第二章單自由度系統(tǒng)振動(dòng)

機(jī)械振動(dòng)與模態(tài)分析西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

張立民第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.3單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

正如第一章所述，振動(dòng)系統(tǒng)可分為離散模型和連續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個(gè)自由度，而連續(xù)模型則具有無限個(gè)自由度。

系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必須的獨(dú)立的坐標(biāo)個(gè)數(shù)。

在離散模型中，最簡(jiǎn)單的是單自由度線性系統(tǒng)，它用一個(gè)二階常系數(shù)常微分方程來描述。這類模型常用來作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描述。第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

構(gòu)成離散模型的元素有三個(gè)，彈性元件、阻尼元件和慣性元件。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)通常假定彈簧為無質(zhì)量元件。如圖2-1(a)所示，彈簧力Fs

與其相對(duì)變形x2-x1的典型函數(shù)關(guān)系如下圖2-1（b）所示。

圖2-1彈簧模型2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

當(dāng)x2-x1

比較小時(shí)，可以認(rèn)為彈簧力與彈簧變形量成正比，比例系數(shù)為圖中曲線的斜率k，如果彈簧工作于彈簧力與其相對(duì)變形成正比的范圍內(nèi)，則稱彈簧為線性彈簧，常數(shù)稱為彈簧常數(shù)k

，或彈簧剛度。一般用k

表示。單位為（N/m）。

阻尼元件通常稱為阻尼器，一般也假設(shè)為無質(zhì)量。

常見的阻尼模型三種形式:圖2-2阻尼模型阻尼元件由物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力所致的粘滯阻尼。由相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)所致的干摩擦（庫(kù)侖）阻尼。由材料變形時(shí)材料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對(duì)滑移或滑動(dòng)引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。粘滯阻尼是一種最常見的阻尼模型。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

如無特別說明，后續(xù)所說的阻尼均指粘滯阻尼，其阻尼力Fd與阻尼器兩端的相對(duì)速度成正比，如圖2-2（b），比例系數(shù)c

稱為粘性阻尼系數(shù)，它的單位為牛頓-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用c

表示。圖2-2阻尼模型2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

慣性元件就是離散系統(tǒng)的質(zhì)量元件，慣性力Fm與質(zhì)量元件的加速度成正比，如圖2-3所示，比例系數(shù)就是質(zhì)量m

。m

的單位為千克（kg

）。

圖2-3質(zhì)量模型

慣性元件2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

并聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度

在實(shí)際工程系統(tǒng)中，常常會(huì)有多個(gè)彈性元件以各種形式組合在一起的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式，分別如圖2-4（a）和2-4（b）所示。

圖2-4彈簧的組合2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）所以等效彈簧剛度為

（2-2）

并聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度圖解彈性元件的組合2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）

（2-2）串聯(lián)時(shí)彈簧的等效剛度2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)在圖2-4（b）所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關(guān)系將x0

消掉，可得（2-6）（2-5）（2-4）（2-3）如果有n

個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，可以證明有以下結(jié)論2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）題1串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

（2-2）并聯(lián)并聯(lián)串并聯(lián)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）

（2-2）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）

（2-2）問題，將如圖所示機(jī)床簡(jiǎn)化成單自由度系統(tǒng)，寫出其運(yùn)動(dòng)方程。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）問題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）

（2-2）問題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-1）

（2-2）問題：判斷等效的正誤2.1.1

單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

圖2-5單自由度模型

單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由圖2-5（a）表示，下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。繪系統(tǒng)的分離體圖如圖2-5（b）。

運(yùn)動(dòng)微分方程2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-8）

由于

，

方程（2-7）變?yōu)?

（2-8）式是一個(gè)二階常系數(shù)常微分方程。常數(shù)m

，c，k是描述系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)。方程（2-8）的求解在振動(dòng)理論中是十分重要的。

用F(t)表示作用于系統(tǒng)上的外力，用x(t)表示質(zhì)量m

相對(duì)于平衡位置的位移，可得:（2-7）

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)ωn稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率（可用量綱分析）?？梢宰C明（2-9）式具有如下形式的通解:

（2-9）（2-10）2.1.2無阻尼自由振動(dòng)

本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。在自由振動(dòng)情況下，F(xiàn)(t)恒等于零。在（2-8）式中令，F(xiàn)(t)=0

