經(jīng)濟應(yīng)用模型

第一章經(jīng)濟應(yīng)用模型2.1邊際及彈性分析一、邊際的概念

在經(jīng)濟學(xué)中，如果一個經(jīng)濟指標

y是另一個經(jīng)濟指標

x的函數(shù)y=f(x),當自變量x在x0處有一個單位的改變量時，所對應(yīng)的函數(shù)y的改變量稱為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟指標在x0處的邊際量。

例如：生產(chǎn)要素(自變量)增加一單位，產(chǎn)量(因變量)的增量為2個單位，因變量改變的2個單位就是邊際產(chǎn)量.

邊際分析法就是分析自變量變動1單位時，因變量會變動多少的方法.用數(shù)學(xué)方法描述邊際概念

設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有當

很小時，有

于是特別地，當

時，有

當自變量增加1單位時，函數(shù)的增量近似地等于其導(dǎo)數(shù)值.定義把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際函數(shù)1．邊際成本總成本函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時的邊際成本．

邊際成本

表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單

位產(chǎn)品時總成本將改變

個單位．

2．邊際收益總收益函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時的邊際收益．邊際收益

表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單

位產(chǎn)品，總收益將改變

個單位．

3．邊際利潤總利潤函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱

為產(chǎn)量為x單位時的邊際利潤．邊際利潤

表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單位

產(chǎn)品，總利潤將改變

單位．

最大利潤原理

當邊際收入等于邊際成本且邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率時，利潤最大。條件：唯一駐點4．邊際需求需求函數(shù)

（p為價格）的導(dǎo)數(shù)

稱

為價格為p單位時的邊際需求．邊際需求

表示當價格為p時，價格再上漲1

個單位,需求量將改變

個單位．

5．邊際供給供給函數(shù)

（p為價格）的導(dǎo)數(shù)

稱

為價格為p單位時的邊際需求．邊際需求

表示當價格為p時，價格再上漲1

個單位,需求量將改變

個單位．

例

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本為總收益為

試求：

（1）邊際成本、邊際收入和邊際利潤函數(shù).（2）當產(chǎn)量為600及700個單位時的邊際利潤,并

說明其經(jīng)濟意義.

（3）求利潤最大的產(chǎn)量。

解

（1）（2）

（3）令

這時，有經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量為600時，再增加單位產(chǎn)量會使利潤增加0.3,當產(chǎn)量為700時，再增加單位產(chǎn)量會使利潤減少0.3二、彈性分析1、彈性的概念

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)

在點x處的

增量為

自變量的增量為

則比

值稱為在點x處自變量x的相對改變量.稱比值為函數(shù)y的相對改變量。

兩個相對改變量之

比的極限稱為函數(shù)

在點x處的彈性，記作

即

彈性經(jīng)濟意義為：當自變量變化1%時，函數(shù)變化的百

分數(shù)為注意

彈性研究的是相對變化率．因此，彈性沒有量綱．為函數(shù)在區(qū)間上的弧彈性。

稱2．需求價格彈性設(shè)需求函數(shù)為（p為價格），則需求價格彈性為它表示在價格為p的水平上，當價格改變1%時，需求量Ｑ變化的百分數(shù)．根據(jù)需求彈性值的大小，需求價格彈性可以劃分為（1）缺乏彈性：

（2）富有彈性：

（3）單位彈性：價格變動的比率=需求量變動的比率。

例如運輸業(yè)、煤氣等。需求量變動的比率小于價格變動的比率。需求量對于價格變動反應(yīng)不敏感。例如生活必需品（糧食、蔬菜）,需求曲線陡峭。

需求量變動的比率大于價格變動的比率。需求量對于價格變動反應(yīng)敏感。例如奢侈品，需求曲線較平坦。QPQPPQ（5）完全無彈性：價格無論如何變動，需求量都不會變動。（急救藥、火葬場、糖尿病人對胰島素的需求）PQ（4）完全有彈性：PQ在既定價格之下，需求量可以任意變動（如銀行以固定價格收購黃金）實例彈性在航空公司中的應(yīng)用

