廣東省梅州市梅林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省梅州市梅林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則=（

）(A)-16

(B)-2

(C)16

(D)2參考答案：D試題分析：,令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，由已知得，故選D.1考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，屬于難題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在處取極大值，如果左負(fù)右正，那么在處取極小值.2.某幾何體的三視圖入圖所示，則此幾何體對(duì)應(yīng)直觀圖中△PAB的面積是（A）

（B）2

（C）

（D）參考答案：A3.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C，所以，故選C.考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.二次不等式的求解.4.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，則A∩（?RB）=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，1） D．（1，2]參考答案：B【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】求出集合A中不等式的解集，確定出集合A，求出集合B中函數(shù)的定義域，確定出集合B，找出R中不屬于B的部分，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函數(shù)y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），則A∩（CRB）=[1，2）．故選B5.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．問(wèn)積幾何？答曰：二千一百一十二尺．術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是說(shuō)：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方×高），則由此可推得圓周率π的取值為（

）A．3

B．3.1

C．3.14

D．3.2參考答案：A6.已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】直接利用向量垂直數(shù)量積為0列式求得a值．【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1），∴由⊥，得1×a+2×（﹣1）=0，即a=2．故選：D．7.已知點(diǎn)P(3,4)和圓C:(x2)2+y2=4,A,B是圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|AB|=,則(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是(

)A．[3,9] B．[1,11] C．[6,18] D．[2,22]參考答案：D8.關(guān)于函數(shù)：①；②是奇函數(shù)；③上單調(diào)遞增；④方程總有四個(gè)不同的解，其中正確的是(

）A．僅②④

B．僅②③

C．僅①②

D．僅③④參考答案：C9.（5分）（2015?浙江模擬）若a是實(shí)數(shù)，則“a2≠4”是“a≠2”的（）A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件參考答案：C【考點(diǎn)】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專(zhuān)題】：簡(jiǎn)易邏輯．【分析】：根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：若“a2≠4”，則“a≠2”，是充分條件，若“a≠2”，則推不出“a2≠4”，不是必要條件，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了充分必要條件，考查了不等式問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．10.已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，則A∩B=(

) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}參考答案：A考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專(zhuān)題：集合．分析：求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可．解答： 解：由B中不等式變形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故選：A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．參考答案：(－∞,1]12.若函數(shù)f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值域?yàn)?則a=_________參考答案：略13.在平面幾何里，已知的兩邊互相垂直，且,則邊上的高；現(xiàn)在把結(jié)論類(lèi)比到空間：三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，平面,且,則點(diǎn)到平面的距離

．參考答案：14.已知函數(shù)f(x)＝ex＋alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f(x)給出下列命題：①對(duì)于任意a∈(0，＋∞)，函數(shù)f(x)是D上的減函數(shù)；②對(duì)于任意a∈(－∞，0)，函數(shù)f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得對(duì)于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；命題的真假判斷與應(yīng)用．A2

B3

B12【答案解析】②④

解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)知：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞），f′（x）=ex+①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，是增函數(shù)．所以①不正確，②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=ex+=0，可以判斷函數(shù)有最小值，②正確．③畫(huà)出函數(shù)y=ex，y=alnx的圖象，如圖：顯然不正確．④令函數(shù)y=ex是增函數(shù)，y=alnx是減函數(shù)，所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=ex+alnx=0有兩個(gè)根，正確．故答案為：②④【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)數(shù)，若為減函數(shù)則導(dǎo)數(shù)恒小于零；在開(kāi)區(qū)間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點(diǎn)則對(duì)應(yīng)方程有根．15.（5分）函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線(xiàn)2x﹣y=0平行的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2﹣）∪【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【專(zhuān)題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線(xiàn)2x﹣y=0平行的切線(xiàn)?方程f′（x）=在區(qū)間x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直線(xiàn)2x﹣y=0與曲線(xiàn)f（x）相切的情況，解出即可．解：，（x＞0）．∵函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線(xiàn)2x﹣y=0平行的切線(xiàn)，∴方程在區(qū)間x∈（0，+∞）上有解．即在區(qū)間x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直線(xiàn)2x﹣y=0與曲線(xiàn)f（x）=lnx+ax相切，設(shè)切點(diǎn)為（x0，2x0）．則，解得x0=e．此時(shí)．綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2﹣）∪．故答案為：（﹣∞，2﹣）∪．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線(xiàn)的斜率、相互平行的直線(xiàn)之間的斜率關(guān)系、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．16.在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C1：ρ=﹣2cosθ與曲線(xiàn)C2：ρ=2sinθ的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