，c=0

則有:

其中A1和A2為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始位移x(0)和初始速度決定。運(yùn)動(dòng)方程2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)若引入

（2-11）可得:蔣(2-11)代入(2-10)可導(dǎo)得:

（2-12）（2-13）

A和φ也是積分常數(shù)，同樣由x(0)和決定。方程（2-13）表明系統(tǒng)以為ωn

頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣的系統(tǒng)又稱為簡(jiǎn)諧振蕩器。（2-13）式描述的是最簡(jiǎn)單的一類振動(dòng)。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，完成一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)周期所需的時(shí)間定義為周期T

周期

從物理概念上講，T代表完成一個(gè)完整的振蕩所需的時(shí)間，事實(shí)上T等于振動(dòng)過程中相鄰的兩個(gè)完全相同的狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間差，其單位為秒。

自然頻率自然頻率的單位為赫茲(HZ)。自然頻率通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

（2-14）（2-15）（2-16）

下面給出用初始條件表示的積分常數(shù)A和φ

的表達(dá)式。引入符號(hào)，，利用方程（2-10）不難證明簡(jiǎn)諧振子對(duì)初始條件x0和v0

的響應(yīng)為

比較方程（2-11）和（2-16），并利用（2-12）式的關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅A與相角φ

有如下形式積分常數(shù)A和φ

的表達(dá)式2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-17）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

例2-1

如圖2-6

，一個(gè)半徑為R的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動(dòng)，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)微分方程，并證明此殼體的運(yùn)動(dòng)象簡(jiǎn)諧振子，計(jì)算振子的自然振動(dòng)頻率。

圖2-6例2-1題圖2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（a）

分析:本例運(yùn)動(dòng)方程的建立過程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一些，運(yùn)用理論力學(xué)中平面運(yùn)動(dòng)的理論，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

設(shè)殼體傾斜角為θ（如圖2-6），設(shè)c

為殼體與粗糙表面的接觸點(diǎn)，在無滑動(dòng)的情況下，殼體瞬時(shí)在繞c點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)c

點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解：2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（b）

其中，IC為繞點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，MC為重力作用下的恢復(fù)力矩。為方便起見，設(shè)殼體的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，由圖2-6，對(duì)于給定的θ，對(duì)C點(diǎn)的恢復(fù)力矩MC

有如下形式：（a）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（b）（c）殼體對(duì)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

其中，dw是給定角φ位置的微元體重量，ρ是殼體單位面積的質(zhì)量。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

當(dāng)殼體作小幅振動(dòng)時(shí)，即θ很小時(shí)，引入近似表達(dá)式sinθ≈θ，cosθ≈1

，并將（b）、（c）兩式代入（a）中，得到:

（d）（e）（f）整理可得:

（e）式表明，當(dāng)θ很小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的確象簡(jiǎn)諧振子，其自然頻率為:

（a）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-18b）（2-19）(2-20)2.1.3有阻尼自由振動(dòng)

有阻尼自由振動(dòng)方程:

其中，稱為粘性阻尼因子。設(shè)（2-18b）式的解有如下形式:將（2-19）代入（2-18b）中，可得代數(shù)方程(特征方程)

有阻尼自由振動(dòng)方程

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-18a）

寫成:

(2-20)這就是系統(tǒng)的特征方程，它是s

的二次方程，有兩個(gè)解：

很明顯，s1、s2

的性質(zhì)取決于阻尼因子ζ

，其相互關(guān)系可以從s

平面，即復(fù)平面上得到反映（如圖2-7）。

（2-21）圖2-7s1

、s2

的復(fù)平面表示2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-20）式的根s1

、s2

作為阻尼因子ζ

的函數(shù)在復(fù)平面上描繪出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)ζ對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為的影響，或者說對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。參數(shù)ζ對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。(2-20)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

當(dāng)ζ=0時(shí)，得到兩個(gè)復(fù)根±iωn

，此時(shí)系統(tǒng)就是簡(jiǎn)諧振子。

當(dāng)0

＜ζ

＜

1時(shí)，為復(fù)共軛，在圖中對(duì)稱地位于實(shí)軸的兩側(cè)，并位于半徑為ωn的圓上。

當(dāng)ζ=1時(shí)，特征方程的根s1

、s2為－ωn

，落在實(shí)軸上。

當(dāng)ζ

＞1時(shí)，特征方程的根始終在實(shí)軸上,且隨著ζ→∞，s1→0、s2

→∞（2-21）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

將特征方程的根（2-21）代入（2-19）式，可得系統(tǒng)的通解

:（2-22）（2-19）（2-21）系統(tǒng)的通解2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