美國航空公司認為，弄清乘客的需求彈性相當于每年可帶來數(shù)十億美元的收益。理想的情況下，航空公司希望向商務(wù)人員要求盡可能高的票價，而向閑適的游客提供足夠低的票價以填補飛機上的空座。這是航空公司為增加總收益，追求利潤最大化所希望采取的措施。為此他們要解決如何識別兩種不同類型的乘客問題。航空公司通過對不同乘客實行“價格歧視”的措施解決了這個難題。航空公司通常會對事先計劃并希望選擇低價時機的游客提供折扣。同時，航空公司也許會要求乘客等到周六晚上以后才能拿到打折的機票，這一條規(guī)定使得急于回家度周末的商務(wù)人員望而卻步。另外最后的時刻通常不提供折扣，因為商務(wù)往來事先并無計劃，而是為了處理意外的危機——這是另外一種缺乏彈性的情況。航空公司已經(jīng)設(shè)計出極其復(fù)雜的計算機程序來管理機票的銷售，從而確保缺乏彈性的乘客無法從折扣中獲益。因此，盡管用有預(yù)算約束的旅客填補空位，他們?nèi)匀挥欣蓤D。3、需求彈性、總收入與價格之間的關(guān)系總收入的變動量近似為總收入函數(shù)為若價格有微小的變化，則收入函數(shù)的改變量為4、需求的收入彈性設(shè)需求關(guān)于收入函數(shù)為，其中

M表示消費者的收入

需求收入彈性的計算公式為若需求收入彈性，則稱這樣的商品為正常商品，其中若，認為是缺乏彈性的，例如生活必需品；若，則為是富有彈性的，例如奢侈品或高檔商品。若需求收入彈性，則認為該商品是低檔或劣質(zhì)產(chǎn)品，即吉芬（Giffen）商品。均衡價格是市場上供需量相等時的價格，這時的供需量叫做均衡商品量。解這個模型就得到價格和時間的關(guān)系。

一般來說價格P隨時間t波動，，的漲速與過剩需求成正比，故有數(shù)學(xué)模型2.3均衡價格若的表達式是線性的：其通解為從而這說明價格雖是波動的，但隨著時間的推移，最后趨于均衡價格。則問題簡化為可得供求平衡時的價格為

若需求是一個常數(shù)，供給也是一個常數(shù)，且供不應(yīng)求：，則其通解為從而此時即為通貨膨脹?？刂仆ㄘ浥蛎浀年P(guān)鍵是降低消費資金的投放和增加商品的供應(yīng)量。總利潤為

如果企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品不脫銷，并認為商品需求量即為銷售量，供給量即為生產(chǎn)量。此時發(fā)生的商品庫存量為

設(shè)企業(yè)生產(chǎn)和庫存單位商品的成本分別為q和r.若需求和供給函數(shù)都為線性函數(shù)：，收入函數(shù)和成本函數(shù)分別為由于商品不脫銷，所以

，由此

最優(yōu)價格問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)L(p）在區(qū)間上的最大值問題。L(p)的唯一駐點為不難證明p0是L(p)的最大值，所以當，最優(yōu)價格為，當，最優(yōu)價格為，綜上，最優(yōu)價格為1、以二元函數(shù)為例說明拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義設(shè)是目標函數(shù)，是影響目標函數(shù)中兩個因素的約束條件，在此約束條件下，求目標函數(shù)的最值問題。2.4、拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義拉格朗日函數(shù)為若將C看作變量，解出最優(yōu)解的最值也可視為的函數(shù)

令對求導(dǎo)

將方程組(1)中前兩式代入(2)式中

隨目標函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和度量單位不同而有不同的經(jīng)濟解釋。拉格朗日乘子是目標函數(shù)最值對約束條件之常數(shù)的變化率或邊際值。

若總成本限定為，兩種原料投入為x、y，為目標是使總產(chǎn)量最大，則是在最優(yōu)投入水平時的邊際產(chǎn)量。多變量多約束下拉格朗日乘子的經(jīng)濟意義研究有m個等式約束：函數(shù)的極值問題構(gòu)造拉格朗日函數(shù)同樣稱為拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù)是函數(shù)的條件極值對約束常數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，即其經(jīng)濟意義隨目標函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟意義和度量單位不同而有不同的解釋。類似于二元函數(shù)，有如下結(jié)論2.7古諾產(chǎn)量競爭模型

古諾模型是最早的寡頭模型，研究的是在一個只有兩家成本結(jié)構(gòu)相同的企業(yè)生產(chǎn)完全相同產(chǎn)品的市場中，企業(yè)如何確定自己的產(chǎn)量使利潤達到最大，使市場達到一個穩(wěn)定的狀態(tài)或者均衡。古諾模型也擴展到對多個寡頭廠商行為的研究。1、古諾模型1）、兩個寡頭廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)或無差別的；2）、每個廠商都根據(jù)對手的策略采取行動，并假定對手也這樣做，據(jù)此來做出自己的決策；3）、為方便，假定每個廠商的邊際成本為常數(shù)，

市場的需求函數(shù)是線性的；4）、兩個廠商都通過調(diào)整產(chǎn)量來實現(xiàn)各自利潤的最大；5）、兩個廠商不存在任何正式的或非正式的串謀行為。

