第四章目標規(guī)劃

§4目標規(guī)劃§4目標規(guī)劃§4.1目標規(guī)劃問題及其數(shù)學模型§4.2目標規(guī)劃圖解法§4.3目標規(guī)劃的單純形法4.1目標規(guī)劃問題及其數(shù)學模型1.目標規(guī)劃問題的提出例1某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，受到原材料供應(yīng)和設(shè)備工時的限制。在單件利潤等有關(guān)數(shù)據(jù)已知的條件下，要求制訂一個獲利最大的生產(chǎn)計劃。具體數(shù)據(jù)見表。設(shè)產(chǎn)品I和II的產(chǎn)量分別為x1,x2；其線性規(guī)劃的數(shù)學模型為產(chǎn)品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060設(shè)備工時（h/件）4440利潤（元/件）68從線性規(guī)劃的角度來看，問題已經(jīng)得到了圓滿解決。但從工廠領(lǐng)導進行決策的立場上，問題沒有這么簡單，決策時還需要考慮一系列其他問題：假設(shè)計劃人員被要求考慮如下的意見：(1)由于產(chǎn)品Ⅱ銷售疲軟，故希望產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅰ的一半(2)最好能節(jié)約4h設(shè)備工時(3)計劃利潤不少于48元4.1目標規(guī)劃問題及其數(shù)學模型由此可知：計劃問題實際上一個多目標決策問題。由于需要用線性規(guī)劃來處理，所以計劃人員不得不從眾多目標要求中硬性地選擇其一，作為線性規(guī)劃的目標函數(shù)。線性規(guī)劃有最優(yōu)解的必要條件是其可行解集非空，即各約束條件彼此相容，而實際問題有時不能滿足這樣的要求。線性規(guī)劃并不是完美，在處理實際問題時，線性規(guī)劃存在著由其“剛性”本質(zhì)所注定的某些固有的局限性。4.1目標規(guī)劃問題及其數(shù)學模型現(xiàn)代決策強調(diào)定量分析和定性分析的結(jié)合，強調(diào)硬技術(shù)和軟技術(shù)的結(jié)合，強調(diào)矛盾和沖突的合理性，強調(diào)妥協(xié)和讓步的必要性，線性規(guī)劃無法勝任這些要求。4.1目標規(guī)劃問題及其數(shù)學模型1.目標規(guī)劃問題的提出

1961年，查思斯和庫柏提出目標規(guī)劃。目標規(guī)劃在處理實際決策問題時，承認各項決策要求的存在有其合理性；在作最終決策時，不強調(diào)其絕對意義上的最優(yōu)性。在一定程度上彌補了線性規(guī)劃的局限性，是一種較之線性規(guī)劃更接近于實際決策過程的決策工具。4.1目標規(guī)劃問題及其數(shù)學模型2.目標規(guī)劃數(shù)學模型涉及的基本概念

(1)偏差變量對每一個決策目標，引入正、負偏差變量d+和d-，分別表示決策值超過或不足目標值的部分。按定義有三種情況d+＞0，d-=0；d->0，d+=0；d+=0,d-=0。三種情況只能有一種實際發(fā)生，故d+×d-=0。

(2)絕對約束和目標約束

絕對約束是必須嚴格滿足的約束條件，線性規(guī)劃中的約束條件都是絕對約束。絕對約束是硬約束。目標約束是目標規(guī)劃特有的，是一種軟約束，目標約束中決策值和目標值之間的差異用偏差變量表示。絕對約束：5x1+10x2≤6048861121=-++-ddxx＋目標約束：

不同目標的主次輕重有兩種差別。一種是絕對的，用優(yōu)先因子Pl來表示。只有在高級優(yōu)先因子對應(yīng)的目標滿足的基礎(chǔ)上，才能考慮較低級優(yōu)先因子對應(yīng)的目標；在考慮低級優(yōu)先因子對應(yīng)的目標時，絕不允許違背已滿足的高級優(yōu)先因子對應(yīng)的目標。優(yōu)先因子間的關(guān)系為Pl>>Pl+1。另一種是相對的，這些目標具有相同的優(yōu)先因子，它們的重要程度用權(quán)系數(shù)的不同來表示。

(3)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)

(4)目標規(guī)劃的目標函數(shù)目標規(guī)劃的目標函數(shù)由各目標約束的偏差變量及相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)成。目標規(guī)劃追求的是盡可能接近各既定目標值，即各有關(guān)偏差變量盡可能小，所以其目標函數(shù)只能是極小化。應(yīng)用時，有三種基本表達式：1)要求恰好達到目標值。決策值超過或不足目標值都是不希望的，有min{f(d++d-)}