式（2-22），對(duì)應(yīng)于ζ

＞1的情況，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非振蕩的，并且隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，x(t)的確切形狀取決于A1

和A2

，也即取決于初始位移x0

和初速度v0

。ζ

＞1的情況稱為大阻尼或過阻尼。大阻尼(ζ

＞1)（2-22）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)這也代表一指數(shù)衰減的響應(yīng)，ζ=1的情況稱為臨界阻尼。

在特殊情況ζ=1,方程（2-20）有一個(gè)重根，s1=s2=－ωn

，不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下形式的解:（2-23）由表達(dá)式可見當(dāng)ζ=1時(shí)，臨界粘性阻尼

臨界阻尼（ζ=1）臨界阻尼是ζ

＞1和ζ

＜1的一個(gè)分界點(diǎn)，應(yīng)該注意到，ζ=1時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨近于平衡位置的速度是最大的。ζ=1也是系統(tǒng)振動(dòng)與非振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-20）圖2-8

ζ

＞1

時(shí)x(t)曲線ζ

＞1

、ζ=1時(shí)系統(tǒng)的自由振動(dòng)如圖2-8--圖2-9

。圖2-9ζ=1

時(shí)x(t)曲線2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)其中，，通常稱為有阻尼自由振動(dòng)頻率。由于

:

0

＜ζ

＜

1時(shí)，解（2-22）可改寫成如下形式：

（2-24）小阻尼（0

＜ζ

＜

1）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

式（2-24）簡(jiǎn)化成（2-27）

可見上式表示的運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)，頻率為常值，相角為，而幅值為，以指數(shù)形式衰減。常數(shù)、由初始條件決定。稱為小阻尼或欠阻尼情況。并設(shè)（2-26）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)小阻尼情況的典型響應(yīng)曲線如圖2-10所示，曲線為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。很明顯，當(dāng)t→∞

，x(t)→0，因此響應(yīng)最終趨于消失。圖2-100

＜ζ

＜

1

時(shí)x(t)曲線2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

例2-2

對(duì)于圖2-5所示的單自由度系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)分別在，和時(shí)，對(duì)于初始條件，的響應(yīng)。

解:對(duì)于，用（2-22）式有，所以（a）因此,系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)有如下形式（b）因此，系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)（b）式求導(dǎo)，并代入初始條件可得

（c）

可得時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)（d）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

對(duì)于，從（2-23）式中容易導(dǎo)出和，所以此時(shí)的響應(yīng)為:（e）

對(duì)于，在（2-27）式中用初始條件得，幅值則與初始速度有關(guān)，，因此（2-27）簡(jiǎn)化為

:

（f）

表達(dá)式（d）、（e）、（f）分別對(duì)應(yīng)于大阻尼、臨界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見圖2-8～2-10。圖中將、、作為參數(shù)，給出了響應(yīng)隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1.4對(duì)數(shù)衰減率

如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子的線性函數(shù)。下面來尋求通過衰減響應(yīng)確定阻尼因子的途徑。圖2-11ζ＞1時(shí)x(t)的一般規(guī)律在圖2-11中，設(shè)t1

和t2表示兩相鄰周期中相距一個(gè)完整周期T

的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由（2-27）式，可得（2-28）（2-27）

由于，是有阻尼振動(dòng)的周期，所以（2-29）這樣（2-28）式可化為:2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

觀察（2-29）式的指數(shù)關(guān)系，可以自然地引入以下關(guān)系式:（2-30）

要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測(cè)量?jī)扇我庀噜徶芷诘膶?duì)應(yīng)點(diǎn)x1

和x2

，計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率（2-31）此處，δ稱為對(duì)數(shù)衰減率。從而得到2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

對(duì)于微小阻尼情況，（2-31）式可近似為（2-32）

值得注意的是，可以通過測(cè)量相隔任意周期的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移，來確定。設(shè)、為、對(duì)應(yīng)的時(shí)間，為整數(shù)，則（2-33）