．參考答案：2略17.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，因?yàn)?，所以，，即函?shù)圖象在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率大于1，即在內(nèi)恒成立。由定義域可知，所以，即，所以成立。設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為15，所以，即的取值范圍為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù),

(1)若存在x>0，使f(x)≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

(2)設(shè)1<m≤e，H(x)=f(x)一(m+1)x，證明：對(duì)任意的x1，，x2∈[1，m]，恒有H(x1)-

H(x2)<1．參考答案：（1）（-∞，-e]∪（0，+∞）(2)略【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12（1）由題意f(x)=x2+mlnx，得f′(x)=x+．

①當(dāng)m＞0時(shí)，f′(x)=x+＞0，因此f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知f（x）的值域?yàn)镽，因此x＞0，使f（x）≤0成立；

②當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=＞0，對(duì)x＞0，f（x）＞0恒成立；

③當(dāng)m＜0時(shí)，由f′(x)=x+得x=，

x

(，+∞)

-0+f（x）↘極小值↗此時(shí)f(x)min=f()=-+mln．

令f(x)min＞0-e＜m＜0．

所以對(duì)x＞0，f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-e，0]．

故x＞0，使f（x）≤0成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-e]∪（0，+∞）．

（2）∵H(x)=f(x)-(m+1)x=x2+mlnx-(m+1)x，

∴H′(x)=x+-(m+1)=．

x∈[1，m]，H′(x)=≤0，所以函數(shù)H（x）在[1，m]上單調(diào)遞減．

于是H(x1)-H(x2)≤H(1)-H(m)=m2-mlnm-．

H(x1)-H(x2)＜1m2-mlnm-＜1m-lnm-＜0．

記h(m)=m-lnm-(1＜m≤e)，則h′(m)=-+＞0，

所以函數(shù)h(m)=m-lnm-在（1，e]上是單調(diào)增函數(shù)，

所以h(m)≤h(e)=-1-＜0，故對(duì)x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）-H（x2）＜1【思路點(diǎn)撥】（1）由題意f(x)=x2+mlnx，得f′(x)=x+．討論m的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性與其最值，通過(guò)最小值與0的關(guān)系得到m的范圍．

（2）H′(x)=x+-(m+1)=≤0，所以函數(shù)H（x）在[1，m]上單調(diào)遞減．H(x1)-H(x2)＜1?m2-mlnm-＜1?m-lnm-＜0，所以設(shè)h(m)=m-lnm-(1＜m≤e)判斷其單調(diào)性求其最值即可證得．19.本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5：不等式選講：已知函數(shù)(1)解不等式;

(2)若不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：.(1)

解得

……………5分(2)由的圖像可得

……………10分略20.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求Sn.參考答案：（1）；(2)見(jiàn)解析。（1）設(shè)公差為d，則由，，成等比數(shù)列.得整理得，所以。（2）利用“錯(cuò)位相減法”求和21.（本小題滿(mǎn)分12分）某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1），B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注:利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元)（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元）(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額x的函數(shù)；(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬(wàn)元資金，并打算全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn):當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少?參考答案：（1），；（2）6.25,4.0625.

試題分析：（1）由產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比，結(jié)合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來(lái)求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；（2）由（1）的結(jié)論，我們?cè)O(shè)產(chǎn)品的投資額為萬(wàn)元，則產(chǎn)品的投資額為萬(wàn)元，這時(shí)可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于收益的函