高中數(shù)學人教A版1第二章圓錐曲線與方程 公開課

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(1,2)x解析：由題意知，2b＝2,2c＝2eq\r(3)，則b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(2)；雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：C2．雙曲線mx2＋y2＝1的實軸長是虛軸長的2倍，則m＝()A．－eq\f(1,4) B．－4C．4 \f(1,4)解析：由題意知m＜0，方程化為y2－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，∴a2＝1，b2＝－eq\f(1,m)，又a＝2b，∴a2＝4b2.∴1＝－eq\f(4,m)，∴m＝－4.答案：B3．焦點在x軸上，虛軸長為12，離心率為eq\f(5,4)的雙曲線標準方程是()\f(x2,64)－eq\f(y2,144)＝1 \f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1 \f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1解析：∵b＝6，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴a＝8又焦點在x軸上，∴方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1.答案：D4．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為()\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 \f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 \f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1解析：∵漸近線方程是y＝eq\r(3)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3).①∵雙曲線的一個焦點在y2＝24x的準線上，∴c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2023·江西卷)若雙曲線eq\f(y2,16)－eq\f(x2,m)＝1的離心率e＝2，則m＝________.解析：由a2＝16，b2＝m，∴c2＝16＋m，eq\f(c2,a2)＝eq\f(16＋m,16)＝4，∴m＝48.答案：486．雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦點到漸近線的距離為________．解析：雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦點為(4,0)或(－4,0)．漸近線方程為y＝eq\r(3)x或y＝－eq\r(3)x.由雙曲線的對稱性可知，任一焦點到任一漸近線的距離相等，d＝eq\f(|4\r(3)＋0|,\r(3＋1))＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答題(每小題10分，共20分)7．求適合下列條件的雙曲線的標準方程．(1)頂點在x軸，兩頂點的距離為8，離心率是eq\f(5,4)；(2)離心率e＝eq\r(2)，且過點(4，eq\r(10))．解析：(1)由已知設雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．則2a＝8，∴a由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)得c＝5.∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)e＝eq\r(2)，可設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，∵過點(4，eq\r(10))，∴λ＝16－10＝6，∴雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.8．直線x＝t過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦點且與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點，若原點在以AB為直徑的圓內，求雙曲線離心率的取值范圍．解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由x＝t＝c可得|AB|＝eq\f(2bc,a)，又∵原點在以AB為直徑的圓內，∴c＜eq\f(bc,a)，∴a＜b，∴eq\f(b,a)＞1，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，∴e＞eq\r(2)，∴離心率e的取值范圍是(eq\r(2)，＋∞)．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)且過點(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上(3)求△F1MF2的面積．解析：(1)∵離心率e＝eq\r(2)，∴設所求雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，則由點(4，－eq\r(10))在雙曲線上，知λ＝42－(－eq\r(10))2＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6，即eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：若點M(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6，∴m2＝3.由雙曲線x2－y2＝6知，F(xiàn)1(2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(－2eq\r(3)，0)，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)·(－2eq\r(3)－3，－m)＝9－(2eq