由（2-33）可導(dǎo)得（2-34）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

例2-3

實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在5個(gè)完整的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼因子。

解:設(shè)，則

由（2-31）、（2-32）式分別得到：2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1.5彈簧的等效質(zhì)量

在圖2-12中，設(shè)彈簧具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，那么彈簧的質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響呢？下面就來討論這個(gè)問題。圖2-12彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)示意圖

設(shè)質(zhì)量的位移用表示，彈簧的長(zhǎng)度為，那么距左端為的質(zhì)量為的微單元的位移則可假設(shè)為，設(shè)為常數(shù)。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)（2-35）（2-36）

根據(jù)能量守恒原理（2-37）則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

可得（2-38）

此處稱為等效質(zhì)量。可見彈簧的質(zhì)量將會(huì)使系統(tǒng)的自然頻率降低到（2-39）（2-39）式表明彈簧將自身質(zhì)量的三分之一貢獻(xiàn)給系統(tǒng)的等效質(zhì)量，當(dāng)然，前提是假設(shè)彈簧按規(guī)律變形的。如果假設(shè)其他類型的變形模式，影響效果則有可能不同。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

工程振動(dòng)中一個(gè)很重要方面是分析系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)，這種振動(dòng)有別于上節(jié)的自由振動(dòng)，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)，這是本節(jié)要討論的內(nèi)容。

對(duì)于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對(duì)于初始條件的響應(yīng)和對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)，然后再合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。2.2.1

系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)

對(duì)于圖2-5所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（2-40）

首先考慮最簡(jiǎn)單的情況，即簡(jiǎn)諧激勵(lì)情況，設(shè)F(t)

有如下形式圖2-5單自由度模型（2-41）

運(yùn)動(dòng)方程2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)（2-41）將（2-41）代入（2-40），兩邊同除以m

有

（2-42）當(dāng)A

為零時(shí)，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)，自由振動(dòng)響應(yīng)隨時(shí)間衰減，最后消失，所以自由振動(dòng)響應(yīng)也叫瞬態(tài)響應(yīng)。式（2-42）的特解也就是強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間衰減，所以稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)（2-43）將（2-43）代入方程（2-42），可得

（2-44）利用三角函數(shù)關(guān)系

并令（2-44）式中和項(xiàng)的系數(shù)相等可得（2-45）

設(shè)系統(tǒng)（2-42）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有如下形式

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)（2-46）（2-47）

將（2-46）、（2-47）代入（2-43）得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。解（2-45）式可得

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)A=2ξXnX=A|H|=Xn*2ξ|H|式中典型的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系曲線如圖2-13所示。

將f(t)用復(fù)數(shù)形式表示:

圖2-13

簡(jiǎn)諧激勵(lì)f(t)

與響應(yīng)x(t)曲線（2-48）

f(t)的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由f(t)的實(shí)部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由x(t)

的實(shí)部表示。式中A

一般為復(fù)數(shù)。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

（2-50）由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x(t)與激振力f(t)

成正比，且比例因子為（2-51）這稱為復(fù)頻響應(yīng).在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)滿足關(guān)系（2-49）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

由（2-51）式，可見的模等于響應(yīng)幅值和激勵(lì)幅值的無量綱比，即

常稱為幅值因子。

（2-53）（2-52）

這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實(shí)際的外激勵(lì)的無量綱比。這里中的是由靜平衡位置算起的。

由（2-50）、（2-51）式可得

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)圖2-14

簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)

圖2-14

給出了在不同阻尼比下與的關(guān)系曲線。

從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對(duì)于的位置左移。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)（2-54）

當(dāng)ζ=0時(shí)，在ω=ωn處︱H(ω)︱不連續(xù)。對(duì)（2-53）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ω

值

當(dāng)ζ=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于無阻尼情況，此時(shí)系統(tǒng)的齊次微分方程就是簡(jiǎn)諧振子。當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率ω趨近于系統(tǒng)的自然頻率ωn時(shí)，簡(jiǎn)諧振子的響應(yīng)趨于無窮，這種狀態(tài)稱為共振，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生劇烈振動(dòng)。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

