微專題五　手拉手模型

第四章三角形微專題五手拉手模型1.說(shuō)明：兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)重合，其中一個(gè)三角形不動(dòng)，另一個(gè)三角形繞著重合的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，就好像手拉著手一樣，所以稱為“手拉手”模型.2.判斷方法：將初始圖形的公共頂點(diǎn)放在上方，圖形正對(duì)著我們，左邊頂點(diǎn)稱為“左手”，右邊頂點(diǎn)稱為“右手”.3.特點(diǎn)：（1）兩條“拉手線”所在直線夾角與初始圖形中公共頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角相等或互補(bǔ)；（2）三角形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的結(jié)論相同；（3）“手拉手”模型中，若“手拉手”的兩個(gè)三角形均是等腰三角形，且公共頂點(diǎn)是頂角頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊與“拉手線”組成的兩個(gè)三角形全等；若兩個(gè)三角形為非等腰三角形，則對(duì)應(yīng)邊與“拉手線”組成的兩個(gè)三角形相似.

模型模型說(shuō)明圖示基本結(jié)論手拉手全等模型1.△AOB∽△COD，OA＝OB，∠AOB＝α；2.將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點(diǎn)E，所夾銳角為β1.△AOC≌△BOD（點(diǎn)A，O，C三點(diǎn)不共線）；2.當(dāng)α≤90°時(shí)，β＝α，當(dāng)α＞90°時(shí)，β＝180°－α；3.點(diǎn)E在△OAB的外

接圓上模型模型說(shuō)明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB∽△COD，OA＝OB，∠AOB＝α；2.將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點(diǎn)E，所夾銳角為β1.△AOC≌△BOD（點(diǎn)A，O，C三點(diǎn)不共線）；2.當(dāng)α≤90°時(shí)，β＝α，當(dāng)α＞90°時(shí)，β＝180°－α；3.點(diǎn)E在△OAB的外接圓上模型模型說(shuō)明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB和△COD是直角三角形，O是直角頂點(diǎn)，OA≠OB；2.△AOB∽△COD，∠AOB＝α＝90°；3.將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點(diǎn)E，所夾銳角為β模型模型說(shuō)明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB和△COD是直角三角形，A是直角頂點(diǎn)；2.△AOB∽△COD，∠AOB＝α；3.將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點(diǎn)E，所夾銳角為β模型模型說(shuō)明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB∽△COD，∠AOB＝α，OA≠OB；2.將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點(diǎn)E，所夾銳角為β

?類型1：手拉手全等模型【例1】已知在△ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF.圖1（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是

AE＝CF

?；

AE＝CF（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；圖2（3）如圖3，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長(zhǎng).圖3

思路點(diǎn)撥

圖2

圖3

?類型2：手拉手相似模型【例2】如圖1，已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，∠C＝∠AED＝90°.圖1（1）觀察猜想：如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE，BD的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F.當(dāng)BD的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)，

圖2

45

（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△ADE，點(diǎn)F與點(diǎn)E不重合時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖3備用圖

思路點(diǎn)撥

（3）當(dāng)CE⊥AD時(shí)，分

圖4－1圖4－2

圖3

圖3

?類型1：手拉手全等模型1.如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）.將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：（1）①∠ACE的度數(shù)是

60°

?；

②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是

AC＝CD＋CE

?.

60°

AC＝CD＋CE

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC.請(qǐng)寫(xiě)出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°.若點(diǎn)A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD的長(zhǎng)度.

?類型2：手拉手相似模型2.如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.圖1

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：