第4節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算

2008年廣西人才小高地申報(bào)求解超靜定問題的一般方法力法位移法力矩分配法超靜定結(jié)構(gòu)特性第4節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)必須同時(shí)考慮“變形協(xié)調(diào)條件”和“平衡條件”才能求解；力法：以力作為基本未知量，在自動(dòng)滿足平衡條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，主要應(yīng)解決變形協(xié)調(diào)問題。位移法：以位移作為基本未知量，在自動(dòng)滿足變形協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，主要需解決平衡問題。1.求解超靜定問題的一般方法本章介紹的主要方法：力法、位移法(含彎矩分配法)。超靜定次數(shù)的確定超靜定次數(shù)——多余約束的個(gè)數(shù)，力法的未知量數(shù)，也就是使之成為靜定結(jié)構(gòu)需要去掉的約束個(gè)數(shù)；根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何組成判斷。3個(gè)3個(gè)1個(gè)1個(gè)1個(gè)2個(gè)6次超靜定5次超靜定2、力法基本原理例1.力法求解圖示單跨梁。基本體系轉(zhuǎn)化AB基本結(jié)構(gòu)

未知力的位移“荷載”的位移消除基本體系與原結(jié)構(gòu)的差別：力法典型方程:原結(jié)構(gòu)使B點(diǎn)豎向位移為0+力法典型方程——實(shí)質(zhì)是變形協(xié)調(diào)條件；即基本體系的位移等于原結(jié)構(gòu)的已知位移。它消除了基本體系與原結(jié)構(gòu)的差別。2、力法基本原理或：位移系數(shù)疊加作彎矩圖解方程得:力法基本思路解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的基本結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法典型方程。從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。例.用力法求解圖示結(jié)構(gòu)基本體系解法1:有兩個(gè)多于約束解除約束代以未知力基本未知力力法典型方程：力法應(yīng)用EI1a2EI2aPABC原結(jié)構(gòu)作單位和荷載彎矩圖求各系數(shù)項(xiàng)：解力法方程并作彎矩圖把系數(shù)項(xiàng)代入力法方程并求解僅與剛度相對(duì)值有關(guān)由疊加原理求疊加的只是控制截面的彎矩，然后根據(jù)規(guī)律連線。X1aX2aPX1=111Pa/4PX2=11解法2:基本體系EI1a2EI2aPABC原結(jié)構(gòu)力法應(yīng)用作單位和荷載彎矩圖求各系數(shù)項(xiàng)：X1=111Pa/4PX2=11解力法方程并作彎矩圖把系數(shù)項(xiàng)代入力法方程并求解由疊加原理力法基本結(jié)構(gòu)的選擇由于從超靜定轉(zhuǎn)化為靜定，將什么約束看成多余約束不是唯一的，因此力法求解的基本結(jié)構(gòu)也不是唯一的。最優(yōu)的體系：彎矩圖簡(jiǎn)單，使系數(shù)項(xiàng)為零。力法基本結(jié)構(gòu)選擇選擇最優(yōu)的基本體系。I1I2ll(A)X1X2(B)X1X2(D)X1X2(C)X1X2X1X2P(C)PX1X2X3PX1X2X3X2X3X1PPX1X2X3(A)(B)(D)原結(jié)構(gòu)選擇可以采用的基本體系。瞬變體系，不能作為基本體系基本體系1原結(jié)構(gòu)選擇圖示基本體系相應(yīng)的力法方程。X1X2X2X1基本體系2力法習(xí)題訓(xùn)練PI1I2I2lllX1I1PI1I2I2I1X1=1I1I2I2I1I2增加,減小，圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)I1不變，I2增大時(shí)，則支座反力X1（絕對(duì)值）將如何變化。0.5Pll0.5l0.5l不變力法習(xí)題訓(xùn)練PI1I2I2lllX1I1PI1I2I2I1X1=1I1I2I2I1I2增加,減小，圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)I1不變，I2增大時(shí)，則支座反力X1（絕對(duì)值）將如何變化。