第3章現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)2012

本章主要內(nèi)容：隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)處理方法：1相關(guān)函數(shù)2功率譜估計(jì)3.高階譜分析非平穩(wěn)信號(hào)的處理方法：1短時(shí)傅立葉變換；2小波變換；3Wigner-Ville分布；4Hilbert-Huang變換。3.1隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述信號(hào)是信息的載體，存在于人們的周?chē)Ｐ盘?hào)通常是一個(gè)多變量的函數(shù)。如，電場(chǎng)在時(shí)間和空間上的變化。信號(hào)分析是對(duì)信號(hào)的基本性質(zhì)的研究和表征。信號(hào)的數(shù)值或觀測(cè)值為隨機(jī)變量的信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)。所謂隨機(jī)，是指信號(hào)的取值服從某種概率規(guī)律。這種規(guī)律可以是完全已知的、部分已知的或完全未知的。隨機(jī)信號(hào)也稱隨機(jī)過(guò)程、隨機(jī)函數(shù)或隨機(jī)序列。隨機(jī)過(guò)程是一種隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，因此可以用多維隨機(jī)變量的理論來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)過(guò)程的規(guī)律性從大量的樣本經(jīng)統(tǒng)計(jì)后呈現(xiàn)出來(lái)。隨機(jī)過(guò)程服從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律數(shù)學(xué)描述有概率密度分布、數(shù)字特征等。均值:一階矩自相關(guān)函數(shù):二階矩K階矩K階矩與時(shí)間無(wú)關(guān)，隨機(jī)信號(hào)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)K階矩與時(shí)間相關(guān)，隨機(jī)信號(hào)為非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)N階平穩(wěn)當(dāng)隨機(jī)信號(hào)是二階平穩(wěn)時(shí)，稱為廣義平穩(wěn)，即均值為常數(shù)，二階距有界，協(xié)方差與時(shí)間不相關(guān)。3.1.1隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述正弦隨機(jī)信號(hào)為，其中A和為常數(shù)，為上均勻分布的隨機(jī)變量。計(jì)算這個(gè)隨機(jī)信號(hào)的均值與自相關(guān)函數(shù)，判斷該信號(hào)是否為平穩(wěn)的。二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

例題各態(tài)歷經(jīng)性關(guān)心的是：從隨機(jī)信號(hào)的一次觀測(cè)記錄是否可以估計(jì)其統(tǒng)計(jì)值(如相關(guān)函數(shù)、功率譜等)。辛欣證明得到：在具備一定的補(bǔ)充條件下，對(duì)平穩(wěn)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間均值，當(dāng)觀測(cè)的時(shí)間充分長(zhǎng)，將從概率意義上趨近于它的統(tǒng)計(jì)均值。這樣的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程就是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程是其各種時(shí)間平均在觀測(cè)時(shí)間充分長(zhǎng)的條件下以概率1收斂于它的統(tǒng)計(jì)平均。3.1.2隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性二階平穩(wěn)過(guò)程，若以概率1成立，則稱隨機(jī)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間均值定義為若以概率1成立，則稱隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)定義為討論隨機(jī)信號(hào)為，的各態(tài)歷經(jīng)性。其中A和為常數(shù)，為上均勻分布的隨機(jī)變量。例題若的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)經(jīng)歷，且是廣義平穩(wěn)過(guò)程，則稱是廣義各態(tài)經(jīng)歷過(guò)程。三、Wigner-Ville分布(WVD)

自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)極大值周期函數(shù)3.2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)處理方法3.2.1相關(guān)函數(shù)當(dāng)，則稱和不相關(guān)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)時(shí)間考察兩個(gè)復(fù)諧波信號(hào)，其中A和B均為高斯隨機(jī)變量，他們概率密度為：假定A和B是獨(dú)立隨機(jī)變量，求自相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

例題相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用信號(hào)檢測(cè)檢測(cè)淹沒(méi)在強(qiáng)背景噪聲中的微弱的周期信號(hào)或其他確定性信號(hào)。時(shí)延估計(jì)利用所接收到的目標(biāo)信號(hào)，估計(jì)和測(cè)定出接收器之間由于信號(hào)傳播距離不同而引起的時(shí)間延遲。3.2.2功率譜估計(jì)功率譜估計(jì)就是通過(guò)信號(hào)的相關(guān)性，估計(jì)出接受到信號(hào)的功率隨頻率的變化關(guān)系，實(shí)際用途：濾波，信號(hào)識(shí)別（分析出信號(hào)的頻率），信號(hào)分離，系統(tǒng)辨識(shí)等。

