初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊第一章三角形的證明2．直角三角形 市賽獲獎

北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊第一章第二節(jié)直角三角形課時練習(xí)一、選擇題（共15小題）1．下列說法中不正確的是（）A．平行四邊形是中心對稱圖形B．斜邊及一銳角分別相等的兩直角三角形全等C．兩個銳角分別相等的兩直角三角形全等D．一直角邊及斜邊分別相等的兩直角三角形全等答案：D解析：解答：A．平行四邊形是中心對稱圖形，說法正確；B．斜邊及一銳角分別相等的兩直角三角形全等，說法正確；C．兩個銳角分別相等的兩直角三角形全等，說法錯誤；D．一直角邊及斜邊分別相等的兩直角三角形全等，說法正確；故選：C．分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義可得A說法正確；根據(jù)AAS定理可得B正確；根據(jù)全等三角形的判定定理可得要證明兩個三角形全等，必須有邊對應(yīng)相等可得C正確；根據(jù)HL定理可得D正確．2．將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（）A．140° B．160° C．170° D．150°答案：B解析：解答：∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故選：B．分析：利用直角三角形的性質(zhì)以及互余的關(guān)系，進(jìn)而得出∠COA的度數(shù)，即可得出答案．3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，則∠A=（）A．44° B．34° C．54° D．64°答案：A解析：解答：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故選A．分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解．4．如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°答案：C解析：解答：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故選：C．分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答．5．如圖，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補(bǔ)充條件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正確答案：B解析：解答：從圖中可知AB為Rt△ABC和Rt△ABD的斜邊，也是公共邊．依據(jù)“HL”定理，證明Rt△ABC≌Rt△ABD，還需補(bǔ)充一對直角邊相等，即AC=AD或BC=BD，故選：B．分析：根據(jù)“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，因圖中已經(jīng)有AB為公共邊，再補(bǔ)充一對直角邊相等的條件即可．6．下列可使兩個直角三角形全等的條件是（）A．一條邊對應(yīng)相等 B．兩條直角邊對應(yīng)相等C．一個銳角對應(yīng)相等 D．兩個銳角對應(yīng)相等答案：B解析：解答：兩直角三角形隱含一個條件是兩直角相等，要判定兩直角三角形全等，起碼還要兩個條件，故可排除A、C；而D構(gòu)成了AAA，不能判定全等；B構(gòu)成了SAS，可以判定兩個直角三角形全等．故選：B．分析：判定兩個直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五種．據(jù)此作答．7．如圖，O是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到AB，AC的距離OE=OF，則△AEO≌△AFO的依據(jù)是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA答案：A解析：解答：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO為公共邊，∴△AEO≌△AFO．故選A．分析：利用點(diǎn)O到AB，AC的距離OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求證△AEO≌△AFO，即可得出答案．8．如圖所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，則∠A的度數(shù)為（）A．65° B．35° C．55° D．45°答案：B解析：解答：∵AB⊥BD，AC⊥CD，∴∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，又∵∠AEB=∠CED，∴∠A=∠D=35°．故選B．分析：先由AB⊥BD，AC⊥CD可得∠B=∠C=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，由對頂角相等有∠AEB=∠CED，然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°．9．在直角三角形中，其中一個銳角是另一個銳角的2倍，則此三角形中最小的角是（）A．15° B．30° C．60° D．90°答案：B解析：解答：設(shè)較小的銳角是x°，則另一個銳角是2x°，由題意得，x+2x=90，解得x=30，即此三角形中最小的角是30°．故選：B．分析：設(shè)較小的銳角是x，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列出方程求解即可．10．直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角的度數(shù)為（）A．100度 B．120度 C．135度 D．140度答案：C解析：解答：如圖，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AD、BE分別是∠BAC和∠ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°，∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．故選：C．分析：作出圖形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠BAC+∠ABC=90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=45°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．11．如圖所示，H是△ABC的高AD，BE的交點(diǎn)，且DH=DC，則下列結(jié)論：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：B解析：解答：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH=∠ADB=90°∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE∴∠HBD=∠EAH∵DH=DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD=AD，BH=AC②：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD∴∠ABC=45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°∴結(jié)論②為錯誤結(jié)論．③：由①證明知，△BDH≌△ADC∴BH=AC解④：∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏條件，無法證得△BEC≌△ADC∴結(jié)論④為錯誤結(jié)論綜上所述，結(jié)論①，③為正確結(jié)論，結(jié)論②，④為錯誤結(jié)論，根據(jù)題意故選B．故選：B．分析：可以采用排除法對各個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，從而得出最后的答案．12．如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等的依據(jù)是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL答案：C解析：解答：兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，這為“邊角邊”定理，簡寫成“SAS”．