初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度的國(guó)際比較研究

初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度的國(guó)際比較研究[作者簡(jiǎn)介＼]徐玉慶（1985-），男，甘肅武威人。中學(xué)二級(jí)教師，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檎n程教課論、比較研究。[大綱＼]數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題在數(shù)學(xué)教課中發(fā)揮重視要的作用，習(xí)題的難度在必然程度上反響了教材的難度，本文利用一個(gè)綜合難度模型，采用中國(guó)、美國(guó)、新加坡三套初中數(shù)學(xué)教材中“三角形相關(guān)的角”的內(nèi)容，從習(xí)題的背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理、知識(shí)綜合五個(gè)要素進(jìn)行解析，為我國(guó)初中數(shù)學(xué)教材編寫供給參照。＼[重點(diǎn)詞＼]教材比較;初中數(shù)學(xué);國(guó)際比較;綜合難度模型;三角形＼[中圖分類號(hào)＼]G424.7＼[文件表記碼＼]A＼[文章編號(hào)]10054634（2015）030121040序言綜合難度模型是一種利用等級(jí)權(quán)重來丈量和統(tǒng)計(jì)難度的方法，該方法在國(guó)際比較教育領(lǐng)域發(fā)揮重視要作用。目前我國(guó)與之相關(guān)的研究成就中，代表性的有鮑建生、史寧中等在初中數(shù)學(xué)教材難度進(jìn)行定量解析基礎(chǔ)上建立了課程難度模型＼[1＼]、朱婭梅在鮑建生的基礎(chǔ)上對(duì)中美初中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了綜合難度解析＼[2＼]、賈隨軍在鮑建生、史寧中建立的“由研究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量五個(gè)要素的基第1頁共10頁礎(chǔ)進(jìn)步行了微調(diào)，同時(shí)對(duì)中國(guó)與美國(guó)的數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題進(jìn)行了難度模型比較＼[3＼]。本文在賈隨軍教授的基礎(chǔ)上，對(duì)中國(guó)、美國(guó)、新加坡三國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中的“三角形的相關(guān)角”的習(xí)題進(jìn)行難度模型比較。第一，統(tǒng)計(jì)各要素上每個(gè)水平層次中的習(xí)題題量及百分比;其次，依據(jù)等級(jí)權(quán)重利用下邊的公式計(jì)算中、美、新教材在每個(gè)要素上的加權(quán)平均值：di=∑jnijn（∑nij=n，i=1，2，3，4，5，j=1，2，）此中di（i=1，2，3，4，5），分別為“數(shù)學(xué)認(rèn)知”、“背景”、“運(yùn)算”、“推理”、“綜合知識(shí)”五個(gè)難度要素上的取值;dij為第i個(gè)難度要素的第j個(gè)水平權(quán)重（以水均分別取1，2，3，）;nij則表示這組題目中屬于第i個(gè)難度要素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，其總和等于該組題目的總數(shù)n＼[4＼]。樣本采用考慮到購(gòu)買教材的便利性，應(yīng)采用了人教版教材＼[5＼]、美國(guó)GlencoeMathematics.Geometry＼[6＼]和NewMathematicsCountsforSecondary2Normal（Academic）Singapore＼[7＼]來進(jìn)行比較研究。本文中的習(xí)題包含：中國(guó)教材“三角形的相關(guān)角”中的“合作探究”、“練習(xí)”、“復(fù)習(xí)牢固”、“綜合應(yīng)用”、“拓廣研究”等;美國(guó)教材中的例題（Example）、活動(dòng)（Activity）、證明（Proof）、觀點(diǎn)檢查（ConceptCheck）、指引練習(xí)（GuidePractice）、應(yīng)用（Application）為下節(jié)課做準(zhǔn)備（GettingReadyfortheNext第2頁共10頁Lesson）等;新加坡教材“三角形相關(guān)的角”中的“例題（Example）”、“練習(xí)（Exercise6C、6D）”。從表1中統(tǒng)計(jì)的習(xí)題數(shù)目上可以看出，美國(guó)教材的習(xí)題最多，其次是人教社教材，接下來是新加坡教材，中國(guó)和新加坡教材差別不大。