0.5Pl增加ll力法習(xí)題訓(xùn)練I1bI1I2lI1bI1I2X1I1bI1I2X1=10無內(nèi)力圖示結(jié)構(gòu)下沉b，判斷結(jié)構(gòu)內(nèi)力如何。溫度及支座沉降作用時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力僅由多余約束反力提供?；倔w系力法習(xí)題訓(xùn)練寫出圖示結(jié)構(gòu)及其力法基本體系的力法方程。EIlEIEIEAlPX1X1P基本體系力法方程：X1X1鏈桿伸長(zhǎng)量：力法習(xí)題訓(xùn)練△1就是鏈桿長(zhǎng)度的改變量鏈桿伸長(zhǎng)△1就會(huì)與X1方向相反CC1C1C1C1（A）（B）（C）（D）M圖超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算選擇虛設(shè)單位力狀態(tài)，使位移△CH計(jì)算最簡(jiǎn)單。計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移，等于計(jì)算基本體系的位移；虛設(shè)的單位力加在力法的基本結(jié)構(gòu)上，單位力狀態(tài)不唯一，但應(yīng)盡可能使彎矩圖簡(jiǎn)單。虛功原理——單位荷載法Px1x22008年廣西人才小高地申報(bào)對(duì)稱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化3.對(duì)稱性應(yīng)用一、對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的特性對(duì)稱結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承情況以及剛度三者必須同時(shí)滿足對(duì)稱條件。幾何對(duì)稱支承對(duì)稱剛度對(duì)稱對(duì)稱結(jié)構(gòu):

幾何形狀、支承情況、剛度分布繞某軸對(duì)折后完全重合的結(jié)構(gòu).對(duì)稱荷載:

繞對(duì)稱軸對(duì)折后荷載完全重合，且方向相同。反對(duì)稱荷載:繞對(duì)稱軸對(duì)折后荷載完全重合,但方向相反。對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下：支座反力、內(nèi)力、變形、位移都正對(duì)稱；彎矩圖和軸力圖正對(duì)稱,剪力圖反對(duì)稱；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下：支座反力、內(nèi)力、變形、位移都反對(duì)稱；彎矩圖和軸力圖反對(duì)稱,剪力圖正對(duì)稱；一、對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的特性PPAPEIEIEIA對(duì)稱荷載作用下:等效半結(jié)構(gòu):PPP對(duì)稱軸相交截面有正對(duì)稱位移:有正對(duì)稱內(nèi)力:無反對(duì)稱位移:無反對(duì)稱內(nèi)力:半結(jié)構(gòu)只要保證對(duì)稱軸相交截面的力和位移即可。用相應(yīng)的支座來代替。一、對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的特性PEIEI該半結(jié)構(gòu)用位移法求解只有一個(gè)未知量。APP反對(duì)稱荷載作用下:PEIEIEIAPPP對(duì)稱軸相交截面有反對(duì)稱位移:有反對(duì)稱內(nèi)力:無正對(duì)稱位移:無反對(duì)稱內(nèi)力:一、對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的特性等效半結(jié)構(gòu):PEIEI有位移就沒有相應(yīng)的約束力。０位移就一定施加了相應(yīng)的約束力。該半結(jié)構(gòu)用力法求解只有一個(gè)未知量。PPEIEIEIPEIAB對(duì)稱荷載作用下:對(duì)稱軸相交截面AB桿軸向變形忽略不計(jì)Ｂ端固定支座，無位移，因而ＡＢ桿不發(fā)生任何變形，彎矩剪力均為０，可以去掉不分析。支座加在Ａ點(diǎn)。截面Ａ的所用力都存在。與對(duì)稱軸重合的桿無彎矩，半結(jié)構(gòu)中往往去掉。等效半結(jié)構(gòu):一、對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的特性PEIEIEIPEIEIAB反對(duì)稱荷載作用下:對(duì)稱軸相交截面AB桿軸向變形忽略不計(jì)ＡＢ桿存在側(cè)移，就一定存在彎矩，因而ＡＢ桿必須分析。只需切結(jié)構(gòu)的一半分析，與對(duì)稱軸重合的桿剛度削減一半。