whx周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換

第六講2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換2.4離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)了解傅里葉變換的幾種形式了解時(shí)域與頻域信號(hào)特性的對(duì)偶關(guān)系了解周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換之間的關(guān)系了解離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系補(bǔ)充內(nèi)容:Fourier變換的幾種可能形式

時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)非周期非周期連續(xù)—傅里葉變換（FT）周期連續(xù)離散非周期—傅里葉級(jí)數(shù)（FS）離散非周期周期連續(xù)—序列的傅里葉變換周期離散離散周期—離散傅里葉變換連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率—傅里葉變換(FT)時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。連續(xù)時(shí)間、離散頻率—傅里葉級(jí)數(shù)(FS)時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時(shí)域周期函數(shù)造成頻域的離散。離散時(shí)間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換

時(shí)域的離散化造成頻域的周期延拓，而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)離散時(shí)間、離散頻率—離散傅里葉變換

一個(gè)域的離散造成另一個(gè)域的周期延拓，因此離散周期序列的傅里葉變換的時(shí)域和頻域都是離散的和周期的四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)(FT)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)(FS)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)(DFS)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)(DFT)§2.3.1周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對(duì)上式進(jìn)行抽樣，得：導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)開(kāi)始的：因是離散的，所以應(yīng)是周期的。，代入而且，其周期為，因此應(yīng)是N點(diǎn)的周期序列。又由于所以求和可以在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行，即

即，當(dāng)在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。二、周期序列的DFS及其性質(zhì)周期為N的正弦序列其基頻成分為：

K次諧波序列為：

但離散級(jí)數(shù)所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的，這是與連續(xù)傅氏級(jí)數(shù)的不同之處，即

因此注意與連續(xù)周期序列傅氏級(jí)數(shù)的區(qū)別周期序列的特點(diǎn)周期序列不能進(jìn)行傅里葉變換，因?yàn)槠湓趎=-到+都周而復(fù)始永不衰減，不滿足絕對(duì)可和條件。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來(lái)表示，也即用周期為N的正弦序列來(lái)表示。將周期序列展成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，只需取k=0到(N-1)這N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，所以一個(gè)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)只需包含這N個(gè)復(fù)指數(shù)J加權(quán)的復(fù)指序列的線性組合。二.的k次諧波系數(shù)的求法

1.預(yù)備知識(shí)注意：其他r時(shí)分子總是為零的表達(dá)式將式的兩端乘

，然后從n=0到N-1求和，則：3.離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法

通常用符號(hào) 代入，則：正變換：反變換：周期序列的DFS正變換和反變換：其中：

1)周期序列可展開(kāi)為N次諧波的線性組合2）諧波系數(shù)也是一個(gè)由N個(gè)獨(dú)立諧波分量組成的傅立葉級(jí)數(shù)3）為周期序列，周期為N。周期序列的DFS小結(jié)周期序列的DFS小結(jié)DFS變換對(duì)公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無(wú)窮長(zhǎng)序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無(wú)窮長(zhǎng)序列實(shí)際上只有N個(gè)序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中，的傅里葉變換是在Ω=Ωo處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2π，即

對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中

，暫時(shí)假定其FT的形式與上式一樣，也是在ω=ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π，即X(ejω)是在ω=ω0+2πr(r取整數(shù))處強(qiáng)度為2π的單位沖激函數(shù)，這是因?yàn)?/p>

的周期性引起的。的頻譜如圖2-3所示。圖2-3的傅里葉變換逆變換計(jì)算如下

這是因?yàn)榉e分區(qū)間(-π，π)只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)。以上利用沖激函數(shù)表示序列的傅里葉變換，對(duì)于一般的周期序列，可以用DFS表示為N次諧波疊加的形式，那么利用傅里葉變換可以將按各次諧波表示如下式中k=0，1，2，…，N-1，若讓k在±∞之間變化，上式可簡(jiǎn)化為其中上式就是利用沖激函數(shù)，以及周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示周期序列的傅里葉變換的表達(dá)式。例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓得到的序列(如圖2-4(a)所示)，求序列的DFS與FT。解：(1)求DFS其幅度特性如圖2-4(b)所示。(2)求FT圖2-4序列x(n)的幅頻特性

序列x(n)的幅頻特性如圖2-4(c)所示。注意序列x(n)幅度特性和幅頻特性||的相似性，它們都可以表示周期序列的頻譜分布，但周期序列的||使用沖激函數(shù)表示的。2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

我們知道模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述

這里t與Ω的域均在±∞之間。從模擬信號(hào)幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號(hào)，即連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)，它們之間的關(guān)系如下：

X(ejω)與Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系，數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω(f)之間有什么關(guān)系，這在模擬信號(hào)數(shù)字處理中，是很重要的問(wèn)題。為分析上面提出的問(wèn)題，觀察令，代入上式后，再將Ω′用Ω代替圖模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系

例2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采樣頻率fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)，求xa(t)和的傅里葉變換以及x(n)的FT。解：

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，如圖2.4.2(a)所示。以fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào)，其與xa(t)的關(guān)系式為將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列x(n)，用下式表示：