值得注意的是，當(dāng)ω=ωn

時(shí)，（2-50）式所表示的解已不適用了，必須對(duì)系統(tǒng)（2-42）重新求解。

在微小阻尼情況下，如ζ＜0.05，︱H(ω)︱的極大值的位置幾乎與ω/ωn=1相差無幾，引入符號(hào)︱H(ω)︱max=Q

，在微小阻尼情況下，有（2-55）品質(zhì)因子Q（2-42）

Q通常稱為品質(zhì)因子。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)另外，工程上常將︱H(ω)︱

曲線上取值為的兩點(diǎn)P1

和P2稱為半功率點(diǎn)。半功率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)頻率之差稱為半功率點(diǎn)帶寬，在小阻尼情況下，不難證明(如何證明？)，半功率點(diǎn)帶寬Δω

取如下值（2-56）

比較（2-55）和（2-56）式，可得

（2-57）（2-57）式給出了一種快速估計(jì)Q

和ζ

值的方法。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

下面將注意力轉(zhuǎn)到相角上來，由（2-51）和（2-53）式，不難得到

（2-58）這里（2-59）這與（2-47）式的結(jié)果相同。根據(jù)（2-58）式和（2-59）式，（2-50）式可寫為

（2-60）相角φ2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)從（2-60）式和圖2-15可以看出:對(duì)應(yīng)于不同ζ值的所有曲線均在ω/ωn=1處通過共同點(diǎn)。

對(duì)于ζ=0，隨ω/ωn的變化曲線在ω/ωn=1處間斷。從的φ=0跳到ω/ωn＞1時(shí)的φ=π

。這可以通過ζ=0

時(shí)的x(t)解來解釋。對(duì)于ω/ωn＜1情況隨ω/ωn減小，相角趨于零。

對(duì)于ω/ωn＞1情況，隨ω/ωn增大，相角趨于π

。

圖2-15簡(jiǎn)諧激勵(lì)的相位即ω/ωn＜1時(shí)響應(yīng)同相，ω/ωn＞1時(shí)響應(yīng)反相。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)方程（2-61）也清楚地表明簡(jiǎn)諧振子在驅(qū)動(dòng)頻率ω

趨近于自然頻率ωn時(shí)，響應(yīng)變?yōu)闊o窮大。

下面討論簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

:（2-62）（2-61）簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)不難證明系統(tǒng)有如下特解（2-63）

此式表明，解是幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，這隱含了隨著時(shí)間的增大，解將趨于無窮。因此在工程上講，共振是很危險(xiǎn)的狀態(tài)，一定要避免。上式所描述的共振響應(yīng)特性示于下圖。

圖2-16

簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng)有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)可由其自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)疊加而成。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

例2-4

如圖2-17所示，有兩個(gè)帶有偏心的質(zhì)量反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)，不平衡質(zhì)量的垂直位移為，由靜平衡算起。求。

圖2-17例2-4題圖解:由題意不難得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:簡(jiǎn)化為:2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為:相角φ由（2-38）式給出。將上改寫為可得:在這一例子中，可將無量綱比寫為

的圖形與的圖形完全不同，這將于稍后敘述。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)例2-5研究一種基礎(chǔ)激振的情況。如圖2-18所示:解:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有如下形式

:圖2-18

例2-5題圖

簡(jiǎn)化為:設(shè)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，有如下形式則系統(tǒng)的響應(yīng)為2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)將簡(jiǎn)寫成那么無量綱比可寫為2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)指數(shù)描述

有阻尼系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧激振力和在激振力作用下的響應(yīng)的復(fù)指數(shù)描述，可以通過在復(fù)平面上的幾何圖形來說明，將（2-60）式兩邊對(duì)求導(dǎo)得（2-64）所以振動(dòng)速度超前位移π/2相角，加速度超前位移π相角，并且分別放大ω和ω2的因子。

據(jù)上所述，可以將方程（2-42）在復(fù)平面上繪圖如圖2-19，不失一般性地設(shè)A為實(shí)數(shù)。

我們知道2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng),圖2-19說明復(fù)向量，與的和與平衡，這正是方程（2-42）所必須滿足的。圖2-19簡(jiǎn)諧振子的復(fù)平面表示注意，整個(gè)圖形繞著復(fù)平面以角速度ω旋轉(zhuǎn)。從圖中也可以看出，由于整個(gè)圖形是封閉的，成為一個(gè)平衡系統(tǒng)，所以僅考慮實(shí)部就相當(dāng)于將圖中各分量投影于實(shí)軸上。理論上講，投影于任何軸上都不改變系統(tǒng)各向量之間的關(guān)系。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)疊加原理

