高中數(shù)學(xué)人教A版5柯西不等式與排序不等式三排序不等式

排序不等式同步檢測一、選擇題1.已知兩組數(shù)a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1，6，212，6，36答案：B解析：解答：因?yàn)?，所以a1c1+a分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)排序不等式分析計(jì)算即可.2.若A=x12+x22+?+x＞B＜BC.A≥BD.答案：C解析：解答：依序列xn的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0<x1≤x2≤?≤xx1分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)排序不等式分析計(jì)算即可.3.已知a，b，c＞0，則a2aA.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于答案：B解析：解答：設(shè)a≥b≥c根據(jù)排序不等式，得a3又知ab≥ac≥所以a3所以a4即a2分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)排序不等式分析計(jì)算即可.4.設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，E=＜FB.E≥F＝FD.答案：B解析：解答：不妨設(shè)a1≥a2≥由排序不等式：順序和≥亂序和，得a1即a1a2a分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是，不妨設(shè)a1≥a2根據(jù)排序不等式分析計(jì)算即可.5.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則式子M=aA.MB.M與0的大小關(guān)系與a，b，c的大小有關(guān)D．不能確定答案：A解析：解答：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則又a3≥b∴a4b+∴a5+b5分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是不妨設(shè)a≥b≥c>二、填空題6.已知a，b，c都是正數(shù)，則ab+c答案：3解析：解答：設(shè)a≥b≥c>0由排序不等式，知ab+c+ab+c+①＋②，得ab+c分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)a≥b≥，所以1b+c≥1c+a7.某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價(jià)格不同的禮品4件，5件和3件，現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)分別為3元，2元和1元和禮品，則至少要花__________元，最多要花_________元.答案：19|25解析：解答：因?yàn)?，所以不妨設(shè)，易知其最大值為25，最小值為19.分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是不妨設(shè)，易知其最大值為25，最小值為198.n個(gè)正數(shù)與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的乘積的和的最小值為__________答案：n解析：解答：設(shè)0<a1≤∴最小值為反序和a1分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是0<a1≤a9.x∈R，則1＋答案：2解析：解答：(1∴1＋當(dāng)且僅當(dāng)1＋sin分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是排序不等式分析計(jì)算即可三、解答題10.設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a12答案：證明：由對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，1bc故由排序不等式：順序和≥亂序和，得a12bc又因?yàn)閍11≥b11≥c11，1a再次由排序不等式：反序和≤亂序和，得a11a所以由①②得a12解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是需要搞清：題目中沒有給出a，b，c三個(gè)數(shù)的大小順序，且a，b，c在不等式中的“地位”是對等的，故可以設(shè)a≥b≥c，再利用排序不等式加以證明.11.設(shè)a1，a2，…，an是1，2，…，n的一個(gè)排列，求證：12答案：證明：設(shè)b1，b2，…bn－1是a1，a2，…，an－1的一個(gè)排列，且b1＜b2＜…＜bn－1，c1，c2，…，cn-1是a2，a3，…，an的一個(gè)排列，且c1＜c2＜…＜cn-1，則1c1>1c2>…>1cn-1且b1≥1，b2≥2，…，bn-1≥n-1，c利用排序不等式，有a1∴原不等式成立.解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對于沒有給出大小關(guān)系的情況，要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關(guān)系.12.設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：1答案：證明：設(shè)a≥則1c≥1由不等式的性質(zhì)，知a5根據(jù)排序不等式，知a5又由不等式的性質(zhì)，知a2≥b由排序不等式，得a2由不等式的傳遞性，知1a∴原不等式成立.解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)a≥b≥c>0，得到1c≥13.設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，求證：a1答案：證明：不妨設(shè)a1≥a2≥a3＞0，于是1a1＋1a2＋1a3，a3a2≤由排序不等式：順序和≥亂序和得a＝a即a1解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是不妨設(shè)a1≥a2≥a3＞0，于是1a1＋1a2＋1a3，a3a2≤a14.