2、古諾模型中兩個寡頭行為的假定

參與者集合：i=1,2，

1為廠商A，2為廠商B市場需求函數(shù)：

決策變量：成本函數(shù)：利潤函數(shù)：3、建立模型古諾均衡:古諾均衡是指這樣一對產(chǎn)量的組合，在這個產(chǎn)量水平上沒有企業(yè)認為可通過增加或減少產(chǎn)量而提高自己的利潤，產(chǎn)出的組合除了古諾均衡外，不可能再達到均衡。廠商A的均衡產(chǎn)量廠商B的均衡產(chǎn)量廠商A的反應(yīng)函數(shù)廠商B的反應(yīng)函數(shù)

廠商選擇的應(yīng)是均衡產(chǎn)量

均衡點

應(yīng)滿足條件為即古諾均衡產(chǎn)量使兩個企業(yè)都達到利潤最大化，故古諾均衡點既在企業(yè)A的反應(yīng)函數(shù)曲線上又在企業(yè)B的反應(yīng)函數(shù)曲線上，兩條企業(yè)反應(yīng)函數(shù)曲線的交點就是古諾均衡點。兩企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)為

兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為q2q1均衡點0q2*q1*R1(q2)R2(q1)企業(yè)邊際成本越高，其均衡產(chǎn)量就越小，對手的邊際成本越高，其均衡產(chǎn)量就越高。市場總產(chǎn)量為：均衡價格為：企業(yè)2的市場分額：企業(yè)1的市場分額：例1

歐佩克（OPEC,石油輸出國組織）試圖通過限制生產(chǎn)水平保持世界石油的高價格。假設(shè)歐佩克的生產(chǎn)成本為每桶5美元，非歐佩克生產(chǎn)國的生產(chǎn)成本為每桶10美元，又知道石油市場需求函數(shù)為

用古諾寡頭壟斷方法做均衡分析。分析：設(shè)歐佩克和非歐佩克國的產(chǎn)量分別為

，雙方的利潤函數(shù)分別為

解得反應(yīng)函數(shù)分別為所以石油市場的古諾均衡點為，

令

假定市場上的兩個寡頭壟斷企業(yè)通過串謀如同一個壟斷者一樣行事。串謀屬于合作博弈，其特點是參加博弈的各方在決策過程中聯(lián)合起來，先追求共同利益的極大化，然后再分配這個已經(jīng)極大化了的共同利益。市場需求函數(shù)為：兩個企業(yè)的成本函數(shù)分別為：在串謀條件下，總利潤函數(shù)為：則4、兩個企業(yè)有串謀的均衡模型令由此求得各自的最優(yōu)產(chǎn)量例2

兩企業(yè)市場需求函數(shù)和成本函數(shù)分別為：若兩企業(yè)串謀，求均衡解，并求兩企業(yè)的最優(yōu)利潤。總利潤函數(shù)為解得令設(shè)市場中有n家廠商,qi為廠商i的產(chǎn)量，

為市場總產(chǎn)量。已知市場的需求函數(shù)為p=a-bQ

,為簡單，假設(shè)各廠商生產(chǎn)沒有固定成本，且各廠商的邊際成本c都相同。若各廠商同時選擇產(chǎn)量，則各廠商的利潤函數(shù)為5、多家企業(yè)的古諾產(chǎn)量競爭模型

令各廠商的反應(yīng)函數(shù)為n個廠商均衡點滿足行業(yè)總產(chǎn)量為市場價格為每個企業(yè)的利潤為

從上述數(shù)學(xué)結(jié)果來看，當n=1時，得到的是壟斷結(jié)果；在n=2時，得到的是雙頭模型的結(jié)果。企業(yè)的均衡產(chǎn)量、市場均衡價格和每個企業(yè)的均衡利潤都與行業(yè)內(nèi)企業(yè)數(shù)量n有關(guān)系。在古諾均衡中，隨著企業(yè)數(shù)量的無限增加，每個企業(yè)的產(chǎn)出水平接近零，而行業(yè)總產(chǎn)量接近競爭產(chǎn)出水平。時企業(yè)均衡產(chǎn)量和市場總產(chǎn)量的變化：

古諾均衡價格隨著企業(yè)數(shù)量增加的結(jié)果為：

古諾均衡價格在n=1時為壟斷價格水平，隨著行業(yè)中企業(yè)數(shù)量的無限增加，呈不斷下降的趨勢，直到逼近企業(yè)單位生產(chǎn)成本即完全競爭價格水平。

