廣東省揭陽市錫中學校高三數(shù)學文期末試題含解析

廣東省揭陽市錫中學校高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于方程為的曲線C給出以下三個命題：（1）曲線C關于原點中心對稱；（2）曲線C關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且x軸和y軸是曲線C僅有的兩條對稱軸；（3）若分別在第一、第二、第三、第四象限的點M，N，P，Q，都在曲線C上，則四邊形MNPQ每一條邊的邊長都大于2；其中正確的命題是(

) A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）；參考答案：B考點：命題的真假判斷與應用；曲線與方程．專題：作圖題；簡易邏輯．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四類討論，作出的圖象，再分別對選項（1）（2）（3）判斷即可．解答： 解：∵，∴當x＞0，y＞0時，?+=1，解得y==1+；同理可得，當x＜0，y＞0時，?﹣+=1，整理得：y=1﹣；當x＜0，y＜0時，?﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0時，?﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出圖象如下：由圖可知，曲線C關于原點成中心對稱，故（1）正確；曲線C關于x軸對稱，也關于y軸對稱，也關于直線y=x與y=﹣x對稱，故（2）錯誤；由于在第一、第二、第三、第四象限的點M，N，P，Q，都在曲線C上，由圖可知，四邊形MNPQ每一條邊的邊長都大于2，故（3）正確；綜上所述，（1）（3）正確．故選：B．點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查曲線與方程的理解與應用，考查分類討論思想、等價轉化思想與數(shù)形結合思想的綜合運用，屬于難題．2.設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點，則的最小值為（

）A．16

B．12

C.11

D．參考答案：C3.已知變量滿足則的最大值是（

）A．

B．3

C．

D．參考答案：A令，則表示可行域內的點與原點連線的斜率，由圖形可知，聯(lián)立方程可以求出，所以，故的最大值為.選A.點睛：線性規(guī)劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.4.甲.乙兩店出售同一商品所得利潤相同,甲店售價比市場最高限價低10元,獲利為售價的10%,而乙店售價比限價低20元,獲利為售價的20%,那么商品的最高限價是()(A)30元(B)40元(C)70元(D)100元參考答案：A5.如圖，是定義在[0,1]上的四個函數(shù)，其中滿足性質“，且，恒成立”的為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】設，根據(jù)恒成立可得與點的位置關系，從而可得正確的選項.【詳解】設，則，表示線段上的點（除端點外），因為恒成立，所以點始終在下方，所以函數(shù)的圖像是下凸的，故選A.【點睛】在坐標平面中，對于上的可導函數(shù)，若，時，總有成立，則函數(shù)的圖像是向下凸的（即函數(shù)的導數(shù)是增函數(shù)）.6.已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為()A．3

B．6

C．8

D．10參考答案：D7.直線與圓有兩個不同交點的一個充分不必要條件是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D集合A為，集合B為所以并集所以選D

9.已知集合，則（

）

參考答案：A略10.17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割。如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦?！秉S金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形)。例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金△ABC中，。根據(jù)這些信息，可得sin234°＝A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知N，且，CC，則可推出CCCCCCCCC，由此，可推出CCCCC

.參考答案：12.在內隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線與圓有公共點”發(fā)生的概率為

.參考答案：由直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，，解得，所以根據(jù)幾何概型及其概率公式可得.

13.已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長為,則以O為球心,OA為半徑的球的表面積為__________參考答案：略14.方程組的解是參考答案：15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

。參考答案：16.將函數(shù)的圖像按向量（）平移，所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為

.參考答案：由題意知，按平移，得到函數(shù)，即，此時函數(shù)為偶函數(shù)，所以,所以，所以當時，的最小值為。17.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則

。參考答案：27三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知{an}中，a1=1，其前n項和為Sn，且滿足an=．（Ⅰ）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：S1+S2+S3+…+Sn＜．參考答案：考點：數(shù)列的求和；等差關系的確定．專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關系進行化簡結合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）求出Sn的通項公式，利用放縮法進行證明不等式．解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=，…即Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1，則﹣，…從而{}構成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．…（Ⅱ）∵{}構成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，即Sn=，∴當n≥2時，Sn===（﹣）．…從而S1+S2+S3+…+Sn＜1+（1﹣）＜﹣．…點評：本題主要考查數(shù)列求和以及，等差數(shù)列的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推關系結合等差數(shù)列的定義是解決本題的關鍵．19.現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中．記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點依次連接點的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設直線的斜率為，判斷的大小關系；（Ⅲ）證明：當時，．參考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因為，所以．

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點的折線，要證明，只需證明．

…………9分事實上，當時，．下面證明．法一：對任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：對任何，當時，；………10分當時，綜上，．

………13分略20.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，﹣5），點M的極坐標為（4，）．若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑．（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程；（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關系．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系；直線的參數(shù)方程；圓的參數(shù)方程．【專題】壓軸題．【分析】（I）根據(jù)題意直接求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程．（II）先化直線l的參數(shù)方程為普通方程，求出圓心坐標，用圓心的直線距離和半徑比較可知位置關系．【解答】解（I）直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ．（II）因為對應的直角坐標為（0，4）直線l化為普通方程為圓心到，所以直線l與圓C相離．【點評】本題考查直線的參數(shù)方程，圓的極坐標方程，和普通方程的互化，直線與圓的位置關系，是中檔題．21.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為（1）若，求直線l的極坐標方程以及曲線C的直角坐標方程：（2）若直線l與曲線C交于M、N兩點，且，求直線l的斜率．參考答案：（1）直線的極坐標方程為，曲線C的直角坐標方程為（2）【分析】（1）根據(jù)，，，求出直線和曲線的直角坐標方程；（2）求出，，根據(jù)，求出直線的斜率即可．【詳解】（1）由題意，直線，可得直線是過原點的直線，故其極坐標方程為，又，故；（2）由題意，直線l的極坐標為，設、對應的極徑分別為，，將代入曲線的極坐標可得：，故，，，故，則，即，，所以故直線的斜率是．【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標方程的轉化，考查直線的斜率，是一道中檔題．22.已知數(shù)列{an}滿足，，．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）因為，所以．…………………1分所以．……………ks5u……3分因為，則．…………4分所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．…………5分（2）由（1）知，，所以．……7分假設存在互不相等的正整數(shù)，，滿足