一、對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的特性PEI/2EIEI等效半結(jié)構(gòu):取半結(jié)構(gòu)分析取對(duì)稱的基本體系：當(dāng)為一般荷載作用時(shí)，可分解一組正對(duì)稱荷載和一組反對(duì)稱荷載的疊加，分別利用對(duì)稱性計(jì)算，最后內(nèi)力疊加即可；二、對(duì)稱結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化2PPBAC2EI3EI3EIEIlPllPPPBAC2EI3EI3EIEIPPBAC2EI3EI3EIEIPPPPEIEIEIBAEI3EIEIBA3EIP/2EIP/2Pl/2原結(jié)構(gòu)對(duì)稱對(duì)稱荷載作用無彎矩反對(duì)稱荷載作用半結(jié)構(gòu)1/4結(jié)構(gòu)求圖示結(jié)構(gòu)BA桿B端彎矩MBAEI3EI3EIEIEIEIhhlAP2PPEI3EI3EIEIEIEIAP/2PP/２EI3EI3EIEIEIEIAP/2PPP/２EI3EI3EIEIAP/2PX1X2結(jié)構(gòu)對(duì)稱對(duì)稱荷載無彎矩反對(duì)稱荷載半結(jié)構(gòu)最少2個(gè)未知量確定圖示結(jié)構(gòu)用力法求解最少未知量數(shù)目要計(jì)算+llEI=常數(shù)PlPP/2P/2P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4X1X1確定圖示結(jié)構(gòu)用力法求解最少未知量數(shù)目對(duì)稱反對(duì)稱取對(duì)稱基本體系對(duì)稱荷載作用反對(duì)稱荷載作用2008年廣西人才小高地申報(bào)位移法基本未知量位移法基本思路形常數(shù)和載常數(shù)位移法應(yīng)用4.位移法一、位移法基本未知量基本假定：彈性小變形，軸向變形忽略不計(jì)（除鏈桿外），認(rèn)為桿長(zhǎng)不變，仍用兩點(diǎn)的直線距離代替；基本未知量：結(jié)點(diǎn)位移（包括線位移和轉(zhuǎn)角位移）；位移法最少的未知量：只包含獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)位移；獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移：不包含支座位移及鉸結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移；ABDCP位移法基本未知量確定角位移：每一剛結(jié)點(diǎn)都有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移；角位移數(shù)等于剛結(jié)點(diǎn)的總數(shù)；轉(zhuǎn)角位移對(duì)應(yīng)的附加約束是剛臂。線位移：線位移的總數(shù)等于使每個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)不能移動(dòng)需要添加的鏈桿總數(shù)；線位移的總數(shù)等于對(duì)應(yīng)鉸接體系的自由度。線位移對(duì)應(yīng)的附加約束是鏈桿。一個(gè)鏈桿往往能約束一根梁式桿的軸向位移。EI=∞6個(gè)7個(gè)ABCD如果AB桿EI=∞？4個(gè)未知量EA=∞如果AB桿EA=∞？6個(gè)未知量ABCD3個(gè)EI=∞8個(gè)如果AB桿EI=∞？6個(gè)未知量判斷位移法基本未知量ABACDBEACDBE2個(gè)轉(zhuǎn)角位移鉸接體系幾何不變自由度0無線位移判斷位移法基本未知量3個(gè)轉(zhuǎn)角位移鉸接體系2個(gè)自由度2個(gè)線位移附加約束1附加約束2原結(jié)構(gòu)1）基本未知量：基本體系二、位移法基本思路位移法求解圖示剛架。ABDCPABDCPABDC基本結(jié)構(gòu)基本體系附加約束的反力：ABDCPABDC基本體系PABDC荷載作用△2作用=++二、位移法基本思路ABDC△1作用由此可得位移法基本方程：二、位移法基本思路基本體系PABDC原結(jié)構(gòu)ABDCP消除基本體系與原結(jié)構(gòu)的差異：即使附加約束上的反力為0.實(shí)質(zhì)是平衡方程力矩方程水平投影方程位移法基本要點(diǎn)基本未知量：獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)位移（不包含支座結(jié)點(diǎn)位移及鉸結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移）。