這說明，當企業(yè)個數(shù)很多時，市場價格將趨于企業(yè)的邊際成本，市場產(chǎn)量將會不斷增加，而價格將會下降，從而有助于增加消費者的福利。2.10價格指數(shù)問題價格指數(shù)是消費品價格變化的度量.幾百年來，經(jīng)濟學(xué)家們提出了許多種價格指數(shù).如何評價這些價格指數(shù)的合理性？以１種和２種商品的價格指數(shù)為例對一種給定商品，原價p0,現(xiàn)價p,價格變化I=p/p0對兩種給定商品，原價p01,p02,現(xiàn)價p1,p2,價格變化指標沒有體現(xiàn)“權(quán)”的概念，應(yīng)有價格綜合指數(shù)

商品名稱計量單位報告期基

期銷售量

單價(元)銷售量

單價(元)

q1p1q0p0甲米6000.204000.25乙kg6000.365000.40丙件1800.602000.50某企業(yè)三種產(chǎn)品平均日產(chǎn)與價格價格綜合指數(shù)

定義為說明三種產(chǎn)品價格綜合下降7.5%，企業(yè)日產(chǎn)值減少36元。問題的一般提法設(shè)有n種代表性消費品，建立衡量基年和現(xiàn)年價格變化指標。基年(基準年)

價格指數(shù)記為I(p,q|p0,q0)權(quán)重現(xiàn)年(報告年)價格價格權(quán)重歷年來諸多學(xué)者都對指數(shù)計算做了研究，下面列舉經(jīng)濟學(xué)家們提出的常用價格指數(shù)。

基年權(quán)重法現(xiàn)年權(quán)重法

基年現(xiàn)年權(quán)重并用法固定權(quán)重法幾何平均法

冪平均法規(guī)范基年權(quán)向量冪平均法

規(guī)范現(xiàn)年權(quán)向量冪平均法問題：哪種定義更合理？理想的價格指數(shù)是什么？1.價格單調(diào)性：一種商品漲價，其他不降，則I應(yīng)上升價格指數(shù)的公理化p,q,p0,q0>0,I(p,q|p0,q0)>02.權(quán)重不變性：所有商品價格不變，則I應(yīng)不變3.價格齊次性：所有商品漲價k倍，則I應(yīng)上升k倍4.I應(yīng)位于單種商品價格比值的最小、最大值之間5.貨幣單位獨立性：I應(yīng)與貨幣單位的選取無關(guān)6.計量單位獨立性：I應(yīng)與商品計量單位的選取無關(guān)7.兩年的價格指數(shù)之比與基年選取無關(guān)8.價格指數(shù)不因某種商品被淘汰失去意義則價指數(shù)I2為若豬肉計量單位換算為公斤基期p0=2×8=16元,銷量q0=10÷2=5公斤

現(xiàn)價p1=2×10=20元,銷量q1=9÷2=4.5公斤價格指數(shù)應(yīng)不變對性質(zhì)6解釋舉例豬肉基期p0=8元,銷量q0=10斤

現(xiàn)價p1=10元,銷量q1=9斤即I1,I2,I5不滿足公理7艾希霍恩（Eichhorn）給出了如下定理（1973）定理:不存在同時滿足公理2,3,6,7,8的價格指數(shù).I6,I7,I8不滿足公理8I3不滿足公理2I4不滿足公理6常見的價格指數(shù)I1—I8中：

不存在滿足所有公理的價格指數(shù)，但經(jīng)濟學(xué)不能沒有價格指數(shù)，要選擇綜合性能好的指數(shù)。分析現(xiàn)有I1-I8，應(yīng)剔除哪一個？

I4與I6需構(gòu)造另外參數(shù)，不方便使用，I5

可由I1和I2

直接得到，I3不滿足公理2，I7、I8

計算量大且不滿足公理6、7、8.I1,I2滿足除公理7外的所有公理，且計算簡單，所以是目前最常用的價格指數(shù)。目前常用的價格指數(shù):I1,I2中國幾種主要價格指數(shù)簡介1、商品零售價格指數(shù)RPI

零售價格指數(shù)(RetailPriceindex)是反映城鄉(xiāng)商品零售價格變動趨勢的一種經(jīng)濟指數(shù)。它的變動直接影響到城鄉(xiāng)居民的生活支出和國家財政收入，影響居民的購買力和市場供需平衡以及消費和積累的比例。商品主要包括食品、飲料煙酒、服裝鞋帽、紡織品、中西藥品、化妝品、書報雜志、文化體育用品、日用品、家用電器、首飾、燃料、建筑裝潢材料、機電產(chǎn)品等十四個大類304種必報產(chǎn)品，各?。▍^(qū)、市）可根據(jù)當?shù)貙嶋H