第一節(jié)拉格朗日插值

數(shù)值計算方法廈門大學嘉庚學院2015—2016學年第二學期ComputerizedNumericalMethods2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值2第五章插值法§2分段低次插值§3差商與牛頓插值多項式§1拉格朗日(Lagrange)插值

§4差分與等距節(jié)點插值公式

§6三次樣條插值

§5埃爾米特(Hermite)插值2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值3

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且已知在點上的值，若存在一簡單函數(shù)P(x)，使成立，就稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)，這類問題稱為插值問題。常用的插值函數(shù)有多項式，三角多項式，有理函數(shù)等。近幾十年發(fā)展起來的樣條(Spline)插值，獲得了廣泛的應用。2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值4§1

拉格朗日插值第五章一、代數(shù)插值問題二、插值多項式的存在唯一性三、線性插值四、拋物線插值五、拉格朗日插值多項式2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值5一、代數(shù)插值問題插值多項式插值條件插值節(jié)點插值區(qū)間[a,b],代數(shù)插值的幾何意義插值多項式的余項2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值6二、插值多項式的存在唯一性定理1

在n+1個互異節(jié)點xi上滿足插值條件的次數(shù)不高于n次的插值多項式Pn(x)存在且唯一。證

2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值7系數(shù)行列式為范德蒙行列式例1

x=[0123];y=[230-1];求插值多項式：

p=vander(x)\y’;poly2sym(p’)2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值8三、線性插值設y=f(x),給定區(qū)間[x0,x1]及端點函數(shù)值y0=f(x0)，y1=f(x1),要求線性插值多項式L1(x)，使它滿足稱L1(x)為線性插值函數(shù)。由直線方程的兩點式可得記2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值9則稱為線性插值基函數(shù)，設f’(x)在[x0,x1]上連續(xù)，f’’(x)在[x0,x1]內(nèi)存在，則插值余項（截斷誤差）為則截斷誤差限為2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值10四、拋物線插值

設已知y=f(x)在三個不同的點x0,x1,x2上的值分別為y0,y1,y2.要求做一個二次插值多項式L2(x),使它滿足插值條件設f’’(x)在[x0,x1]上連續(xù)，f’’’(x)在[x0,x1]內(nèi)存在，則插值余項（截斷誤差）為有：2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值11五、拉格朗日插值多項式

設已知y=f(x)在n+1個節(jié)點要求做一個n次插值多項式Ln(x),使它滿足插值條件處的函數(shù)值為2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值12這個多項式稱為n次拉格朗日插值多項式。2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值132023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值142023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值152023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值162023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值172.2023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值182023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值19例2

給定f(x)=的函數(shù)表如下：xy=f(x)144169225121315試分別用線性插值多項式和二次拉格朗日插值多項式計算

f(175)的值。答：L1(175)=13.21428572L2(175)=13.23015873

f(175)=13.228756562023/2/6第三章第一節(jié)拉格朗日插值20例3

設f(x