功率譜估計(jì)方法：參數(shù)化法非參數(shù)化法：直接法間接法三、Wigner-Ville分布(WVD)

3.3隨機(jī)信號(hào)的高階譜分析前面使用的信號(hào)處理方法是以二階統(tǒng)計(jì)量(時(shí)域?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)、頻域?yàn)楣β首V密度)作為數(shù)學(xué)分析工具的。相關(guān)函數(shù)和功率譜本身存在一些缺點(diǎn)，例如它們具有等價(jià)性，不能辨識(shí)非最小相位系統(tǒng)；另外對(duì)加性噪聲敏感，一般只能處理加性白噪聲的觀測(cè)數(shù)據(jù)。高階統(tǒng)計(jì)量能夠提供比功率譜更豐富的信息，可以對(duì)非最小相位系統(tǒng)與非高斯信號(hào)進(jìn)行研究。

高階累積量與高階矩譜累積量與雙譜的性質(zhì)二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

高階譜的應(yīng)用設(shè)信號(hào)：疊加的噪聲為白噪聲，方差為，試?yán)秒p譜對(duì)這個(gè)被噪聲污染的信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。例題三、Wigner-Ville分布(WVD)

3.4非平穩(wěn)信號(hào)的處理方法平穩(wěn)信號(hào)最基本的分析處理方法是信號(hào)的傅里葉變換：傅里葉正變換建立了信號(hào)從時(shí)間域到頻率域的變換，而傅里葉逆變換建立了信號(hào)從頻率域到時(shí)間域的變換。傅里葉正變換將信號(hào)分解為不同的頻率成分。但是各頻率成分發(fā)生在什么時(shí)間卻無(wú)法得知；而傅里葉逆變換將信號(hào)的不同頻率成分組合為時(shí)間域表征的一個(gè)波形，但是某一時(shí)間包含哪些頻率成分也無(wú)法得知。許多信號(hào)是非平穩(wěn)的。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：其統(tǒng)計(jì)特性包括信號(hào)的頻譜特性隨時(shí)間變化，因此對(duì)它的分析和處理就不能將時(shí)間域和頻率域截然分開(kāi)。工程上常用時(shí)窗法或頻窗法達(dá)到該目的。前者把信號(hào)在時(shí)間域上加以分割，構(gòu)成時(shí)變的頻譜圖，從而觀察信號(hào)在不同時(shí)段的頻譜情況；后者令信號(hào)通過(guò)一組帶通濾波器，使它們?cè)陬l率域上分開(kāi)，從而觀察各頻率成分隨時(shí)間變化的情況。但是這兩種方法不嚴(yán)格且有矛盾，那就是時(shí)間域上分辨得越細(xì)，頻率域上必然越模糊；反之亦然。本章介紹的信號(hào)時(shí)頻分布是近來(lái)發(fā)展的一類(lèi)方法，它可以將時(shí)間域和頻率結(jié)合起來(lái)表征信號(hào)，適用于非平穩(wěn)信號(hào)的分析和處理。一般來(lái)說(shuō),時(shí)頻分析方法具有很強(qiáng)的能量聚集作用,不需知道信號(hào)頻率隨時(shí)間的確定關(guān)系,只要信噪比足夠高,通過(guò)時(shí)頻分析方法就可在時(shí)間-頻率平面上得到信號(hào)的時(shí)間頻率關(guān)系。時(shí)頻分析主要用來(lái)尋找信號(hào)的特征。時(shí)頻分析方法主要采用一些特殊的變換來(lái)突出信號(hào)的特征點(diǎn),在非平穩(wěn)信號(hào)的處理中具有突出的優(yōu)越性。目前主要的時(shí)一頻分析方法有短時(shí)Fourier變換法、小波分析法、WVD法等。近年又出現(xiàn)了一種新的非線性信號(hào)處理方法-希爾伯特-黃變換(Hibert-Huangtransform，簡(jiǎn)稱HHT)。該方法是一種真正意義上的非線性信號(hào)處理方法，是一種完全脫離Fourier變換的信號(hào)處理方法。3.4.1時(shí)頻分析二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