表1樣本教材及習(xí)題總數(shù)國(guó)別教材樣本第一版年代習(xí)題數(shù)目中國(guó)人民教育第一版社：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)200433美國(guó)GlencoeMcGrawHillCompanies200473新加坡NewMathematicsCountsforSecondary2NormalAcademic）Singapore：MarshallCavendishEducation2007312綜合難度模型依據(jù)解析和計(jì)算獲得表2的解析數(shù)據(jù)。表2三國(guó)數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度數(shù)據(jù)解析難度要素等級(jí)水平題量百分比加權(quán)平均人教新加坡美國(guó)人教新加坡美國(guó)人教新加坡美國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)知理解0130%3.23%5.26%運(yùn)用21184463.64%58.06%77.20%第3頁共10頁解析背景無背景29314087.88%100.00%70.18%有背景運(yùn)算無運(yùn)算2166.06%3.23%10.53%數(shù)值運(yùn)算23174469.70%54.84%77.19%簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算推理無推理0130%3.23%5.26%簡(jiǎn)單推理27275281.82%87.10%91.23%復(fù)雜推理63218.18%9.68%3.51%2.182.061.98綜合知識(shí)1個(gè)18193654.55%61.29%63.16%個(gè)10102130.30%32.26%36.84%個(gè)以上52015.15%6.45%0%1.611.451.372.1數(shù)學(xué)認(rèn)知要素水平的綜合難度解析由表2可得，三種教材在“理解”要素上差別較小，“運(yùn)用”因素水平的習(xí)題數(shù)據(jù)表示，人教社教材比美國(guó)教材高了13%，美國(guó)教材比新加坡教材高出約19%，人教社教材比新加坡教材高出約5%;關(guān)于“解析”要素水平的習(xí)題，美國(guó)教材比人教社教材低了18%，美國(guó)教材比新加坡教材低了近21%，人教社教材比新加坡教材低了近2%。美國(guó)教材“運(yùn)用”要素水平上的習(xí)題所占比率很高，是因?yàn)槊绹?guó)教材重視觀點(diǎn)、公義、定理的直接轉(zhuǎn)變。而美國(guó)教材“解析”水平的習(xí)題比率偏低，是因?yàn)槊绹?guó)教材對(duì)每題的辦理都“碎片化”，如圖1（美國(guó)教材189頁）所示，都是讓把題目“碎片化”，將每道題目分第4頁共10頁解成幾步，指引學(xué)生去完成，所涉及的定理都是單一的，爾后讓學(xué)生計(jì)算∠2和∠3等。相反，人教社教材關(guān)于習(xí)題的辦理更加“整體化”、“綜合化”，如圖2（人教版82頁）所示，直接給出所有的條件，計(jì)算∠ACB的度數(shù)。學(xué)生在解決問題的過程中將問題“碎片化”，進(jìn)而建立解題策略，“解析”水平相對(duì)很高，新加坡教材的“解析”水平相對(duì)也很高，如圖3（新加坡教材189頁）＼[7＼]。但是新加坡教材和美國(guó)教材有著共同的特色――關(guān)于題目的辦理“低起點(diǎn)”、“碎片化”＼[6，7＼]。圖1美國(guó)教材習(xí)題圖2人教版教材習(xí)題圖3新加坡教材習(xí)題2.2背景要素的水平綜合難度解析有背景的習(xí)題比率，美國(guó)教材比人教社教材高出約18%，美國(guó)教材比新加坡教材高出約30%，人教社教材比新加坡教材高約12%。在統(tǒng)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)，新加坡教材沒有一道題目有背景，所有習(xí)題都是純粹的數(shù)值和符號(hào)運(yùn)算。同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材“有背景”的習(xí)題極少出現(xiàn);美國(guó)教材習(xí)題則有著豐富的生活背景＼[7＼]，有現(xiàn)實(shí)生活中怎樣制作風(fēng)箏（Howaretheanglesoftrianglesusestomakethekites）、跳臺(tái)滑雪（skijumping）、速滑（speedskating）等。2.3運(yùn)算要素的水平綜合難度解析在運(yùn)算水平上，三種教材的主要運(yùn)算形式是“數(shù)值運(yùn)算”、“無第5頁共10頁運(yùn)算”習(xí)題的比率都很低＼[8＼]?！