廣東省梅州市小都中學2021年高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析

廣東省梅州市小都中學2021年高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，△PAB所在的平面和四邊形ABCD所在的平面垂直，且，，AD=4，BC=8，AB=6，，則點P在平面內(nèi)的軌跡是A．圓的一部分 B．一條直線C．一條線段

D．兩條直線

參考答案：A2.在線性回歸模型中，下列說法正確的是(

).A．是一次函數(shù)

B．因變量y是由自變量x唯一確定的C．因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其它因素的影響，這些因素會導致隨機誤差e的產(chǎn)生D．隨機誤差e是由于計算不準確造成的，可以通過精確計算避免隨機誤差e的產(chǎn)生參考答案：C3.已知變量x，y之間具有線性相關關系，其回歸方程為=﹣3+bx，若=17，=4，則b的值為（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1參考答案：A【考點】線性回歸方程．【分析】由樣本數(shù)據(jù)可得，=1.7，=0.4，代入可求這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程．【解答】解：依題意知，==1.7，==0.4，而直線=﹣3+bx一定經(jīng)過點（，），所以﹣3+b×1.7=0.4，解得b=2．故選：A．【點評】本題考查數(shù)據(jù)的回歸直線方程，利用回歸直線方程恒過樣本中心點是關鍵．4.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出s的值為（）A．﹣1B．0C．1D．3參考答案：B考點：條件語句；循環(huán)語句．專題：算法和程序框圖．分析：本題主要考查條件語句與循環(huán)語句的基本應用，屬于容易題．解答：解：第一次運行程序時i=1，s=3；第二次運行程序時，i=2，s=2；第三次運行程序時，i=3，s=1；第四次運行程序時，i=4，s=0，此時執(zhí)行i=i+1后i=5，推出循環(huán)輸出s=0，故選B點評：涉及循環(huán)語句的問題通?？梢圆捎靡淮螆?zhí)行循環(huán)體的方式解決．5.某幾何體的直觀圖如右圖所示，則該幾何體的側（左）視圖的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知樣本容量為30，在樣本頻率分布直方圖中，各小長方形的高的比從左到右依次為，則第2組的頻率和頻數(shù)分別是（

）．

．

．

．

參考答案：A7.已知定義域為的函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：D8.已知△ABC中，a=5，b=3，C=120°，則sinA的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題．【分析】由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值，然后再由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：由a=5，b=3，C=120°，根據(jù)余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=25+9﹣30×（﹣）=49，解得c=7，由正弦定理=得：sinA===．故選A【點評】此題考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．9.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（

）A.20 B.3 C.2 D.60

參考答案：A略10.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點】極差、方差與標準差．【專題】計算題．【分析】由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得到關于x，y的一個方程組，解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用換元法來解出結果．【解答】解：由題意這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，設x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故選D．【點評】本題是一個平均數(shù)和方差的綜合題，根據(jù)所給的平均數(shù)和方差，代入方差的公式進行整理，本題是一個基礎題，可以作為選擇和填空出現(xiàn)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為．參考答案：a≤2【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】轉化思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】若二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則≤1，解得答案．【解答】解：∵二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1的圖象是開口朝上，且以直線x=為對稱軸的拋物線，若二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則≤1，即a≤2，故答案為：a≤2【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．12.已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+a的圖象如圖所示，則=_________．參考答案：-613.命題：“若，則”的逆否命題是

參考答案：14.已知，則________.（用含m的式子表示）參考答案：【分析】通過尋找，與特殊角的關系，利用誘導公式及二倍角公式變形即可?！驹斀狻恳驗?，即，所以，所以，所以，又.【點睛】本題主要考查誘導公式和二倍角公式的應用，意在考查學生分析解決問題的能力。15.已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)=___．參考答案：【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘方與除法運算化簡得答案．【詳解】z，故答案為：．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．16.兩圓x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的連心線方程為

．參考答案：3x﹣y﹣9=0【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【專題】計算題；直線與圓．【分析】求出圓心坐標，利用點斜式，可得方程．【解答】解：兩圓x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圓心坐標分別為（2，﹣3），（3，0），∴連心線方程為y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案為：3x﹣y﹣9=0．【點評】本題考查圓與圓的位置關系及其判定，考查直線方程，比較基礎．17.與曲線共焦點并且與曲線共漸近線的雙曲線方程為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，在底面為直角梯形的四棱椎P—ABCD中，AD//BC,?ABC=900,PA?平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2,BC=6.（1）求證：BD?平面PAC；（2）求二面角A—PC—D的正切值；（3）求點D到平面PBC的距離.參考答案：略19.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以O為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的方程為.（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（Ⅱ）若A，B分別為曲線C1和C2上的任意點，求的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）由，得，代入，得的普通方程.由，得.因為，，所以的直角坐標方程為.（Ⅱ）因為橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.可設點為，由點到直線的距離公式，得，其中，.由三角函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取得最小值.

20.（12分）已知點F（1，0），直線l：x=﹣1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，已知，，求λ1+λ2的值．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算；軌跡方程；拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】解法一：（1）我們可設出點P的坐標（x，y），由直線l：x=﹣1，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，則Q（﹣1，y），則我們根據(jù)，構造出一個關于x，y的方程，化簡后，即可得到所求曲線的方程；（2）由過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，我們可以設出直線的點斜式方程，聯(lián)立直線方程后，利用設而不求的思想，結合一元二次方程根與系數(shù)關系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，進而可得．根據(jù)拋物線的定義，我們易得動點的軌跡為拋物線，再由直線l（即準線）方程為：x=﹣1，易得拋物線方程；（2）由已知，，得λ1?λ2＜0．根據(jù)拋物線的定義，可們可以將由已知，，轉化為，進而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）設點P（x，y），則Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）?（2，﹣y）=（x﹣1，y）?（﹣2，y），化簡得C：y2=4x．

（Ⅱ）設直線AB的方程為：x=my+1（m≠0）．設A（x1，y1），B（x2，y2），又，聯(lián)立方程組，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，∴△=（﹣4m）2+16＞0，故由，得：，，整理得：，，∴===0．法二：（Ⅰ）由得：，∴，∴，∴．所以點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x．（Ⅱ）由已知，，得λ1?λ2＜0．則：．①過點A，B分別作準線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有：．②由①②得：，即λ1+λ2=0．【點評】本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．21.(本小題滿分16分)(1)已知，求證：；(2)若，，，且，求證：和中至少有一個小于2.參考答案：（1）證明：法一：要證

只要證

只要證

即證

即證

即證

即證，顯然成立，所以原不等式成立.…………8分證法二：，又（2）證明：假設和均大于或等于2，即且因為所以且所以所以這與矛盾.所以和中至少有一個小于2.………………16分

22.設是各項均不為零的（）項等差數(shù)列，且公差.（Ⅰ）若,且該數(shù)列前項和最大，求的值；（Ⅱ）若,且將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，求的值；（Ⅲ）若該數(shù)列中有一項是，則數(shù)列中是否存在不同三項（按原來的順序）為等比數(shù)列？請說明理由.

參考答案：（Ⅰ）解法一：由已知得∴

…………3分∵

∴取最大時的值為30或31.