彈性力學問題一般解空間軸對稱問題

彈性力學問題一般解空間軸對稱問題第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日前面重點討論了彈塑性力學的平面問題。關于梁的彎曲問題由于空間維度的簡化，作為平面應力問題在材料力學中比較成功地得到了解決，我們只是在平面問題中進行了檢驗。§8-1彈性力學問題的一般解一、位移法現(xiàn)在我們將對一般空間彈性力學問題的解法給予理論分析，并舉出解法實例。在一般求解邊值問題時，按照未知量的不同有位移法與應力法，下面分別來進行討論。第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日若以位移為基本未知量，必須將泛定方程改用位移來表示?，F(xiàn)在來進行推導：將式(4-2)代人式(4-6)得再將式(a)對j取導后再代人式(4-1)得（4-1）第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日同理，并采用Laplac算符如物體內質點處于運動狀態(tài)，式(8-1)也可寫為第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日當體力不計時，有式(8-2)(用位移表示的）平衡(運動)微分方程的展開式為上述式(8-3)或式(8-4)稱為Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（納維葉）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式(8-3)的推導過程是平衡方程、幾何方程及本構方程的綜合，因此以位移形式表示的平衡(運動)微分方程是彈性力學問題位移解法的基本方程。Lame方程在彈性波動力學問題中是極為重要的理論基礎。

第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日由此，用位移法解彈性力學問題歸結為按給定邊界條件積分Lame方程。

(式中為函數(shù)沿物體表面法線n的方向導數(shù))，其展開式為其方法與將應力形式的平衡方程轉化為Lame方程的方法大致相同?，F(xiàn)推導如下：先后將式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得所求問題的邊界條件給定的是邊界上的位移，則可直接進行計算。如果全部邊界或部分邊界上給出的是應力邊界條件，就要將應力形式的邊界條件轉換成為位移形式。第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日解:以xy為邊界面，取z軸垂直向下。采用半逆解法。由于載荷和幾何形狀都對稱于z軸，則各點位移只在z向有變化。試假設因此由Lame方程式(8-3)的前兩式知，它們成為恒等式自然滿足，而第三式給出而

例8-1設有半空間無限體，容重為p，在上邊界上受均布壓力q，求體內的位移和應力。

體力分量如圖8-1所示。

面力分量在z=0處,于是第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日式中A、B為積分常數(shù)。邊界上邊界條件式(8-6)前兩式自然滿足，因為只與z有關。其第三式為又將式(3)代入式(4)得，再代回式(3)，得第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日為了確定常數(shù)B，可以將無限的邊界條件轉化為有限的，即假定半空間體在距平面邊界h足夠遠處已經(jīng)很小而可以忽略，即，則由式(5)得于是，式(3)給出的位移為將換成來表示，則位移解答為顯然最大位移發(fā)生在邊界上，由式(8-7)可知將式(8-7)代入幾何方程(4-2)求出應變，再引用式本夠方程(4-6)可得應力分量解答第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、應力法以應力作為基本未知量，需將泛定方程改用應力分量表示。應力方程可由應變協(xié)調方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用應力應變關系就可得到用應力表示的應變協(xié)調方程。不過也可從位移方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出發(fā)來推導：

第一步，先將Lame方程轉變?yōu)槿齻€正應力和的關系式，供以下推證使用。將式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得

將式(d)簡化，可得使式(e)對k取導，則第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日再將式(f)乘以以(展開式相加)，可得由于，再使；前兩項合并，得令，由式(4-12)知，化簡則有

第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二步，再由Lame方程，利用幾何方程與虎克定律得到應力公式。再按式(f)改變下標符號，可寫出以下兩式

將式(j)及式(k)相加，得出利用式(4-5)，式(1)中，簡化后得由式(i)并將下標符號i改為k可得

第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日于是有其展開式為（用應力表示的協(xié)調方程）6個方程可以解6個應力分量）由，式(8-10)可寫成第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日當不計體力時，有式(8—12)和式(8—13)稱為Beltrami—Michell(貝爾特拉米—米歇爾)方程，也即應力協(xié)調方程。

由此，用應力法解彈性力學問題歸結為按給定邊界條件滿足平衡微分方程(4-1)和協(xié)調方程。注意到：Beltrami—Michell方程是以應力形式表示的變形協(xié)調方程，并且在推導中雖然用到了平衡方程(此處引用Lame方程推出)，但推導中進行了對平衡方程的求導[見式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考慮平衡方程，于是得出上述應力法求解的結論。

