半無線長桿中卸載邊界傳播特性

半無限長桿中卸載邊界的傳播特性翟文宇2014年5月9日

從前面的章節(jié)可知，除了在卸載擾動是強(qiáng)間斷或塑性加載擾動是強(qiáng)間斷的情況外，一般情況下彈塑性邊界并非應(yīng)力擾動、應(yīng)變擾動或指點速度擾動本身的傳播軌跡。彈塑性邊界雖然不是力學(xué)擾動本身的傳播，但它的位置也隨時間變化，這就是所謂的彈塑性邊界的傳播。前言正文邊界傳播速度局部線性化法邊界傳播速度

彈塑性邊界的傳播速度一般是隨著彈塑性波相互作用過程的進(jìn)行而不斷地變化著的，可以前進(jìn)，可以后退。

從加載——卸載的角度看，彈塑性邊界有從彈性區(qū)發(fā)展到塑性區(qū)的加載邊界，也有從塑性區(qū)卸載到彈性區(qū)的卸載邊界。對于半無限長桿，彈塑性加載波是簡單波，因此加載邊界容易確定，困難主要在于卸載邊界的確定。接下來我們用特征線法來分析一下半無限長桿中弱間斷卸載邊界的一般傳播特性，討論一下傳播速度到底主要取決于哪些因素。邊界傳播速度如圖所示，考察弱間斷卸載邊界

（或者其反演）上任意一點及其鄰近點，它們通過卸載區(qū)中的點以特征線相聯(lián)系，其中是卸載區(qū)中左行特征線而是卸載區(qū)中右行特征線。在塑性加載區(qū)一側(cè)，經(jīng)點的左行特征線與經(jīng)點的右行特征線交于N點。邊界傳播速度由沿特征線的相容條件：和沿特征線的相容條件：消去，并考慮到在半無限長桿的情況下和之間應(yīng)滿足簡單波關(guān)系式：則可以得到：邊界傳播速度由特征線和表達(dá)式：來求和對時間的偏導(dǎo)數(shù)，考慮到和是相互獨(dú)立的，及，可得于是根據(jù)公式（4）可得邊界傳播速度當(dāng)時，可得弱間斷卸載邊界上任意一點處與之間的關(guān)系如下：另一方面，在塑性簡單波區(qū)中，沿右行特征線有：而由特征線的表達(dá)式有：邊界傳播速度將式（10）帶回式（9），并令，則可得上任一點處與間的如下關(guān)系：

和均為已知，因而式（8）和式（11）消去后，就得到上任意點處卸載邊界傳播速度與該點處和三者間的關(guān)系如下：邊界傳播速度可以解出得在現(xiàn)在所討論的情況下，表示由塑性區(qū)進(jìn)入彈性區(qū)的卸載邊界。只要和不同時為零，則必定異號。于是由式（12）可知：這說明半無限長桿中卸載邊界傳播速度之值必在彈性波速值和塑性波速值之間。局部線性化法

對于解正問題，有一種有效的近似方法，叫做局部線性化法。其基本思想為：把上述結(jié)果用于桿端，由于桿端處的載荷條件已作為邊界條件給出，其對t的各階偏導(dǎo)數(shù)均屬已知，因而由卸載開始時和對t的各階偏導(dǎo)數(shù)中不同時為零的階數(shù)最低者，即可按照下式確定卸載邊界的初始傳播速度，也即平面上

在點的初始斜率。局部線性化法只要把初始段取得足夠短，就可以近似看做直線由所確定，而上的應(yīng)力值和質(zhì)點速度值可根據(jù)塑性加載區(qū)的已知解來確定，于