短時(shí)Fourier變換的基本思想是：把信號(hào)劃分為許多小的時(shí)間間隔，再用Fourier變換分析每一間隔，以便確定是在哪個(gè)時(shí)間間隔存在的頻率。這些頻譜的總體就表示頻譜在時(shí)間軸上是怎樣變化的。所劃分信號(hào)的時(shí)間間隔不能無(wú)限小，因?yàn)槎坛掷m(xù)時(shí)間信號(hào)有固有的大帶寬，而當(dāng)時(shí)間間隔變窄到一定程度之后所得的短持續(xù)時(shí)間信號(hào)幾乎與原信號(hào)的特性沒(méi)有關(guān)系。一個(gè)很寬的窗口可用來(lái)得到好的頻率局部化，但一般不能得到好的時(shí)域局部化，而用一窄的窗口情況則相反。同時(shí)，當(dāng)選定某一特定窗后，所得頻率分辨率和時(shí)間分辨率便固定不變。短時(shí)Fourier變換的主要缺陷是：由于對(duì)所有的頻率都使用單一的窗，所以STFT分析的分辨率在時(shí)間一頻率平面的所有局域都相同，不管信號(hào)頻率的大小，加在信號(hào)上的窗口的寬度是一定的。3.4.2短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

STFT定義:我們將一個(gè)信號(hào)的STFT定義如下:其中h(t)是窗函數(shù).沿時(shí)間軸移動(dòng)分析窗,我們可以得到兩維的時(shí)頻平面。STFT方法最大的優(yōu)點(diǎn)是容易實(shí)現(xiàn)。STFT分析實(shí)質(zhì)上是限制了時(shí)間窗長(zhǎng)的Fourier分析.STFT只能選定一個(gè)固定的窗函數(shù),且STFT分析受限于不確定性原理,較長(zhǎng)的窗可以改善頻域解但會(huì)使時(shí)域解變?cè)?而較短的窗盡管能得到好的時(shí)域解,頻域解卻會(huì)變得模糊。二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

3.4.2小波變換小波變換(wavelettransform，簡(jiǎn)稱WT)思想：人們希望在分析由短時(shí)高頻成分和長(zhǎng)時(shí)低頻成分組成的信號(hào)時(shí)，時(shí)間分辨率和頻率分辨率在時(shí)-頻平面上變化，令時(shí)間分辨率在高頻時(shí)變得非常細(xì)，而頻率分辨率在低頻時(shí)變得非常好。這樣便可以得到更好的分析結(jié)果。小波變換方法是一種信號(hào)的時(shí)間-尺度或時(shí)間-頻率的分析方法，在時(shí)、頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率(高頻分量持續(xù)時(shí)間較短、低頻分量持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)）。適合探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡。TheContinuousWaveletTransformTheDiscreteWaveletTransformWaveletReconstructionMultistepDecompositionandReconstruction二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

3.4.3Wigner-Ville變換STFT的基本假設(shè)是時(shí)域信號(hào)在截取窗口內(nèi)是平穩(wěn)的。而對(duì)瞬時(shí)信號(hào)，若窗口的長(zhǎng)劇加，其平穩(wěn)性難以滿足；若長(zhǎng)度太短，則頻率分辨率又會(huì)降低。解決這個(gè)問(wèn)題的方法之一是采用Wigner-Villedistribution(簡(jiǎn)稱WVD分布)。若對(duì)WVD譜作時(shí)間t的積分，則可獲得信號(hào)的功率譜F(ω)；若對(duì)它作頻率ω的積分，則可獲得時(shí)間域上的功率變化。因此，WVD譜在一定程度上統(tǒng)一了時(shí)域和頻域分析，這表現(xiàn)在其本身同時(shí)表征了時(shí)-頻兩維信息。由于WVD具有一些很好的性質(zhì)，所以是各種時(shí)-頻分析中較好的一種方法。二、短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT)

3.4.4Hilbert-Huang變換特點(diǎn)是對(duì)非線性與非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行線性化與平穩(wěn)化處理，根據(jù)實(shí)際信號(hào)的特征進(jìn)行固有模態(tài)分解，每個(gè)固有模態(tài)信號(hào)代表著信號(hào)的不同成分，有著不同的物理意義。再對(duì)每個(gè)固有模態(tài)分量進(jìn)行Hilbert變換，得到各模態(tài)的瞬時(shí)