn)參考答案:A【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.【專題】計(jì)算題.【分析】連接A1C、MC,三棱錐A1﹣DMC就是三棱錐C﹣A1MD,利用三棱錐的體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換,即可求出點(diǎn)C到平面A1DM的距離.【解答】解:連接A1C、MC可得=△A1DM中,A1D=,A1M=MD=∴=三棱錐的體積:所以d
(設(shè)d是點(diǎn)C到平面A1DM的距離)∴=故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題以正方體為載體,考查了立體幾何中點(diǎn)、線、面的距離的計(jì)算,屬于中檔題.運(yùn)用體積計(jì)算公式,進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換來求點(diǎn)到平面的距離,是解決本題的關(guān)鍵.9.已知,函數(shù)的最小值是
(
)A.5
B.4
C.8
D.6參考答案:B10.直線2x-my+1-3m=0,當(dāng)m變動(dòng)時(shí),所有直線都通過定點(diǎn) ()A.(,3) B.(,3)
C.(,-3) D.(,-3)參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)當(dāng)|x-2|<a(a>0)成立時(shí),|x2-4|<1也成立,則a的取值范圍為。參考答案:
解析:設(shè)A={x||x-2|<a(a>0)},B={x||x2-4|<1}則A=(2-a,2+a),
由題意得AB,注意到這里a>0,∴由AB得
于是可得a的取值范圍為
12.某禮堂第一排有5個(gè)座位,第二排有7個(gè)座位,第三排有9個(gè)座位,依次類推,第16排的座位數(shù)是
參考答案:13.從5名男醫(yī)生.4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì),要求其中男.女醫(yī)生都有,則不同的組隊(duì)方案共有
種(數(shù)字回答).參考答案:70【考點(diǎn)】D9:排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.【分析】不同的組隊(duì)方案:選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì),要求其中男、女醫(yī)生都有,方法共有兩類,一是:一男二女,另一類是:兩男一女;在每一類中都用分步計(jì)數(shù)原理解答.【解答】解:直接法:一男兩女,有C51C42=5×6=30種,兩男一女,有C52C41=10×4=40種,共計(jì)70種間接法:任意選取C93=84種,其中都是男醫(yī)生有C53=10種,都是女醫(yī)生有C41=4種,于是符合條件的有84﹣10﹣4=70種.故答案為:70.14.有下列五個(gè)命題:①平面內(nèi),到一定點(diǎn)的距離等于到一定直線距離的點(diǎn)的集合是拋物線;②平面內(nèi),定點(diǎn)F1、F2,|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6,則點(diǎn)M的軌跡是橢圓;③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三個(gè)角成等差數(shù)列”的充要條件;④“若﹣3<m<5,則方程+=1是橢圓”.⑤已知向量,,是空間的一個(gè)基底,則向量+,﹣,也是空間的一個(gè)基底.其中真命題的序號(hào)是.參考答案:③⑤【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】由拋物線的定義,可判斷①;由橢圓的定義,可判斷②;由三角形內(nèi)角和定理及充分必要條件定義,即可判斷③;由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可判斷④;由空間向量的基底概念即可判斷⑤.【解答】解:①平面內(nèi),到一定點(diǎn)的距離等于到一定直線(定點(diǎn)不在定直線上)距離的點(diǎn)的集合是拋物線,若定點(diǎn)在定直線上,則動(dòng)點(diǎn)的集合是過定點(diǎn)垂直于定直線的一條直線,故①錯(cuò);②平面內(nèi),定點(diǎn)F1、F2,|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6,則點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2,若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,則點(diǎn)的軌跡是橢圓,故②錯(cuò);③在△ABC中,∠A,∠B,∠C三個(gè)角成等差數(shù)列,則2∠B=∠A+∠C=180°﹣∠B,∠B=60°,若∠B=60°,則2∠B=∠A+∠C=120°,即∠B﹣∠A=∠C﹣∠A,即∠A,∠B,∠C三個(gè)角成等差數(shù)列,故③正確;④若﹣3<m<5,則方程+=1,m+3>0,5﹣m>0,若m=1,則x2+y2=4表示圓,若m≠1,則表示橢圓,故④錯(cuò);⑤已知向量,,是空間的一個(gè)基底,即它們非零向量且不共線,則向量+,﹣,也是空間的一個(gè)基底,故⑤正確.故答案為:③⑤【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線的定義和方程,注意定義的隱含條件,同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理,以及空間向量的基底,屬于基礎(chǔ)題.15.將直角沿斜邊上的高AD折成的二面角,已知直角邊,,那么二面角的正切值為