下一節(jié)我們舉等截面懸臂梁的彎曲為空間問題按應力求解的實例?，F(xiàn)在我們來討論兩種求解方法的特點：

按位移法求解彈性力學問題時，未知函數(shù)的個數(shù)比較少，僅有三個未知量、、。但必須求解三個聯(lián)立的二階偏微分方程。

第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日應力法系以六個應力分量作為基本未知函數(shù)，用應力法雖然比位移法多了三個，而得到比位移法更復雜的方程組，但由于用應力作為未知函數(shù)后，邊界條件比位移法簡單得多，所以對于已知表面力邊界的問題，用應力法所得的最后基本方程式，在多數(shù)實際問題中反而比位移法簡單而且容易求解。應該指出，用位移法解彈性力學問題時，在滿足位移表示的平衡方程及邊界條件求得物體各點位移后，用幾何條件得出應變分量，則變形連續(xù)條件自行滿足(因為所設位移函數(shù)是單值連續(xù)函數(shù))。而用應力法解彈性力學問題時，還須注意所謂位移單值性的問題，因為由應變求位移時，需要進行積分運算，這就涉及到積分的連續(xù)條件問題。對于單連體(即只有一個連續(xù)邊界的物體，也就是內部無空洞的物體)問題，如滿足平衡方程、應力協(xié)調方程及應力邊界條件，則應力分量完全確定，其解是唯一確定的。而對于多連體(即內部有空洞的物體)問題，則除了滿足上述方程及邊界條件外，還要考慮位移的單值性條件(即物體中任意一點的位移是單值的)，這樣才可能完全確定應力分量(這一點已經(jīng)在本書第六章中厚壁筒解答里進行過討論)。

第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

雖然上面所說按應力法求解比位移法求解容易些，但就解決彈性體問題的普遍性而言，按位移求解是更為普遍適用的方法，特別是在彈性波傳播理論及在數(shù)值計算方法中，例如有限差分法、有限單元法等得到了廣泛的應用。

對于具體實際問題，應根據(jù)問題的特點或者所要求的未知參量，恰當?shù)剡x擇求解方法。不論以位移或應力作為未知函數(shù)的位移法或應力法(相當于材料力學和結構力學中求解超靜定問題時的位移法與應力法)，在彈塑性力學中為便于構設未知函數(shù)，具體解題大多采用逆解法與半逆解法。

第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日§8-2任意等截面懸臂梁的彎曲

這里將討論任意等截面懸臂梁，在自由端受力P作用的問題。P力過自由端的彎曲中心T，并與過截面形心A的一個主形心軸平行。取固定端截面的形心為坐標原點，取梁的軸線為z、x、y軸與截面的形心主軸重合，圖8-2。用半逆解法解此題，參考材料力學結果，設式中為截面對y軸的慣性矩。將式(a)代入平衡方程(4-1)，略去體力，得由式(b)前兩式知剪應力和與坐標z無關，只是x、y的函數(shù)。

第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日使則式(8-14)滿足方程式(b)，式中的f(y)為y的任意函數(shù)，以式(8-14)代人式(c)，有

為滿足與沿x向的面力邊界條件。以式(a)代入應力協(xié)調方程(8-13)則式(8-13)的前四式成為恒等式，第五及第六式為

并注意到取應力函數(shù)

第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日由式(d)式的第二式積分可知

式中C是積分常數(shù)。這個常數(shù)有簡單的物理意義，我們考察懸臂梁的橫截面上任意一微分體的轉動角(剛性轉動位移)它沿軸的變化率是

第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日由式(i)可見該旋轉角沿z方向的變化率(相當單位長度的軸向轉角)包括兩項；現(xiàn)在再考察邊界條件式(4-13)。以式(e)代人式(h)，得

實際上，C／(2G)就是單位長度的扭轉角。若P力通過截面的彎曲中心T，柱體無扭轉發(fā)生，應取C=0，這時式(e)化為

其中y的一次項表示對不同y坐標的縱向微條，將產(chǎn)生不同的單位長度的軸向轉角，因此這部分將引起橫截面的畸變；其中常數(shù)項表示對桿中所有的縱向微條，將產(chǎn)生相同的單位長度的軸向轉角，這時桿的任意一個橫截面，只是剛性地轉過某一角度，因此這部分表不桿的扭轉變形。柱體的側面有無外力作用，邊界條件前兩式自動滿足以式(8-14)代人，有