這里重新考慮圖2-5所示的二階線性系統(tǒng)。上節(jié)已經(jīng)導(dǎo)出了系統(tǒng)受任意激勵(lì)的微分方程

（2-65）在工程上，經(jīng)常又將和分別稱為系統(tǒng)的輸出和輸入。為了分析方便，引入線性微分算子

（2-66）這樣，（2-65）可簡(jiǎn)寫為

（2-67）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

微分算子代表二階系統(tǒng)的一個(gè)“黑盒子”，它包含了系統(tǒng)的所有性質(zhì)，因?yàn)橄到y(tǒng)的參數(shù)、、都在算子中。方程（2-67）表明，如果系統(tǒng)有一個(gè)輸入作用于黑合子，則系統(tǒng)的輸出就是。

考慮兩個(gè)激勵(lì)和，并設(shè)和分別為對(duì)應(yīng)于和的響應(yīng)，則有

（2-68）接下來考慮為和的線性組合，即

（2-69）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

則稱系統(tǒng)是線性的，否則系統(tǒng)是非線性的。應(yīng)用方程（2-68）、（2-69），（2-70）可以用微分算子的G形式表示，即

方程（2-71）為疊加原理的數(shù)學(xué)描述。很明顯，它僅適用于線性系統(tǒng)。換句話說，疊加原理可理解為，對(duì)于線性系統(tǒng)，可以先分別求解系統(tǒng)對(duì)于單獨(dú)激勵(lì)的響應(yīng)，然后將各個(gè)響應(yīng)合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。（2-70）（2-71）如果的響應(yīng)滿足

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2.2

系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)

在工程振動(dòng)中，也遇到大量其他類型的非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)。利用Fourier級(jí)數(shù)展開的方法，可以將周期為T

的任何函數(shù)展成如下形式（2-72）

和由右式求得

（2-73）,2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)為了求解方便，將（2-73）式用復(fù)數(shù)形式表示（2-74）這里為復(fù)常數(shù)，由下式給定

由復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律得,(2-74)式等效于下式其中

（2-75）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)（2-76）（2-77）這里，為對(duì)應(yīng)于頻率為的復(fù)頻響應(yīng)，即

有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于（2-76）式所示激勵(lì)的響應(yīng)，可以求得下式

（2-78）（2-79）

類似地，解（2-78）可寫成

（2-80）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)為的模，而（2-81）

由解的表達(dá)式（2-78）和（2-80）可看出，對(duì)于周期激勵(lì)的響應(yīng)也是周期的，且與有同樣的周期。另外，當(dāng)某個(gè)接近系統(tǒng)的自然頻率時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)中此簡(jiǎn)諧分量將占主導(dǎo)地位，特別是當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)均發(fā)生共振，也就是說周期激勵(lì)同樣可以激起系統(tǒng)共振，只要某與重合。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2.3非周期激勵(lì)的響應(yīng)

在非周期激勵(lì)的情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)將不再是“穩(wěn)態(tài)”的，而是“非穩(wěn)態(tài)”的。求解系統(tǒng)在非周期激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)的方法有多種，將激勵(lì)描述成一系列脈沖，通過求各個(gè)脈沖的響應(yīng)，然后疊加來求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是常見的方法之一，下面詳細(xì)敘述此方法。

單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)定義為當(dāng)時(shí)

（2-82）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

按單位脈沖函數(shù)的定義，在t=a

時(shí)刻作用的一個(gè)任意幅值的脈沖力可表示為

（2-83）系統(tǒng)在零初始條件下，對(duì)于t=0時(shí)的單位脈沖力的響應(yīng)，稱為單位脈沖響應(yīng)，并用h(t)

表示。系統(tǒng)對(duì)于t=a時(shí)刻單位脈沖力的響應(yīng)則相應(yīng)為h(t–a)。

下面求解有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于脈沖力的響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的方程為

（2-84）

由于脈沖的作用時(shí)間ε極短，即ε→0

，對(duì)方程（2-84）兩邊在區(qū)間ε積分，并設(shè)初始條件

（2-85）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)其中

（2-86）

符號(hào)