設(shè)x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn答案：證明：一：當(dāng)x≥1時(shí)1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：順序和≥反序和，得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因?yàn)閤，x2，…，xn，1為序列1，x，x2，…，xn的一個(gè)排列，于是再次由排序原理：亂序和≥反序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn-1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn-1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n-1＋xn≥(n＋1)xn.②將①和②相加得1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.二：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1＞x＞x2＞…＞xn，但①②仍然成立，于是③也成立.綜合一、二，證畢.解析：分析：考查排序不等式的應(yīng)用.解答本題需要注意：題目中只給出了x＞0，但對于x≥1，x＜1沒有明確，因此需要進(jìn)行分類討論.15.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：bca答案：證明：由題意不妨設(shè)a≥由不等式的單調(diào)性，知ab≥ac≥由排序不等式，知ab≥ab即所證不等式bca解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是不等式的左邊，可以分為數(shù)組ab，ac，bc和1c，1b，16.設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：a答案：證明：不妨設(shè)a≥b≥c>0，則lga≥lgb≥lgalga+blg且alga+blg以上三式相加整理，得3a即lga故aa解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是不妨設(shè)a≥b≥c>0，則lg17.已知0<α<β<γsinα答案：證明：∵0<α<β<γ<πy＝cosx在(0，∴0＜sinα＜sinβ＜sinγ，cosα＞cosβ＞cosγ＞0.根據(jù)排序不等式得：亂序和＞反序和.∴sin解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)0<α<β<γ<π2，且y＝sinx在(0，π2)為增函數(shù)，得到0＜sin然后根據(jù)亂序和＞反序和證明即可18.設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：ab答案：證明：由題意不妨設(shè)a≥b>0.則a2≥根據(jù)排序不等式，知a2b×解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是由題意不妨設(shè)a≥b>0.則a2≥19.已知a，b，c為正數(shù)，a＞b＞c，求證：①1bc②1b答案：證明：①∵a≥b＞0，于是1a又c＞0，∴1c＞0同理，∵b≥c＞0，于是1b∵a＞0，∴1a＞0從而1bc②由①1a＝b2c3＋c2a3＋a2b≥c解析：分析：本題考查排序不等式的直接應(yīng)用，解答本題需要分析式子結(jié)構(gòu)，然后通過對比、聯(lián)想公式，構(gòu)造數(shù)組，利用公式求解.20.設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a2答案：證明：不妨設(shè)0<a≤b0<1由排序不等式：亂序和≤順序和，得a3?a3?將①②兩式相加，得a2將不等式兩邊除以2，得a2解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是不妨先設(shè)定0<a21.在△ABC中，試證：π3答案：解：不妨設(shè)a≤b≤aA+bB+cC=aA+bB+cC≥aA+bB+cC≥相加，得3aA+bB+cC得aA+bB+cCa+b+c≥又由0<b+c-a，0<a+b-c，有0<===a+b+c得aA+bB+cCa+b+c<綜合①②得證.解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是可構(gòu)造△ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來證明22.設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a12答案：解：設(shè)a≥則a12≥b由順序和≥亂序和，得a12bc而1a由亂序和≥反序和，得a11b綜合①②，可得原不等式成立.解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)a≥則a12≥b1223.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足abc=1,試證明:1a3(b+c)+1b3答案：解：由abc=1,得1a3(b+c)=b2c2ab+ac,1b2c2ab+ac+c2證法一：運(yùn)用柯西不等式,有(ab+bc+ca)2=(abca+cb·ca+cb+bcab+ac·ab+ac+caab+bc·≤(a2b2ca+cb+于是,b2c2ab+ac+c2a2bc+ba+a2證法二：由基本不等式得b2c2ab+ac+c2a2ab+bc+ab+bc4相加得c2b2ab+ac+c2a2ba+bc+a2證法三：設(shè)s=bca(b+c)·bc+acb(c+a)·ac+設(shè)a≤b≤c,則ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.于是bca(b+c)≥acb(a+c)≥s≥bca(b+c)·ac+acb(a+c)·ab+abc(a+b)·bc=ca(b+c)+s≥bca(b+c)·ab+acb(a+c)·bc+abc(a+b)·ac=ba(b+c)+相加得2s≥1a+1b+1c≥33解析：分析：本題主要考查了排序不等式，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)a≤b≤c,則ab≤ac≤bc,ab+ac≤ab+bc≤ac+bc.于是bca(b+c)≥