第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日將式(8-14)代人式(j)有

所以我們可以選取任意函數(shù)f(y)，使式(8-16)方括號內的項等于零，即于是，側面無外力的邊界條件轉化為，也就是在周邊上是常數(shù)，如取這常數(shù)為零，則

。如考慮自由端端面邊界條件，可以求出截面上無扭矩的條件，也即彎曲中心T距形心A的位置e(圖8-2)，此部分計算從略。

于是彎曲問題歸結為解微分方程(8-15)，而在周邊上滿足式(8-17)及。注意到式(8-15)也就是Boisson方程，柱體彎曲問題也可以通過薄膜比擬法求解。而第三式因有因為

第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日例8-2試求半徑為ro的圓截面懸臂梁，端點受P力作用時截面內的彎曲剪應力(圖8-3)。解:

截面周邊為一圓周，其方程為

為了使周邊上滿足式(8-17)，取于是方程(8-15)為

式中m為常系數(shù)。以式(4)代入式(3)，即可求得可見可以是關于y三次、關于x二次的多項式，為使周邊上，取

第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日將式(5)代人式(4)，得將式(6)和式(2)代入式(8-14)，得剪應力討論：現(xiàn)在對應力分布作一些分析。在水平直徑上(x=O)，由式(8-18)得到當y=0，即在圓心處，取得最大值，即

第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日在水平直徑兩端x=0，處，有對一般鋼材，取，則有

所以對于最大剪應力，初等理論的解答誤差約為4％。

式中A為截面的面積。由式(8-19)給出的水平直徑上的分布如圖8-4所示。

根據(jù)材料力學梁的初等理論，設剪應力均勻分布在截面的水平直徑上,得出，則第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日§8-3空間軸對稱問題的基本方程

在工程中有不少問題的幾何形狀是回轉體，物體的幾何約束和所受的載荷亦是對稱于回轉軸z的。此時用柱坐標表達更為方便，所有各個力學參量分量都是r和z的函數(shù)而與無關(圖8-5)。這種問題稱為空間軸對稱問題，它是解決彈性接觸問題的基礎?，F(xiàn)用相距dr的兩個圓柱面，互成d的兩個鉛直面和相距dz的兩個水平面，從彈性體中截取一個微小六面單元體[圖8-5(a)]，仿照直角坐標及極坐標的基礎理論推導方法，建立圓柱坐標的泛定方程。現(xiàn)將公式介紹如下。

1．平衡方程

第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日式(8-23)即為空間軸對稱問題的平衡微分方程。

注意到應力分量是(r，z)的函數(shù)，如圖8-5(b)將微分體各面上的應力分量寫出。單位體積內的體力在r、z方向的分量分別表示Fr、Fz，根據(jù)此微分體在r方向的平衡條件，得

在得式(8-23)第一式，同理取z向平衡條件，得式(8-23)的第二式，也即在式(a)中，及分別為微分體上、下面的剪應力；因為很小,可取,并略去高階微量，全式除以第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日于是兩者疊加可得空間軸對稱問題的位移應變關系式

2．幾何方程

由徑向位移引起的應變分量為

而由軸向位移引起的應變分量為第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日3．本構方程

正交坐標系，可直接由這一性質按Hooke定律得到

或

式(8-26)中共有式中為體積應變。

10個未知函數(shù)，必須滿足上述10個泛定方程。

第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日4．空間軸對稱問題的Lame方程

當體力Fr=Fz=0時，將式(8-26)代人式(8-23)，如計及，則式(8-27)也可寫為當由式(8-27)得到滿足邊界條件的位移函數(shù)后，再代回式(8-24)、式(8-26)即可求得應變分量和應力分量。便可得到以位移表達的平衡方程，即解空間軸對稱問題的位移法的基本方程為并采用記號第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日§8-4半空間體在邊界上受法向集中力—Boussinesq問題

當無限彈性空間體上表面受一垂直集中力作用時，其體內各點的應力分布與變形問題，是一個在許多科學技術領域(如彈性接觸研究及巖石在鉆具作用下的破碎理論中)常會遇到的問題，通常稱之為Boussinesq（布西內斯克）問題。這是一個空間軸對稱問題，與所有彈性力學問題一樣，可以采用位移解法與應力解法?，F(xiàn)在我們只簡單介紹該問題求解的位移法。