皵?shù)值運(yùn)算”美國(guó)教材比人教社教材高約5%，比新加坡教材高約13%;而在“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算”中新加坡教材比人教社教材高約13%，比美國(guó)教材高約29%。2.4推理要素的水平的綜合難度解析三種教材在“無推理”要素水平的習(xí)題所占比率并無顯然的差別＼[9＼]，人教社教材中沒有無推理的題目，屬于“簡(jiǎn)單推理”水平的習(xí)題相差不大，美國(guó)教材和新加坡教材簡(jiǎn)單運(yùn)算的所占比率都很高;屬于“復(fù)雜推理”水平的習(xí)題比率，人教社教材比美國(guó)教材高約15%，比新加坡教材高約8%，新加坡教材比美國(guó)教材高約7%。從統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材關(guān)于習(xí)題的推理要求都高于美國(guó)教材，人教社教材對(duì)習(xí)題的推理水平是三種教材中最高的。2.5綜合知識(shí)要素的水平綜合難度解析在綜合知識(shí)方面，關(guān)于“1個(gè)知識(shí)點(diǎn)”和“2個(gè)知識(shí)點(diǎn)”，三種教材的要求基本一致，但是，關(guān)于“3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)”習(xí)題的要求不同樣，美國(guó)教材要比人教社教材低近15%，但是，美國(guó)教材比新加坡教材高了近6%。因?yàn)槊绹?guó)教材重申題目的“碎片化”辦理，因此關(guān)于“3個(gè)及以上的知識(shí)點(diǎn)”要求不是很高，題目相對(duì)較少。2.6各要素水平綜合難度的比較前面經(jīng)過五個(gè)難度要素對(duì)三種教材進(jìn)行了詳細(xì)比較，在此基礎(chǔ)上利用綜合難度模型綜合難度值＼[10＼]。經(jīng)過對(duì)表2中加權(quán)平均值的統(tǒng)計(jì)，獲得下邊的雷達(dá)圖（圖4）。第6頁共10頁圖4三種教材綜合難度的比較如圖4所示，在認(rèn)知水平方面，人教社教材和新加坡教材占有前兩位;在背景方面美國(guó)教材最高，其次是人教社教材，新加坡教材第;并且從圖中發(fā)現(xiàn)三個(gè)五邊形在背景方面都有向內(nèi)傾的趨向，說明在教材習(xí)題的設(shè)計(jì)上關(guān)于實(shí)質(zhì)背景的題目偏少;運(yùn)算水平新加坡教材占有第一的地址;推理方面人教社教材占有第一，其次是新加坡教材，美國(guó)教材次之;在知識(shí)含量方面，人教社教材基本上每個(gè)題目都包含2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，3個(gè)及以上的知識(shí)點(diǎn)習(xí)題也是遠(yuǎn)高于美國(guó)教材和新加坡教材的。啟示第一，中美新三國(guó)初中數(shù)學(xué)關(guān)于學(xué)生在“認(rèn)知”、“運(yùn)算”、“推理”中的能力要求都很高;而中國(guó)和新加坡教材對(duì)學(xué)生的綜合推理能力要求相對(duì)較高;美國(guó)教材辦理習(xí)題更加重視層次化、碎片化，馬上一個(gè)綜合問題分解成若干小問題，這和目前國(guó)內(nèi)通用的導(dǎo)教案有相同之處，意在指引學(xué)生獨(dú)立解決問題。相同，新加坡教材中的習(xí)題也有這個(gè)特色，將一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題，并且美國(guó)和新加坡教材在題目的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)上有共同之處;人教社教材更重視推理的綜合化、模塊化，對(duì)學(xué)生綜合能力的要求相對(duì)較高。因此，美國(guó)和新加坡教材關(guān)于習(xí)題的辦理方面值得中國(guó)教材借鑒。其次，在背景要素水平方面，人教社教材和新加坡教材中含有背景的題目要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于美國(guó)教材，美國(guó)教材關(guān)于題目的設(shè)計(jì)切近于生活，包含了生活中的好多場(chǎng)景，體現(xiàn)方式也很豐富＼[10＼];人教社教材第7頁共10頁習(xí)題所含的背景極少，且沒有很好地和學(xué)生的實(shí)質(zhì)生活相聯(lián)系，好多題目都是純粹的推理計(jì)算;新加坡教材完整部是單一的數(shù)值符號(hào)運(yùn)算，沒有一道題目有實(shí)質(zhì)背景;因此，在教材習(xí)題的設(shè)計(jì)過程中，要更加重視教材和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，讓學(xué)生感覺到知識(shí)本源于生活，同時(shí)服務(wù)于生活，讓學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)用的知識(shí)。