表示在區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。另一方面，由于脈沖作用時(shí)間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增量，即。由（2-85）、（2-86）可得

（2-87）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

(2-87)式可以理解為作用于時(shí)的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生一瞬間的速度增量，這樣就可以將這一脈沖作用等價(jià)為系統(tǒng)具有初速度。因此，系統(tǒng)的響應(yīng)為

（2-88）單位脈沖響應(yīng)可以由（2-88）式得到，令，則有

（2-89）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)一任意激勵(lì)函數(shù)，可以看成由一系列變幅值的脈沖所組成。在任意時(shí)刻，對(duì)應(yīng)一時(shí)間增量，相應(yīng)的脈沖幅值為，脈沖力在數(shù)學(xué)上可描述為，此時(shí)系統(tǒng)的

響應(yīng)（2-90）系統(tǒng)總的響應(yīng)為

（2-91）令，我們可得到

（2-92）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

（2-92）式稱為卷積或杜哈美（Duhamel）積分，表示系統(tǒng)的響應(yīng)為一系列脈沖響應(yīng)的疊加。將（2-89）式代入（2-92）得

（2-93）

這就是有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)的響應(yīng)。注意，（2-93）未考慮系統(tǒng)的初始條件。根據(jù)卷積的性質(zhì)，（2-92）可寫為另一種形式

（2-94）2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)階躍響應(yīng)

作為卷積的一個(gè)例子，下面討論有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)單位階躍函數(shù)的響應(yīng)，單位階躍函數(shù)定義為

（2-95）

很明顯，單位階躍函數(shù)在處不連續(xù)，在此點(diǎn)處，函數(shù)值由0

跳到1

。如果不連續(xù)點(diǎn)在處，則單位階躍函數(shù)用表示。

值得注意，單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可表示為

（2-96）此處，僅僅是積分變量。反過來有

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)（2-97）

系統(tǒng)對(duì)于作用于時(shí)的單位階躍力的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，并用表示。將和代入卷積公式，可得單位階躍響應(yīng)（2-98）經(jīng)積分可得

（2-99）此處的作用是使（2-99）式在時(shí)，。

系統(tǒng)響應(yīng)的求法還有Fourier積分法，Laplace變換法，這里不做介紹。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.3單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用2.3.1

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的概念

圖2-20單盤轉(zhuǎn)子示意圖圖2-21圓盤的瞬時(shí)位置及力

設(shè)有一轉(zhuǎn)子如圖2-20所示，其中Oxyz是固定坐標(biāo)系，無質(zhì)量的彈性軸的彎曲剛度為EJ

，在跨中安裝有質(zhì)量為的剛性薄盤。

由于材料、工藝等因素使圓盤的質(zhì)心偏離軸線，偏心距為e

。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度ω自轉(zhuǎn)時(shí)，偏心引起的離心慣性力將使軸彎曲，產(chǎn)生動(dòng)撓度，并隨之帶動(dòng)圓盤公轉(zhuǎn)。設(shè)圓盤在瞬時(shí)t

的狀態(tài)如圖2-21所示，這時(shí)彈性軸因有動(dòng)撓度而對(duì)圓盤的作用力為，它在坐標(biāo)軸上的投影分別為

（2-100）由材料力學(xué)可知，對(duì)于圖2-20所示的模型2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用（2-101）圖2-21（2-102）根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可得（2-103）

由圖2-21的幾何關(guān)系知

對(duì)上式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得

（2-104）（2-105）設(shè)圓盤在運(yùn)動(dòng)中受到粘性阻尼力的作用，它的兩個(gè)分量為

2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用圖2-21把（2-105）代入（2-103），得到轉(zhuǎn)子模型的運(yùn)動(dòng)微分方程

（2-106）可改寫為

式中（2-107）把（2-107）式與有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程作一比較，顯然兩者在數(shù)學(xué)形式上是完全相同的。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用（2-108）把（2-108）代入（2-107）中，得到

（2-109）由此可見，O'點(diǎn)繞固定坐標(biāo)系的Oz

軸在作圓周運(yùn)動(dòng)。因此引用其求穩(wěn)態(tài)解的方法，設(shè)2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

