系統(tǒng)開環(huán)頻率

15-3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性在系統(tǒng)的分析與綜合中有很重要的意義，本節(jié)通過示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（包括極坐標(biāo)圖和伯德圖）的繪制方法和步驟。自動(dòng)控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)組成，根據(jù)它們的基本特性，可以把系統(tǒng)分解成一些典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)，再按照串聯(lián)的規(guī)律將這些典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合起來得到整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。因此，將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的基本步驟。2一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性，典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性；如幅頻特性有漸近線，則根據(jù)開環(huán)頻率特性表達(dá)式的實(shí)部和虛部，求出漸近線；最后在G(jω)H(jω)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。3將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積（即串聯(lián)）的形式；如果存在轉(zhuǎn)折頻率，在ω軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率的坐標(biāo)位置；由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線；修正誤差，畫出比較精確的對數(shù)幅頻特性；畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。

二、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟4例5-1

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為5（1）極坐標(biāo)圖當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)ω由零增至無窮大時(shí)，幅值由K衰減至零，相角00變至-1800，且均為負(fù)相角。頻率特性與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為，交點(diǎn)坐標(biāo)是。其極坐標(biāo)圖如圖所示。

開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖[G]6（2)伯德圖

（a）對數(shù)幅頻特性

對數(shù)幅頻特性的漸近線有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率和，且，將它們在ω軸上標(biāo)出；

開環(huán)系統(tǒng)Bode圖

以C為起點(diǎn)，作斜率為-40dB/dec的斜線CD，ABCD即為對數(shù)幅頻特性的漸近線。

在縱坐標(biāo)上找到20lgK的點(diǎn)A，過A點(diǎn)作平行于橫軸的直線AB，平行線對應(yīng)放大環(huán)節(jié)的幅頻特性；

在處作ω軸的垂線,交AB于B點(diǎn)，從B點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點(diǎn)對應(yīng)轉(zhuǎn)折頻率，折線ABC對應(yīng)放大環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)疊加；（b）對數(shù)相頻特性分別畫出三個(gè)環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，將它們在縱軸方向上相加.7

例5-2

試?yán)L制傳遞函數(shù)為的對數(shù)幅頻特性。8解：有n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，對數(shù)幅頻特性應(yīng)是一條過橫軸上ω=1且斜率為-n×20dB/dec的直線。中分別含有一個(gè)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，當(dāng)不考慮KV和Ka的影響時(shí)，它們的對數(shù)幅頻特性應(yīng)是過ω=1且斜率分別為-20dB/dec和-40dB/dec的直線，如圖中虛線所示。

考慮到KV和Ka的作用兩條直線應(yīng)分別在縱軸方向上平移20lgKv和20lgKa分貝，即ω=1所對應(yīng)的坐標(biāo)值應(yīng)分別為20lgKv和20lgKa分貝。9設(shè)對數(shù)幅頻特性與零分貝線（橫軸）的交點(diǎn)頻率值分別為ωv和ωa由上兩式分別得到

由以上分析知，在繪制本例或含有與本例相同環(huán)節(jié)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性時(shí)，可用下述兩種方法之一進(jìn)行。ωv、ωa＝？10

方法一：系統(tǒng)（1），過ω=1點(diǎn)作橫軸的垂直線，過縱軸上20lgKv點(diǎn)作橫軸的平行線，兩條直線交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線即為所求；系統(tǒng)（2），過ω=1

點(diǎn)作橫軸的垂線，過縱軸上20lgKa點(diǎn)作橫軸的平行線，兩條直線交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線即為所求。

與的關(guān)系

與的關(guān)系

方法二：系統(tǒng)（1），在橫軸上找到頻率為ωV的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為－20dB/dec的直線即為所求；系統(tǒng)（2），在橫軸上找到頻率為ωa的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-40dB/dec的直線即為所求。11

反之，通過對數(shù)幅頻特性，也可以用上述兩種方法的逆過程，求出系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)Kv和Ka。對于含有一個(gè)或兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)（含有兩個(gè)以上積分環(huán)節(jié)的實(shí)際系統(tǒng)很少見），由于頻率特性的低頻段形狀主要由積分環(huán)節(jié)決定，因此，在繪制其對數(shù)幅頻特性或通過對數(shù)幅頻特性求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)時(shí)，可用上述兩種方法中的一個(gè)進(jìn)行。這在下面的示例中將得到進(jìn)一步應(yīng)用。12試?yán)L制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。解:

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為13（1）極坐標(biāo)圖

ω→0時(shí)，開環(huán)幅頻特性|G(jω)H(jω)|→∞。為使頻率特性曲線比較精確，還須求出漸近線。由開環(huán)頻率特性當(dāng)ω→0時(shí)有

limG（jω）H（jω）＝－2ζKvT－j∞

ω→0漸近線是一條與實(shí)軸交點(diǎn)為－2ζKVT

且垂直于實(shí)軸的直線，不同阻尼比的漸近線（虛線)及對應(yīng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖如下。14-0.3KvT0ReIm-KvT-1.7KvT-3.3KvT-0.6KvT0ω0ω0ω

例5－3極坐標(biāo)圖15（2）

伯德圖

（a）對數(shù)幅頻特性低頻段主要由積分環(huán)節(jié)和放大環(huán)節(jié)決定。轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，對數(shù)幅頻特性如圖所示，斜率為－20dB/dec的折線段在頻率為處穿過零分貝線直到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處轉(zhuǎn)折為斜率為-60dB/dec的線段（紅線所示）。當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，對數(shù)幅頻特性如綠色線所示.(b)相頻特性（1）和相頻特性（2）相加便得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（3）。注意：要根據(jù)阻尼比的值修正轉(zhuǎn)折頻率處的幅頻特性。

例5-3Bode圖12316解開環(huán)傳遞函數(shù)

由一個(gè)放大環(huán)節(jié)、一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，其對應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為

幅頻特性和相頻特性分別是例5-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。17（1）極坐標(biāo)圖由幅頻特性和相頻特性，當(dāng)和時(shí)的極限值分別為

例5-4極坐標(biāo)圖

，隨頻率增加，幅值衰減，相角滯后，系統(tǒng)具有低通性質(zhì)；，隨著頻率增加，幅值加大，相角趨前，系統(tǒng)具有高通性質(zhì)；，比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)作用相互抵消，系統(tǒng)只起放大作用。18

例5-4Bode圖三種情況下的伯德圖19解：開環(huán)頻率特性表達(dá)式若滯后時(shí)間常數(shù)很小可忽略不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻和相頻特性為

極坐標(biāo)圖和伯德圖分別如圖(a),(b)所示。當(dāng)滯后環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)較大不能忽略時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性由于不受影響，但相頻特性須加一滯后相角-57.3度，即極坐標(biāo)圖和伯德圖分別如圖(c),(d)所示。例5－5

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。20圖(b)例5-5Bode圖（無滯后環(huán)節(jié)）圖(a)例5-5極坐標(biāo)圖（無滯后環(huán)節(jié)）0-KvTReIm[GH]0ω21

圖(c)例5-5極坐標(biāo)圖（有滯后環(huán)節(jié)）

圖(d)例5-5Bode圖（有滯后環(huán)節(jié)）

比較圖(a)與(c)和圖(b)與(d)，由于滯后環(huán)節(jié)的影響，頻率特性的極坐標(biāo)圖和對數(shù)相頻特性曲線形狀在高頻段發(fā)生了顯著的變化，對系統(tǒng)的性能將產(chǎn)生很大的影響。22將頻率特性寫為實(shí)頻和虛頻特性，可知當(dāng)，有求曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)，令虛部為零，解得