第7章均勻設(shè)計

第7章均勻設(shè)計基本原理一、引言正交試驗設(shè)計利用：均衡分散：試驗點在試驗范圍內(nèi)排列規(guī)律整齊整齊可比：試驗點在試驗范圍內(nèi)散布均勻

正交試驗次數(shù)為q2當試驗中因素數(shù)或水平數(shù)比較大時，正交試驗的次數(shù)也會很大。如5因素5水平，用正交表需要安排52＝25次試驗。這時，可以選用均勻設(shè)計法，僅用5次試驗就可能得到能滿足需要的結(jié)果1978年，七機部由于導彈設(shè)計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數(shù)要多于10，而試驗總數(shù)又不超過50，顯然正交設(shè)計都不能用，方開泰與王元經(jīng)過幾個月的共同研究，提出了一個新的試驗設(shè)計，即所謂“均勻設(shè)計”，將這一方法用于導彈設(shè)計，取得了成效均勻設(shè)計法與正交設(shè)計法的不同：均勻設(shè)計法不再考慮“數(shù)據(jù)整齊可比”性，只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)充分“均衡分散”均勻設(shè)計的概念均勻設(shè)計(UniformDesign)是一種試驗設(shè)計方法(ExperimentalDesignMethod)。所有的試驗設(shè)計方法本質(zhì)上都是在試驗的范圍內(nèi)給出挑選代表性點的方法，均勻設(shè)計也不例外，它是只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設(shè)計方法。由于均勻設(shè)計不再考慮正交試驗的整齊可比性，因此其試驗結(jié)果的處理要采用回歸分析方法—線性回歸或多項式回歸分析?；貧w分析中可對模型中因素進行回歸顯著性檢驗，根據(jù)因素偏回歸平方和的大小確定該因素對回歸的重要性；在各因素間無相關(guān)關(guān)系時，因素偏回歸平方和的大小也體現(xiàn)了它對試驗指標影響的重要性。這些一般都要借助計算機才能完成。華羅庚王元二、均勻設(shè)計表均勻設(shè)計表符號表示的意義U7(76)均勻表的代號試驗次數(shù)因素的水平數(shù)因素數(shù)如U6(64)表示要做次6試驗，每個因素有6個水平，該表有4列。

1234112362246533624441535531266541U6(64)列號試驗號每個均勻設(shè)計表都附有一個使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O(shè)計表中選用適當?shù)牧校约坝蛇@些列所組成的試驗方案的均勻度。下表是U6(64)的使用表。它告訴我們，若有兩個因素，應(yīng)選用1，3兩列來安排試驗；若有三個因素，應(yīng)選用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻劃均勻度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好。s列

號

D213

0.18753123

0.2656412340.2990U6(64)的使用表均勻設(shè)計有其獨特的布（試驗）點方式：每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點。以上兩個性質(zhì)反映了均勻設(shè)計試驗安排的“均衡性”，即對各因素，每個因素的每個水平一視同仁。均勻設(shè)計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價例如用U6(64)的1，3和1，4列分別畫圖，得到下面的圖(a)和圖(b)。我們看到，(a)的點散布比較均勻，而(b)的點散布并不均勻。均勻設(shè)計表的這一性質(zhì)和正交表有很大的不同，因此，每個均勻設(shè)計表必須有一個附加的使用表。三、試驗結(jié)果分析均勻設(shè)計的結(jié)果沒有整齊可比性，分析結(jié)果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回歸分析或逐步回歸分析的方法：回歸模型建立回歸模型可分為線性回歸模型和非線性模型等。1線性回歸模型分為一元線性回歸模型和多元線性回歸模型。(1)一元線性回歸模型模型為y=a+bx,線性相關(guān)的程度常用相關(guān)系數(shù)來衡量，在某一顯著性水平α下，當相關(guān)系數(shù)的絕對值大于相關(guān)系數(shù)臨界值時才可以認為x和y有線性相關(guān)關(guān)系。線性回歸模型(2)多元線性回歸模型當影響因變量ｙ的自變量不止一個時，比如有ｍ個x1,…,xm這時ｙ和ｘ之間的線性回歸方程為：y=a+b1x1+b2x2+,…,+bmxm,非線性回歸模型如三因素時:當各因素與響應(yīng)值關(guān)系是非線性關(guān)系時，或存在因素的交互作用時，可采用多項式回歸分析的方法例如各因素與響應(yīng)值均為二次關(guān)系時的回歸方程為：回歸模型建立回歸模型的建立過程在很大程度上需要結(jié)合專業(yè)知識和經(jīng)驗。2應(yīng)用舉例利用均勻設(shè)計表來安排試驗的步驟：（1）根據(jù)試驗的目的，選擇合適的因素和相應(yīng)的水平。（2）選擇適合該試驗的均勻設(shè)計表，然后根據(jù)該表的使用表從中選出列號，將因素分別安排到這些列號上，并將這些因素的水平按所在列的指示分別對號，則試驗就安排好了我們通過制藥工業(yè)中的一個實例,來看均勻設(shè)計表的使用方法。例1

:阿魏酸的制備

這就是說以阿魏酸的產(chǎn)量作為目標Y。

阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制備過程中，我們想增加其產(chǎn)量。全面交叉試驗要N=73=343次,太多了。使用正交設(shè)計?建議使用均勻設(shè)計。有現(xiàn)成的均勻設(shè)計表，提供使用。