可見圓周運(yùn)動(dòng)的半徑就是軸的動(dòng)撓度r

，角速度等于軸的自轉(zhuǎn)角速度ω

，因?yàn)橛凶枘幔瑒?dòng)撓度與偏心之間存在相位差φ

。即有

（2-110）對(duì)照幾何關(guān)系

2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用根據(jù)（2-110）式可繪出在不同ζ

值時(shí)，r和φ

隨ω值變化的曲線，分別如圖2-22與圖2-23所示。圖2-22

轉(zhuǎn)子動(dòng)撓度的幅值-轉(zhuǎn)速曲線(左)圖2-23

轉(zhuǎn)子動(dòng)撓度的相位-轉(zhuǎn)速曲線(右)2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用由于φ的存在，在一般情況下，O、O'和C三點(diǎn)并不在一條直線上，而總是成一個(gè)三角形ΔOO'C

，而且ΔOO'C

的形狀在轉(zhuǎn)子以等角速度

ω旋轉(zhuǎn)過程中保持不變。當(dāng)ω＞＞ωn時(shí)，φ→π，這三點(diǎn)又近似在一直線上，但點(diǎn)C

位于O和O'之間，即所謂圓盤的輕邊飛出，這種現(xiàn)象稱為自動(dòng)定心，也叫偏心轉(zhuǎn)向。只有當(dāng)ω＜＜

ωn時(shí)，φ→0

，這三點(diǎn)才近似在一直線上，O'點(diǎn)位于O和C之間，即所謂圓盤的重邊飛出。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，臨界轉(zhuǎn)速定義為：系統(tǒng)共振時(shí)發(fā)生主響應(yīng)的特征轉(zhuǎn)速，在這里就是使動(dòng)撓度取得極值的轉(zhuǎn)速，于是可利用條件（2-111）來確定臨界轉(zhuǎn)速，并以ωCr

表示。由（2-99）式得由此解得

（2-112）2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用可見外阻尼總使得轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速稍大于其橫向自然頻率，這在圖2-22中也可以看出，各曲線的峰值都偏在ω=

ωn

線的右邊，這一點(diǎn)應(yīng)特別注意。

圖2-22

轉(zhuǎn)子動(dòng)撓度的幅值-轉(zhuǎn)速曲線2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總存在一定阻尼，動(dòng)撓度不會(huì)無限大，但比一般轉(zhuǎn)速下的動(dòng)撓度大得多，足以造成轉(zhuǎn)子破壞，因此，工程上要嚴(yán)格避免轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近工作。可見，正確的臨界轉(zhuǎn)速分析計(jì)算，在轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)和處理實(shí)際問題中都很重要。對(duì)于小阻尼情況

:（2-113）

對(duì)于無阻尼的理想情況，即ζ=0

，在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，動(dòng)撓度r

將達(dá)到無限大。而相位角在臨界轉(zhuǎn)速之前為零，之后為π，即在臨界轉(zhuǎn)速前后有相位突變，O

、O'和C三點(diǎn)始終在一條直線上。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

為了形象地表示自動(dòng)定心（偏心轉(zhuǎn)向）及在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的相位差，把O、O'及C三點(diǎn)在不同轉(zhuǎn)速時(shí)的相對(duì)位置表示在圖2-24上。

圖2-24在不同轉(zhuǎn)速時(shí)的偏心位置2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用2.3.2振動(dòng)傳感器的基本原理

下面以慣性式傳感器的接收為例來討論振動(dòng)傳感器的基本原理。

機(jī)械接收部分：作用是將被測(cè)的機(jī)械量（如振動(dòng)位移、速度、加速度等）接收為另一個(gè)適合于機(jī)電變換的中間量。振動(dòng)傳感器組成部分機(jī)電變換部分:

將中間量變換為電量輸出。

振動(dòng)傳感器常用的機(jī)械接收原理相對(duì)式慣性式2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用圖2-25慣性傳感器的接收部分簡(jiǎn)化模型表示接收關(guān)系的相對(duì)振動(dòng)微分方程為（2-114）可改寫為

（2-115）其中

為傳感器底座完全剛性固定不動(dòng)時(shí)接收部分的自然頻率，也稱為“固定安裝共振頻率”，為接收部分的阻尼比。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

位移計(jì)型慣性接收（，）

設(shè)輸入的被測(cè)振動(dòng)的復(fù)數(shù)形式為

（2-116）

經(jīng)接收后輸出的相對(duì)振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為（2-117）代入（2-115）式，