數(shù)理方程第一章-3

泛定方程定解條件定解問題數(shù)學(xué)物理方程：完整表述例5

有一均勻桿，只要桿中任一小段有縱向位移或速度，必定引致鄰段的壓縮或伸長，這種伸縮傳開了去，就有縱波沿著桿傳播。試導(dǎo)出它的振動方程。分析：以u表示桿上各點的位移。在桿上任取一段B，其兩端于靜止時的坐標(biāo)各為x和x+dx。在縱向振動過程中，兩端的位移各為u和u+du。-P(x,t)SP(x+dx,t)S這一小段桿左端受到彈性力P(x,t)S，右端受到彈性力P(x+dx,t)S,規(guī)定x軸方向為正。P(x,t)為單位面積所受的彈性力，即應(yīng)力解：首先推導(dǎo)泛定方程，設(shè)桿的橫截面積為S

，楊氏模量為E，密度為。知識補(bǔ)充：楊氏模量(Young‘smodulus)是描述固體材料抵抗形變能力的物理量。一條長度為L、截面積為S的金屬絲在力F作用下伸長L。F/S叫應(yīng)力，其物理意義是金屬絲單位截面積所受到的力；L/L叫應(yīng)變，其物理意義是金屬絲單位長度所對應(yīng)的伸長量。根據(jù)胡克定律，在物體的彈性限度內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比值被稱為材料的楊氏模量。彈性模量是指當(dāng)有力施加于物體或物質(zhì)時，其彈性變形（非永久變形）趨勢的數(shù)學(xué)描述。物體的彈性模量定義為彈性變形區(qū)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線的斜率。楊氏模量指的是受拉伸和壓縮時的彈性模量。對這一小段桿應(yīng)用牛頓第二定律，有u(x+dx,t)=u(x,t)+du不考慮垂直桿方向的形變，根據(jù)Hooke定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即代入其中解:泛定方程的推導(dǎo)，設(shè)桿的橫截面積為S，楊氏模量為E，密度為。如圖建立坐標(biāo)系，并選取任意微元。由Hooke定律，微元所受到的彈性力為：依據(jù)牛頓運動定律，得例6：一根均勻桿，原長為l，一端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長e而靜止。突然松手，任其縱向振動。寫出定解問題。這就是桿在平衡位置，具有橫坐標(biāo)為的橫截面上的縱向位移量所滿足的偏微分方程。它是一維齊次波動方程。（1）泛定方程（2）初始條件u(x,t)指的是桿上x點在時刻t的位移，不是此時桿的長度，而是桿的伸長

（3）邊界條件振動問題在平衡位置處的運動特征即，彈性體（桿）伸長的改變量相當(dāng)于放手后x=L端就是自由端了，即在振動過程中這一端不受任何外力的作用。綜合起來，定解問題應(yīng)為：（1）泛定方程（2）初始條件（3）邊界條件有界桿的長度為L，其左端保持絕熱,

右端自由散熱(設(shè)外界介質(zhì)溫度為攝氏零度)。已知桿內(nèi)初始溫度分布為函數(shù)(x)，寫出桿內(nèi)任意時刻的溫度分布的定解問題。(1)(2)(3)？？例7:自由散熱定義:散失的熱量正比于熱體表面溫度與外界介質(zhì)溫度之差:u0是外界介質(zhì)溫度邊界條件:?。?！復(fù)習(xí)熱傳導(dǎo)問題的第三類邊界條件幫助理解該問題定解問題為:(t>0)例8：長度為L的均勻桿，側(cè)面絕熱。設(shè)桿一端的溫度為零，另一端有恒定熱流q

進(jìn)入(即單位時間內(nèi)通過單位面積流入的熱量為q)，已知桿的初始溫度分布為，試寫出相應(yīng)的定解問題。側(cè)面絕熱（與外界無熱量交換）沒入冰水之中（溫度為零），自由冷卻物理圖像：穩(wěn)恒熱流q注入。q:熱流強(qiáng)度，單位時間內(nèi)流過單位面積的熱量。解：泛定方程：初始條件：

邊界條件：0Lxx0Lq

x

高溫低溫?zé)崃鳠崃餮豿方向傳遞,任意x處的溫度為u,溫度梯度為，q表示在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位面積的熱量，k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，負(fù)號表示熱流方向與溫度梯度方向相反。單位面積q00u熱傳導(dǎo)的傅里葉定律:溫度梯度：低溫高溫?zé)崃鲃樱焊邷氐蜏貐⒖迹憾ń鈫栴}作為一個理論模型，是否能準(zhǔn)確無誤地描述實際過程，需要對結(jié)果進(jìn)一步檢驗，即考察解的“適定性”：1.存在性：定解問題的解是否存在2.唯一性：實際問題的解往往是唯一的，但數(shù)學(xué)解可能不唯一，需要舍去沒有實際意義的數(shù)學(xué)解3.穩(wěn)定性：定解條件或驅(qū)動項的微小變化是否導(dǎo)致解的性質(zhì)的改變

如果一個定解問題的解是存在的，唯一的，穩(wěn)定的，則稱這個定解問題是適定的。數(shù)理方程：定解問題的適定性本書所涉及的定解問題，都是古典的，適定的。波動方程：熱傳導(dǎo)方程：拉普拉斯方程：L:算符波動方程：熱傳導(dǎo)方程：拉普拉斯方程：線性方程:函數(shù)

u

及它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪線性方程的“算符形式”線性方程的算符L稱為線性算符。其基本特點：線性算符：微分算符，積分算符…非線性算符：…線性算符:疊加原理:對于一個線性微分方程:

如果均是它的解,即則的線性組合也是該方程的解。證明：疊加原理為求解定解問題提供了有力的工具疊加原理統(tǒng)計法：對所考察的問題進(jìn)行統(tǒng)計學(xué)研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（比如牛頓第二定律表達(dá)式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學(xué)規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學(xué)物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法本章小結(jié)：幾個名詞簡介:定解問題分為三類：一.均勻弦的橫振動方程二.傳輸線方程(電報方程)——一維波動方程——高頻傳輸線方程三.電磁場方程——三維波動方程四.熱傳導(dǎo)方程(場點t時刻的溫度分布)——三維熱傳導(dǎo)方程(振幅)(電流、電壓)本課程內(nèi)容，只涉及線性邊界條件，且僅包括以下三類。第一類邊界條件：物理條件直接規(guī)定了u

在邊界上的值，如第二類邊界條件：物理條件并不直接規(guī)定了u

在邊界上的值，而是規(guī)定了u

的法向微商在邊界上的值，如第三類邊界條件：物理條件規(guī)定了

u與其導(dǎo)數(shù)在邊界上值之間的某個線性關(guān)系，如

分別稱為第一類，第二類，第三類齊次邊界條件

分別稱為第一類，第二類，第三類非齊次邊界條件