設半無限體表面受法向集中力P作用，坐標選取如圖8—6所示，當用位移法求解時，其方法就是如何求出方程(8-27)的解，并使之滿足邊界條件。Boussinesq找到了滿足式(8-27)的兩組特解，也即滿足上述平衡方程的兩組位移函數(shù)，分別為

第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日以下利用邊界條件來確定常數(shù)A、B。將式(c)代人式(8-26)并注意到式中，r、z是被考察點M的兩個坐標；是點M到坐標原點的距離；A、B是兩個任意常數(shù)。據(jù)此，上述兩線性無關的特解可以相加得到該二階偏微分方程式(8-27)的通解：

則可得到以下四個應力分量的函數(shù)

第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日解式(f)與式(h)兩式可得又可設想過M點作一個與邊界平行的截面，將彈性半空間體的上部分切下。根據(jù)被切下部分的z向平衡條件，可得為求得任意常數(shù)A、B，先由邊界上無剪應力的條件，將式(e)中的以代人上式得即當z=0，r≠0時，(如z=0，r=0時，，自然滿足)，可由式(e)最后一式得出第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日把所得到的A、B代回式（c），最后得位移的計算式為再將A、B代回式(e)可得應力分量的計算式為討論：由以上得到的位移及應力計算公式(8-29)、式(8-30)可以看出：

(1)隨著R的增大，位移和應力分量迅速減小。當R→∞時，位移和應力分量皆趨于零。這說明此物體受力狀態(tài)下的應力與位移均帶有局部的性質。

(2)當r=0,R→0，各應力分量都趨于無限大。所以在集中力P作用點處材料早已進入塑性，由于實際載荷不可能加在一個幾何點上，而實際上是分布在一個小面積上，由圣維南原理說明，只在要稍偏離接觸區(qū)的地方，其計算公式仍是正確的。第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日(4)由位移計算公式(8-29)第二式，當z=0半無限體邊界處任一點的法向位移沉陷量為(5)當r=0，R=z時，亦即在外力作用線z線上的各點，由式(8-30)其應力為這說明，在z軸上各點受到兩向拉伸，一向壓縮，它的主應力分別為以絕對值比較，比徑向及周向應力、大得多。(3)由應力計算公式(8-30)，z=0時半無限體邊界上的各點應力為這說明，邊界面上各點受到純剪切作用。

第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日§8-7力學分析方法概述

彈塑性力學與所有力學的分析方法一樣，用數(shù)學公式來表達彈塑性體受力的變形問題有兩條不同的途徑：其中一條途徑是以牛頓定律作為依據(jù)，通過微分體各力學參量之間的關系建立微分方程及其邊界條件，這屬于“矢量力學”范疇，我們要求的解就是應當既滿足泛定方程，又滿足邊界條件，如果是精確滿足就是精確解，如果是近似滿足就是近似解(我們在以前所討論的都是這部分內容)；另一途徑是以功能原理作為依據(jù)在上述微分關系上，最后通過積分建立整個物體的能量表達式(泛函)求其駐值或極值問題，這屬于“分析力學”的范疇。我們要求的解就是精確或近似滿足邊界條件，同時使能量具有極值(一般為最小值)。上述兩種途徑：前者稱為幾何法(矢量法)，后者稱為變分法(能量法)。在一定條件下它們所討論的內容可以互相轉化，它們所得到的結果可以為函數(shù)解，是等價的，統(tǒng)稱為力學分析的解析法。

第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

②對于彈塑性力學邊值問題的求解，真正能解出精確的函數(shù)解的只是極少數(shù)的簡單問題，特別在二維和三維問題中更為困難，這是因為客觀事物的復雜性與多樣性不可能用有限的閉合的“解析函數(shù)”來描述。矢量法與能量法在應用上各有特點，一般說來：①矢量法中微分方程的形成是與矢量相聯(lián)系的，所以對于二維或三維問題就有聯(lián)立的兩個或三個微分方程組，而且方程的形式隨著坐標的變換而改變。而能量法是以虛功或余虛功原理作依據(jù)，綜合三大力學規(guī)律以能量形式表示的，是不隨坐標變換的改變量。而能量法(指應用能量原理的變分法)卻為求近似解提供了有利條件，因為能量計算中的最高階次導數(shù)只有微分方程中的最高階次導數(shù)階次的一半(可以材料力學梁的彈性曲線方程為例)。另外，微分方程的邊界條件在用能量法時可以相應放松。所以能量法更容易構造近似解。

第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日對基于能量原理的變分法我們將