(4)目標規(guī)劃的目標函數(shù)

2)要求不超過目標值，但允許不足目標值。這時，不希望決策值超過目標值，因此有3)要求不低于目標值，但允許超過目標值。這時，不希望決策值低于目標值，因此有min{f(d+)}min{f(d-)}假設(shè)計劃人員被要求考慮如下的意見：(1)由于產(chǎn)品Ⅱ銷售疲軟，故希望產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅰ的一半(2)最好能節(jié)約4h設(shè)備工時(3)計劃利潤不少于48元特點：1.多目標;不超過、最好、不少于等。2.有一定的有限順序產(chǎn)品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060設(shè)備工時（h/件）4440利潤（元/件）682.目標規(guī)劃數(shù)學模型涉及的基本概念目標規(guī)劃的順序：先寫約束，再寫目標函數(shù)(1)由于產(chǎn)品Ⅱ銷售疲軟，故希望產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅰ的一半(2)原材料嚴重短缺，生產(chǎn)中應(yīng)避免過量消耗(3)最好能節(jié)約4h設(shè)備工時(4)計劃利潤不少于48元(5)目標規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式gk為第k個目標約束的預(yù)期目標值。W-lk和W+lk為Pl優(yōu)先因子對應(yīng)各目標的權(quán)系數(shù)已知某實際問題的線性規(guī)劃模型為假定重新確定這個問題的目標為:(1):Z的值應(yīng)不低于1900(2):資源1必須全部利用將此問題轉(zhuǎn)換為目標規(guī)劃問題，列出數(shù)學模型判斷下述說法是否正確?(1)目標規(guī)劃的數(shù)學模型應(yīng)同時包括絕對約束和目標約束。(2)正偏差變量應(yīng)取正值，負偏差應(yīng)取負值。4.2目標規(guī)劃的圖解法用圖解表示的偏差變量圖解法只能解決只有兩個決策變量的目標規(guī)劃問題，在用圖解法解目標規(guī)劃時，首先必須滿足所有絕對約束。在此基礎(chǔ)上，再按照優(yōu)先級從高到低的順序，逐個地考慮各個目標約束。968912ABDEF0CO968912063CDEF若優(yōu)先因子Pj對應(yīng)的解空間為Rj，則優(yōu)先因子Pj+1對應(yīng)的解空間只能在Rj中考慮。若Rj≠?，而Rj+1=?，則Rj中的解為目標規(guī)劃的滿意解，它只能保證滿足P1，P2，…，Pj級目標，而不保證滿足其后的各級目標。4.2目標規(guī)劃的圖解法圖解法解目標規(guī)劃解情況的討論：（1）最后一級目標的解空間非空。這時得到的解能滿足所有目標的要求。當解不惟一時，決策者在作實際決策時究競選擇哪一個解，完全取決于決策者自身的考慮。（2）所得到的解不能滿足所有目標。這時，我們要做的是尋找滿意解，使它盡可能滿足高級別的目標，同時又使它對那些不能滿足的較低級別目標的偏離程度盡可能地小。4.3目標規(guī)劃的單純形法目標規(guī)劃的單純形法求解的基本思路：在用單純形法解目標規(guī)劃時，檢驗數(shù)是各優(yōu)先因子的線性組合。在判別各檢驗數(shù)的正負及大小時，必須注意P1>>P2>>P3>>…。當所有檢驗數(shù)都已滿足最優(yōu)性條件(cj-zj≥0)時，從最終單純形表上就可以得到目標規(guī)劃的解。目標規(guī)劃的數(shù)學模型結(jié)構(gòu)與線性規(guī)劃的數(shù)學模型結(jié)構(gòu)形式上沒有本質(zhì)的區(qū)別，所以可用單純形法求解。但要根據(jù)目標規(guī)劃的特點，作以下規(guī)定：(1)

因目標規(guī)劃問題的目標函數(shù)都是求最小化，所以以cj?zj≥0，j=1,2,…，n作為最優(yōu)性判別準則。(2)因非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，即因為P1>>P2>>…>>PK檢驗數(shù)的正、負首先決定于P1的系數(shù)α1j的正、負；若α1j=0，則此檢驗數(shù)的正、負就決定于P2的系數(shù)α2j的正、負；依此類推。用單純形法求解目標規(guī)劃問題：用圖解法解下列目標規(guī)劃模型§4－4目標規(guī)劃應(yīng)用舉例解上