最后，同屬亞洲的人教社教材和新加坡教材在“運(yùn)算”、“推理”方面有共同之處，更加重申學(xué)生解決問題的綜合能力，更加重視學(xué)生的運(yùn)算推理能力;美國(guó)教材則重視問題的指引及問題的生活化，每道題目起點(diǎn)都比較低，學(xué)生可以利用簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理就能解決，關(guān)于復(fù)雜的題目也是相同的辦理方式，新加坡教材的大部分題目起點(diǎn)也比較低，易于學(xué)生試一試去解決，這些值得我國(guó)在編寫初中數(shù)學(xué)教材時(shí)去借鑒。參照文件[1＼]王建磐，鮑建生.高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國(guó)際比較＼[J＼].全世界教育展望，2014，（8）：101110.＼[2＼]朱婭梅.中美初中數(shù)學(xué)教材綜合難度的比較研究＼[J].數(shù)學(xué)教課，2013：10.[3＼]賈隨軍，呂世虎，李保臻.中國(guó)與美國(guó)初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題的個(gè)案比較――以“與三角形相關(guān)的角”為例＼[J＼].數(shù)學(xué)通知，2014，（9）：1723.[4＼]蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶.小學(xué)數(shù)學(xué)教材難度模型研究[J＼].教育學(xué)報(bào)，2013，（5）：99103.第8頁共10頁[5＼]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開放中心.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)授課數(shù)?數(shù)學(xué)?七年級(jí)（下冊(cè)）＼[M＼].北京：人民教育第一版社，2004：7883.＼[6＼]CarolB，JerryC，CarolM，etal.GlencoeMathematics.Geometry＼[M＼].TheMcGraw-HillCompanies，2004：184191.＼[7＼]NewMathematicsCountsforSecondary2NormalAcademic）＼[M＼].Singapore：MarshallCavendishEducation，2007：184189.[8＼]張維忠，黃麗虹.新教材“三角形”課程難度的比較解析＼[J＼].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，（4）：6164.[9＼]孫露.初中數(shù)學(xué)形成性測(cè)試卷與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性分析――以“圖形與幾何”領(lǐng)域?yàn)槔躘D＼].黃山：黃山學(xué)院，2012.＼[10＼]張婷.高中數(shù)列不同樣版本教科書內(nèi)容的比較研究＼[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2009.ComparisononcompositedifficultiesofproblemsetsinjuniorschoolTheangleoftrianglefromChina，theUnitedStatesandSingaporeXUYuqing1，WUXiaopeng2（1.TheJuniorForthSchoolofJiuquan，Jiuquan，Gansu735000，China;第9頁共10頁2.LanzhouFourteenthHighSchool，Lanzhou，Gansu730000，China）AbstractTheproblemsetsinmathematicstextbooksplayamulti-functionalroleinmathematicsteachingandlearning，andthedifficultyofproblemsetsaffectsthedifficultyofmathematicstextbooks.WiththreesetsofjuniorschoolmathematicstextbooksfromChina，Singapore，andtheUnitedStatesabouttheangleoftriangle，thepresentpaperusesacompositedifficultymodeltoanalyzethedifficultylevelsofproblemsetsinthetextbookswithrespectto5factors―theproblemcontext，themathematicalcogniti