經(jīng)過分析研究，挑選出因素和試驗區(qū)域，為原料配比:1.0---3.4吡啶總量:10----28反應(yīng)時間:0.5---3.5確定了每個因素相應(yīng)的水平數(shù)為7。如何安排試驗?zāi)?第1步:將試驗因素的水平列成下表：表1:第2步:選擇相應(yīng)的均勻設(shè)計表.每個均勻設(shè)計表有一個記號，它有如下的含義:Un(qs)均勻設(shè)計試驗次數(shù)水平數(shù)因素的最大數(shù)例如:表2:表3:每個表還有一個使用表，將建議我們?nèi)绾芜x擇適當?shù)牧?。其中‘偏差’為均勻性的度量值，?shù)值小的設(shè)計表示均勻性好。例如

U7(74)的使用表為,表4:表2:第3步:

應(yīng)用選擇的

UD表,做出試驗安排。1.將x1,x2和

x3放入列1,２和3.x1x2x3

2．用x1的７個水平替代第一列的1到7.1.01.41.82.22.63.03.43.對第二列，第三列做同樣的替代.131.5193.0251.0102.5160.5222.0283.54.完成該設(shè)計對應(yīng)的試驗，得到７個結(jié)果，將其放入最后一列.表5:第4步:

用回歸模型匹配數(shù)據(jù)首先，考慮線性回歸模型:這個結(jié)果與人們的經(jīng)驗不符。使用回歸分析中變量篩選的方法，得到推薦的模型為：然后，我們嘗試用二次回歸模型來匹配這些數(shù)據(jù)：使用‘向前’的變量選擇法，我們發(fā)現(xiàn)適宜的模型：26表6:

方差分析（ANOVA）表狀態(tài)是正常的，所以模型(4)是可接受的。圖1:模型中的三項，在5%的水平下是顯著的。第5步:

優(yōu)化--尋找最佳的因素水平組合表5的設(shè)計是73=343個全面試驗的部分實施,其中最好的試驗點是值為Y=48.2%的#7。它不一定是全局最好的。人們想找到滿足下式的x1*和

x3*:這里求取max的區(qū)域為：x1x3的回歸系數(shù)是正的，x3的回歸系數(shù)也是正的,x1*=3.4.在x3*=2.7575達到最大值

。

圖3等值線圖(x1*,x3*)在x1*=3.4和

x3*=2.7575處估計響應(yīng)的最大值是51.85%。它比７個試驗點的最好值48.2%還大。討論:因素

x2

沒有給響應(yīng)Y予顯著的貢獻，我們可以選x2為其中點x2=19ml.求出的x1*=3.4在邊界上,我們需要擴大x1的試驗上限。在x1=3.4和

x3=2.7575的鄰域,追加一些試驗是必要的。30在第５步，一些優(yōu)化算法是很有用的。例2均勻設(shè)計法在全光亮鍍鎳研究中的應(yīng)用1.均勻設(shè)計表的選取本實驗的目的是提高鍍層光亮性?？疾煲蛩貫榉€(wěn)定劑，主光亮劑，輔助光亮劑，潤濕劑4個因素，每個因素取值范圍為t個水平（t為實驗次數(shù)），4個因素的一次項及二次項各有4項，4項因素間的兩兩交互作用設(shè)有6項，共14項，實驗數(shù)不能小于14，本實驗選用U17（178）表。均勻表U17（178）U17（178）表的使用表本實驗為4因素，這4個因素安排在均勻表的1，5，7，8列，實驗方案及結(jié)果見下表。2.指標的選擇和優(yōu)化指標是回歸方程中的響應(yīng)函數(shù)，在本實驗中即是鍍件質(zhì)量。根據(jù)我們對鍍件的要求，定義一個綜合指標z，z的分值由外觀評分R，沉積速度評分V，耐腐蝕性評分Q乘以不同的權(quán)重構(gòu)成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分別為0－100。3.實驗方法試樣為10cm×5cm×0.2cm的低碳鋼板，在88－90℃的恒溫水浴槽內(nèi)施鍍，鍍液pH值控制在4.5-5.0。鍍前處理按常規(guī)進行，按均勻設(shè)計表中確定的組成分別配成16種化學鍍液，掛鍍法施鍍1h，清洗，晾干，對試樣進行外觀的評定。沉積速度測定：沉積速度，樣片增加的重量/樣片的面積(g/cm2)耐腐蝕性測定：10％硫酸浸泡24h，根據(jù)失重及腐蝕后外觀評分4.結(jié)果處理及分析

實驗結(jié)果用計算機處理，主要運用軟件為SPSS和Matlab。4.1建立數(shù)學模型及篩選變量考慮到可能有的數(shù)學關(guān)系，將各因素的一次項，二次項，兩因子間的交互作用項均作為考察對象，回歸方程模型為：R=b0+∑bixi+∑bijxixj+∑biixi2(i=1,2,3,4;i≠j)b為各項系數(shù)。將給因素的值及綜合指標輸入計算機，用自后淘汰變量法(backwardselection)進行回歸分析和變量篩選，sigF＞0.10的變量被淘汰，最后得到指標與相關(guān)組成的回歸方程。Z=86.726+6.555×d－4.554×p2＋1.384×c2＋0.01641×ω2－3.177×p×c＋0.1932×p×ω－0.1209×c×ω－0.3779×d×ω

c為主光亮劑；d為輔助光亮劑；ω為潤濕劑；p為穩(wěn)定劑。4.2對回歸方程的優(yōu)化處理用求條件極值的強約束優(yōu)化法對回歸方程進行優(yōu)化，用Matlab語言編程，用BFGS擬牛頓(Quasi-