基本方程：節(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的平衡方程（力矩方程或投影方程）；位移法的適用范圍：任意結(jié)構(gòu)（靜定和超靜定結(jié)構(gòu)）。基本體系把結(jié)構(gòu)分劃為若干獨(dú)立的超靜定梁，基本方程把它們組合在一起。等截面直桿的剛度方程（形常數(shù)和載常數(shù)）是關(guān)鍵。三、形常數(shù)和載常數(shù)形常數(shù)：?jiǎn)挝晃灰谱饔卯a(chǎn)生的桿端力（桿端彎矩和桿端剪力）；也稱為桿的剛度系數(shù)，即使桿端產(chǎn)生單位位移所需施加的桿端力。桿端彎矩即為桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，桿端剪力即為抗側(cè)剛度；可根據(jù)力法計(jì)算；最簡(jiǎn)單的辦法是直接記憶；用來計(jì)算給定位移作用下的桿端力。載常數(shù)：荷載作用下產(chǎn)生的桿端力（支座反力）；可根據(jù)力法計(jì)算；最簡(jiǎn)單的辦法也是直接記憶。1111彎矩圖等截面直桿的形常數(shù)轉(zhuǎn)角位移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：近端4i，遠(yuǎn)端2i；側(cè)移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：6i/l。剪力可根據(jù)平衡方程來確定；方向根據(jù)位移方向來判斷。1.兩端固定梁彎矩圖等截面直桿的形常數(shù)轉(zhuǎn)角位移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為：3i和0

；側(cè)移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：3i/l和0剪力可根據(jù)平衡方程來確定；方向根據(jù)位移方向來判斷。1112.一端固定一端簡(jiǎn)支梁1彎矩圖轉(zhuǎn)角位移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：i和-i

；側(cè)移對(duì)應(yīng)的彎矩形常數(shù)均為：0。剪力均為Q=0；方向根據(jù)位移方向來判斷。3.一端固定一端定向支座梁等截面直桿的形常數(shù)彎矩圖等截面直桿的載常數(shù)Pqqq受力圖等截面直桿的剛度方程剛度方程：利用形常數(shù)和載常數(shù)和疊加以兩端都是剛結(jié)點(diǎn)的桿為例，基本未知量為桿兩端的轉(zhuǎn)角和側(cè)移；位移法基本結(jié)構(gòu)為兩端固定梁。A'B'qP原結(jié)構(gòu)考慮結(jié)點(diǎn)C平衡：基本體系四、位移法應(yīng)用位移法求解圖示剛架。ABDCPPABDCllEI=常量ABDCPMP圖CDP/2C考慮CD桿的平衡：ABDCABDC△2作用△1作用考慮結(jié)點(diǎn)C平衡：D6i/lC考慮CD桿的平衡：CCDC四、位移法應(yīng)用結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度結(jié)構(gòu)的抗側(cè)剛度把各系數(shù)項(xiàng)代入位移法方程：解方程最后彎矩：由疊加原理四、位移法應(yīng)用用位移法計(jì)算圖示剛架,并作彎矩圖.EI=常數(shù).4m四、位移法應(yīng)用3030307040M圖（kN.m）疊加法計(jì)算控制截面彎矩基本未知量求剛度系數(shù)BA2EI2EIEIlllCDPEI=∞EIEIEIPEA=∞EIEIEI四、位移法應(yīng)用k11是三根柱子的抗側(cè)剛度之和。k11是結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，等于B點(diǎn)所在三個(gè)桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和。qEIEI2EIlllAql2/6四、位移法應(yīng)用用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)。（逆時(shí)針）位移法基本未知量A點(diǎn)轉(zhuǎn)角ql2/3ql2/6ql2/14ql2/13BCDEIEIABCql2/26基本方程：ql2/8lACDBEIEIEIEIPllACDBEIEIEIEIP無線位移，僅有轉(zhuǎn)角位移?；窘Y(jié)構(gòu)在荷載作用下，無彎矩。方程自由項(xiàng)均為0.基本方程求得轉(zhuǎn)角位移必為0。結(jié)構(gòu)無彎矩和剪力，僅有軸力。四、位移法應(yīng)用未知量：C、D點(diǎn)的轉(zhuǎn)角MP=02008年廣西人才小高