故選：C．分析：根據(jù)三角形全等的判定定理，兩條直角邊對應(yīng)相等，還有一個直角，則利用了SAS．13．如圖，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則∠EDF的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°答案：C解析：解答：如圖，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故選：C．分析：由三角形內(nèi)角和定理求得∠A=70°；由垂直的定義得到∠AED=∠AFD=90°；然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360度進(jìn)行求解．14．已知，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，則圖中相等的銳角的對數(shù)有（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對答案：C解析：解答：相等的銳角有：∠B=∠CAD，∠C=∠BAD共2對．故選：C．分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余和同角的余角相等寫出相等的角即可．15．下列說法錯誤的是（）A．直角三角板的兩個銳角互余B．經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能畫一條直線與已知直線平行C．如果兩個角互補(bǔ)，那么，這兩個角一定都是直角D．平行于同一條直線的兩條直線平行答案：C解析：解答：A．直角三角形中的兩個銳角互余，所以直角三角板的兩個銳角互余，故本選項(xiàng)說法正確；B．根據(jù)平行公理可知：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條，故本選項(xiàng)說法正確；C．如果兩個角互補(bǔ)，那么，這兩個角和一定是180°，但是它們不一定都是直角，故本選項(xiàng)說法錯誤；D．根據(jù)平行線的遞等性知平行于同一條直線的兩條直線平行．故本選項(xiàng)說法正確；故選：C．分析：①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷；②過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條；③根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷；④根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．二、填空題（共5小題）16．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD與CE交于點(diǎn)F，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．答案：AB=BC解析：解答：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，∠B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．分析：要使△ADB≌△CEB，已知∠B為公共角，∠BEC=∠BDA，具備了兩組角對應(yīng)相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分別根據(jù)AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．17．如圖，已知AB⊥CD，垂足為B，BC=BE，若直接應(yīng)用“HL”判定△ABC≌△DBE，則需要添加的一個條件是．答案：AC=DE解析：解答：AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案為：AC=DE．分析：先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理推出即可．18．如圖，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列結(jié)論：①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B與∠2互余；⑤∠A=∠2．其中正確的有（填寫所有正確的序號）．答案：①②③解析：解答：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴△ACD與△ACB都為直角三角形，∴∠A+∠1=90°，∠A+∠B=90°，∴∠1=∠B，選項(xiàng)③正確；∵∠1=∠2，∴AC∥DE，選項(xiàng)①正確；∴∠A=∠3，選項(xiàng)②正確；∵∠1=∠B，∠1=∠2，∴∠2=∠B，即∠2與∠B不互余，選項(xiàng)④錯誤；∠2不一定等于∠A，選項(xiàng)⑤錯誤；則正確的選項(xiàng)有①②③，故答案為：①②③．分析：由同角的余角相等得到∠1=∠B，由已知內(nèi)錯角相等得到AC與DE平行，由兩直線平行同位角相等得到∠A=∠3，再利用等量代換得到∠2與∠B相等，∠2不一定等于∠A．19．在一個直角三角形中，有一個銳角等于30°，則另一個銳角的大小為度．答案：60解析：解答：∵三角形是直角三角形，一個銳角等于30°，∴另一個銳角為90°﹣30°=60°，故答案為：60．分析：根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出另一個銳角的度數(shù)即可．20．在△ABC中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BH=AC，則∠ABC=．答案：45°或135°解析：解答：有2種情況，如圖（1），（2），∵∠BHD=∠AHE，又∠AEH=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠C，∴∠C=∠BHD，∵BH=AC，∠HBD=∠DAC，∠C=∠BHD，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD．如圖（1）時∠ABC=45°；如圖（2）時∠ABC=135°．∵AD=BD，AD⊥BD，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°，故答案為：45°或135°．分析：根據(jù)高的可能位置，有2種情況，如圖（1），（2），通過證明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解．三、解答題（共5小題）21．如圖，已知∠A=∠D=90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB=CD，BE=CF．求證：Rt△ABF≌Rt△DCE．答案：證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．解析：分析：由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證明．22．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，問：△ABC≌△ADC嗎？說明理由．答案：解：△ABC≌△ADC．理由如下：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°．在△ABC與△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．解析：分析：根據(jù)全等三角形的判定定理AAS進(jìn)行證明．23．如圖，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD=BE，∠1=∠2．求證：△ADE≌△BEC．答案：證明：∵∠1=∠2，∴DE=CE．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°．∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE．∴△ADE≌△BEC．解析：分析：此題比較簡單，根據(jù)已知條件，利用直角三角形的特殊判定方法可以證明題目結(jié)論．24．如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．求證：CD⊥AB．