一輪復(fù)習(xí)北師大版離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課件

§12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布[最新考綱]

1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；3.利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1，2，…r).(1)均值EX＝____________________，EX刻畫的是____________________．(2)方差DX＝

為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的

．a(chǎn)1p1＋a2p2＋…＋xrprX取值的“中心位置”E(X－EX)2平均偏離程度2．二項(xiàng)分布的均值、方差若X～B(n，p)，則EX＝___，DX＝__________．3．正態(tài)分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服從參數(shù)為_(kāi)______的正態(tài)分布．(2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)圖像關(guān)于

對(duì)稱；②

決定圖像的“胖”“瘦”；③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝

；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝

；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝______．npnp(1－p)μ和σ2直線x＝μσ(σ>0)的大小68.3%95.4%99.7%【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定．(

)(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越?。?

)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．(

)(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．(

)(5)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無(wú)關(guān)．(

)【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

(4)√

(5)×1．(教材改編)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為(

)A．0.4

B．0.6C．0.7D．0.9ξ78910Px0.10.3y【答案】

A【答案】

C【答案】

A4．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________．【解析】

E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.【答案】

0.7題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差【例1】(2015·山東)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【思維點(diǎn)撥】(1)根據(jù)“三位遞增數(shù)”的定義一一列舉．(2)先找出隨機(jī)變量X的所有可能取值，并求出相應(yīng)的概率，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解．【解析】

(1)個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125，135，145，235，245，345.【思維升華】

對(duì)于均值、方差的計(jì)算要盡可能的運(yùn)用其性質(zhì)，從而運(yùn)算簡(jiǎn)便．運(yùn)算性質(zhì)：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與均值．記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”．由題意，D＝A3B0+A1B0+A0B1+A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)【思維升華】

求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．跟蹤訓(xùn)練2(2016·山東濟(jì)寧模擬)某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2，3，4層?？浚阎撾娞菰?層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2，3，4層下電梯是等可能的．(1)求這4位乘客中至少有一位乘客在第2層下電梯的概率；(2)用X表示這4位乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．題型三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】

在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人．試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人．【思維點(diǎn)撥】

本題主要考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要記住正態(tài)總體取值在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率值，將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化到上述區(qū)間內(nèi)解決，同時(shí)要注意對(duì)稱性的運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績(jī)?cè)?70，90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.∴成績(jī)?cè)?80，90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.∴成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)僅有1人．【思維升華】

解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.跟蹤訓(xùn)練3

在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布，即ξ～N(100，100)，已知滿分為150分．(1)試求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80，120]內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．【解析】

(1)由ξ～N(100，100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544，即考試成績(jī)位于區(qū)間(80，120]內(nèi)的概率為0.9544.【答題模板】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值．第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率．第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．【溫馨提醒】(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值．(2)本題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范．如第(3)問(wèn)中，不明確寫出ξ的所有可能值，不逐個(gè)求概率，這都屬于解答不規(guī)范．?方法與技巧1．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．(2)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．求離散型隨機(jī)變量均值與方差的基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解．(2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解．(3)如果所