;參考答案:16.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b,c,a成等比數(shù)列,且a=2b,則cosA=.參考答案:﹣【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;分析法;解三角形.【分析】由b,c,a成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式,再將a=2b代入,開方用b表示出c,然后利用余弦定理表示出cosB,將表示出的a和c代入,整理后即可得到cosB的值.【解答】解:在△ABC中,∵b,c,a成等比數(shù)列,∴c2=ab,又a=2b,∴c2=2b2,即c=b,則cosA===﹣.故答案為:﹣.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理,以及等比數(shù)列的性質(zhì),熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.17.函數(shù)的定義域是_________________________參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題12分)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4,0),B(6,6),C(0,2).(1)求AB邊上的高所在直線的方程;
(2)求AC邊上的中線所在直線的方程.參考答案:∴AB邊上的高所在直線的斜率k=﹣,∴AB邊上的高所在直線的方程為y﹣2=﹣,整理,得x+3y﹣6=0.--------6分(2)∵AC邊的中點(diǎn)為(2,1),∴AC邊上的中線所在的直線方程為,整理,得5x﹣4y﹣5=0.--------12分19.一個(gè)口袋中裝有大小形狀完全相同的紅色球個(gè)、黃色球個(gè)、藍(lán)色球個(gè).現(xiàn)進(jìn)行從口袋中摸球的游戲:摸到紅球得分、摸到黃球得分、摸到藍(lán)球得分.若從這個(gè)口袋中隨機(jī)地摸出個(gè)球,恰有一個(gè)是黃色球的概率是.⑴求的值;⑵從口袋中隨機(jī)摸出個(gè)球,設(shè)表示所摸球的得分之和,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案:解:⑴由題設(shè),即,解得;
⑵取值為.
則,,,,
的分布列為:
故.
略20.某青年歌手大獎(jiǎng)賽有5名歌手參賽,共邀請(qǐng)6名評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)打分,得分統(tǒng)計(jì)如下表:
歌手評(píng)委
得分歌手1歌手2歌手3歌手4歌手5評(píng)委19.088.898.808.918.81評(píng)委29.128.958.868.869.12評(píng)委39.188.958.998.909.00評(píng)委49.159.009.058.809.04評(píng)委59.158.909.108.939.04評(píng)委69.199.029.179.039.15比賽規(guī)則:從6位評(píng)委打分中去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分,根據(jù)剩余4位評(píng)委打分算出平均分作為該歌手的最終得分.(1)根據(jù)最終得分,確定5位歌手的名次;(2)若對(duì)評(píng)委水平的評(píng)價(jià)指標(biāo)規(guī)定為:計(jì)數(shù)他對(duì)每位歌手打分中最高分、最低分出現(xiàn)次數(shù)的和,和越小則評(píng)判水平越高.請(qǐng)以此為標(biāo)準(zhǔn),對(duì)6位評(píng)委的評(píng)判水平進(jìn)行評(píng)價(jià),以便確定下次聘請(qǐng)其中的4位評(píng)委.參考答案:(1)歌手1去掉最高分9.19和一個(gè)最低分9.08,最后平均分為9.15歌手2去掉最高分9.02和一個(gè)最低分8.89,最后平均分為8.95歌手3去掉最高分9.17和一個(gè)最低分8.80,最后平均分為9.00歌手4去掉最高分9.03和一個(gè)最低分8.80,最后平均分為8.90歌手5去掉最高分9.15和一個(gè)最低分8.81,最后平均分為9.05所以選手名次依次為:歌手1,歌手5,歌手3,歌手2,歌手4.………………10分(2)因?yàn)樵u(píng)委1去掉4次,評(píng)委2去掉0次,評(píng)委3去掉0次,評(píng)委4去掉1次,評(píng)委5去掉0次,評(píng)委6去掉5次,所以最終評(píng)委2,評(píng)委3,評(píng)委4,評(píng)委5可以續(xù)聘.
…………14分21.(本題滿分14分)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和,且,令(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求證數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案:(1)當(dāng)時(shí),
所以,即
當(dāng)時(shí),
由等比數(shù)列的定義知,數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)由(Ⅰ)知
所以,
①
以上等式兩邊同乘以得②①-②,得22.(本小題滿分12分)已知
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