第二節(jié)-龍格-庫塔方法教學資料

基本思想：利用在某些特殊點上的函數(shù)值的線性組合來構(gòu)造高階單步法的平均斜率。第二節(jié)

龍格-庫塔法什么叫平均(píngjūn)斜率？對差商應(yīng)用微分中值定理，有，利用微分方程，有這里的稱為平均斜率。第一頁，共27頁?？蓪⒏倪M的歐拉格式(géshi)改寫成的算術(shù)(suànshù)平均值作為平均斜率。該公式可以看作是用和兩個點處的斜率和由改進型歐拉公式我們可以猜想，如果在內(nèi)多預(yù)測幾個點的斜率(xiélǜ)，再對他們進行加權(quán)平均，可能得到精度更好的平均斜率！第二頁，共27頁。下面以2階龍格-庫塔方法為例來闡述(chǎnshù)這種思想考察區(qū)間上的一點，用和的斜率和的加權(quán)平均作為平均斜率的近似值：即取其中和是待定常數(shù)。若取，則問題在于如何確定處的斜率和常數(shù)和。第三頁，共27頁。仿照改進的歐拉方法，用歐拉方法預(yù)測的值，并用它來估計斜率：于是得到如下(rúxià)形式的算法：通過適當選取參數(shù)和的值，使得公式具有2階精度(jīnɡdù)！！第四頁，共27頁。由泰勒公式展開(zhǎnkāi)，要使公式具有2階精度，只需方程組有無窮(wúqióng)多解：二級方法有無窮(wúqióng)多種常見(chánɡjiàn)的3種二級方法：中點法（修正的Euler法）取二階龍格庫塔方法取第五頁，共27頁。三級方法(fāngfǎ)：N=3類似于N=2的推導(dǎo)方法(fāngfǎ)，可得到常見(chánɡjiàn)的2種三階方法：庫塔三階方法第六頁，共27頁。四級方法(fāngfǎ)：N=4局部截斷誤差常見(chánɡjiàn)的2種四階方法：經(jīng)典(jīngdiǎn)龍格-庫塔方法第七頁，共27頁。解：例2：用經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解下列初值問題。經(jīng)典(jīngdiǎn)的四階龍格-庫塔公式：第八頁，共27頁。0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321同保留(bǎoliú)5位的精確值完全一致：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.6733

1.7321第九頁，共27頁。第十頁，共27頁。二、高階和隱式Runge-Kutta方法(fāngfǎ)注：對于顯式N級R-K方法，最多只能(zhīnénɡ)得到N級方法；N

1,2,3,4

5,6,78,910,11,…NN-1N-2已經(jīng)證明N級R-K方法的階具有下列關(guān)系：若要得到(dédào)N階以上方法，則使用N級隱式R-K方法N級隱式R-K方法的一般形式：N級隱式R-K法可以達到2N階第十一頁，共27頁。(1)一級二階的隱式中點(zhōnɡdiǎn)方法：(2)二級四階的隱式R-K方法(fāngfǎ)：第十二頁，共27頁。三、變步長方法(fāngfǎ)基本思想：根據(jù)(gēnjù)精度自動地選擇步長對于經(jīng)典Runge-Kutta方法：Step1:設(shè)從出發(fā)，以為步長，經(jīng)過一步計算得到Step2:取為步長，再從出發(fā)，經(jīng)過兩步計算得到第十三頁，共27頁。記如果，則將步長折半進行計算，直到為止此時取為最終結(jié)果；如果，則將步長加倍進行計算，直到為止此時將步長折半一次計算，得到的為最終結(jié)果。第十四頁，共27頁。一、收斂性/*Convergence*/§3單步法的收斂性、相容性和絕對(juéduì)穩(wěn)定性對于初值問題的一種單步法產(chǎn)生的近似解，如果對于任一固定的，均有，則稱該單步法是收斂的。類似(lèisì)地可以定義隱式單步法、多步法（§4）的收斂性第十五頁，共27頁。設(shè)初值問題（*）對應(yīng)的下列單步法是階的，且函數(shù)滿足對的Lipschitz條件，即存在常數(shù)則該單步法是收斂的，且證明(zhèngmíng)：記由截斷誤差的定義(dìngyì)第十六頁，共27頁。因為單步法是階的：滿足其中第十七頁，共27頁。二、相容性/*Consistency*/對于階方法：若方法（**）的增量函數(shù)滿足：則稱該方法與初值問題（*）相容。第十八頁，共27頁。設(shè)方法（**）與初值問題（*）相容，且滿足L-條件，則該方法（**）是收斂的，即當固定，時再由相容性得：上式說明：當時，方法（**）趨于原微分方程本章討論的數(shù)值方法(fāngfǎ)都是與原初值問題相容的第十九頁，共27頁。三、絕對(juéduì)穩(wěn)定性/*AbsoluteStibility*/計算(jìsuàn)過程中產(chǎn)生的舍入誤差對計算(jìsuàn)結(jié)果的影響首先(shǒuxiān)以Euler公式為例，來討論一下舍入誤差的傳播:設(shè)實際計算得到的點的近似函數(shù)值為，其中為精確值，為誤差如果，則誤差是不增的，故可認為是穩(wěn)定的第二十頁，共27頁。例如(lìrú)：對于初值問題精確解為而實際求解的初值問題為精確解為在處的誤差為可見誤差隨著的增加呈指數(shù)函數(shù)增長如果初值問題為精確解為第二十一頁，共27頁。實際求解的初值問題為精確解為在處的誤差為可見誤差隨著的增加呈指數(shù)函數(shù)遞減當時，微分方程是不穩(wěn)定的；而時，微分方程是穩(wěn)定的。上面討論的穩(wěn)定性，與數(shù)值方法和方程中有關(guān)第二十二頁，共27頁。實驗方程：對單步法應(yīng)用實驗方程，如果，當時，則稱該單步法是絕對穩(wěn)定的，在復(fù)平面上復(fù)變量滿足的區(qū)域，稱為該單步法的絕對穩(wěn)定域，它與實軸的交集稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間。若單步法是階的，則由實驗方程可得：第二十三頁，共27頁。例3：分別求Euler法和經(jīng)典(jīngdiǎn)的R-K法的絕對穩(wěn)定區(qū)間。解：Euler公式：將其應(yīng)用于實驗(shíyàn)方程絕對穩(wěn)定域：當時，絕對穩(wěn)定區(qū)間：經(jīng)典的R-K公式：第二十四頁，共27頁。第二十五頁，共27頁。當時，絕對穩(wěn)定區(qū)間：可以證明：