初中數(shù)學浙教版九年級下冊第2章直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系(j)

直線與圓的位置關系(三)1.如圖，AB是⊙O的弦，BC與⊙O相切于點B，連結OA，OB.若∠ABC＝65°，則∠A等于(B)A.20°B.25°C.35°D.75°(第1題)2.如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D.若OD＝2，tan∠OAB＝eq\f(1,2)，則AB的長是(C)(第2題)A.4B.2eq\r(,3)C.8D.4eq\r(,3)3.如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連結BD，AD.若∠ACD＝30°，則∠DBA的大小是(D)A.15°B.30°C.60°D.75°(第3題)4.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的切線與AB的延長線交于點P，連結AC.若∠A＝30°，PC＝3，則BP的長為eq\r(3).(第4題)(第5題)5.如圖，半圓O與等腰直角三角形ABC的兩腰CA，CB分別切于D，E兩點，直徑FG在AB上.若BG＝eq\r(2)－1，則△ABC的周長為4＋2eq\r(2).(第6題)6.如圖，⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點，OB交⊙O于點A，AB＝OA.一動點P從點A出發(fā)，以πcm/s的速度在⊙O上按逆時針方向運動一周回到點A停止，則當點P的運動時間為1或5s時，BP與⊙O(第7題)7.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連結BE.(1)若∠C＝30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線.(2)若BE＝eq\r(3)，BD＝1，求△DEC外接圓的直徑.【解】(1)∵DE垂直平分AC，∴∠DEC＝90°，AE＝CE，∴DC為△DEC外接圓的直徑.(第7題解)取DC的中點O，連結OE，如解圖.∵∠ABC＝90°，∴BE為Rt△ABC斜邊上的中線，∴EB＝EC.∵∠C＝30°，∴∠EBC＝30°，∠EOB＝2∠C＝60°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BE.∵OE為⊙O的半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線.(2)∵BE為Rt△ABC斜邊上的中線，∴AE＝CE＝BE＝eq\r(3)，∴AC＝2eq\r(3).∵∠ECD＝∠BCA，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴△CED∽△CBA，∴eq\f(CE,CB)＝eq\f(CD,CA).∵CB＝CD＋BD＝CD＋1，∴eq\f(\r(3),CD＋1)＝eq\f(CD,2\r(3))，解得CD＝2或CD＝－3(舍去).∴△DEC外接圓的直徑為2.8.如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于點T，連結AT，AC⊥PQ于點C，交⊙O于點D.(1)求證：AT平分∠BAC.(2)若AO＝2，AT＝2eq\r(3)，求AC的長.(第8題)【解】(1)連結OT，如解圖.(第8題解)∵PQ是⊙O的切線，∴OT⊥PQ.∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠OTA.∵OT＝OA，∴∠OTA＝∠OAT，∴∠TAC＝∠OAT，∴AT平分∠BAC.(2)連結BT，如解圖.∵AB為直徑，AC⊥PQ，∴∠ATB＝∠ACT＝90°.又∵∠BAT＝∠TAC，∴△ABT∽△ATC，∴eq\f(AT,AC)＝eq\f(AB,AT)，即eq\f(2\r(3),AC)＝eq\f(2×2,2\r(3))，∴AC＝3.9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為(A)A.eq\f(13,3)B.eq\f(9,2)C.eq\f(4,3)eq\r(13)D.2eq\r(,5)【解】連結OD，OE，OF，ON，OG.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.又∵OE＝OF＝OG，∴四邊形AFOE，四邊形FBGO都是正方形.∴AF＝BF＝AE＝BG＝2.∵AD＝5，∴DE＝3.∵DM是⊙O的切線，∴∠OND＝90°.在Rt△ODN與Rt△ODE中，∵OD＝OD，ON＝OE，∴Rt△ODN≌Rt△ODE(HL).∴DN＝DE＝3.同理，MN＝MG.∴CM＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，∵DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝(3－MN)2＋42，∴MN＝eq\f(4,3).∴DM＝3＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,3).(第9題)(第10題)10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4eq\r(3).若動點D在線段AC上(不與點A，C重合)運動，過點D作DE⊥AC交AB邊于點E.(1)當點D運動到線段AC的中點時，DE＝eq\r(3).(2)若點A關于點D的對稱點為點F，以FC為半徑作⊙C，當DE＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(3\r(3),2)時，⊙C與直線AB相切.【解】(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4eq\r(3)，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(3)，AC＝6.∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∵D為AC的中點，∴E為AB的中點，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).(2)過點C作CH⊥AB于點H.又∵∠A＝30°，AC＝6，∴CH＝3.分為兩種情況：①如解圖①.∵CF＝CH＝3，∴AF＝6－3＝3.∵點A和點F關于點D對稱，∴AD＝DF＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(3,2).∵DE⊥AC，∠A＝30°，∴DE＝AD·tan30°＝eq\f(\r(3),2).(第10題解①)(第10題解②)②如解圖②.同理可得DE＝eq\f(3\r(3),2).(第11題)11.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，O是斜邊AB上一點，以點O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E.(1)當AC＝2時，求⊙O的半徑.(2)設AC＝x，⊙O的半徑為y，求y關于x的函數(shù)表達式.【解】(1)連結OE，OD.∵AC＝2，AC＋BC＝8，∴BC＝6.∵以點O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，∠C＝90°，∴四邊形OECD是正方形，∴OD∥BC.∴tanB＝tan∠AOD＝eq\f(AD,OD)＝eq\f(2－OD,OD)＝eq\f(1,3)，解得OD＝eq\f(3,2).∴⊙O的半徑為eq\f(3,2).(2)∵AC＝x，∴BC＝8－x，∴tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(x,8－x)，tan∠AOD＝eq\f(AD,OD)＝eq\f(x－y,y)，∴eq\f(x,8－x)＝eq\f(x－y,y)，∴y＝－eq\f(1,8)x2＋x.12.如圖①，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC.(第12題)(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由.(2)如圖②，若線段AB，DE的延長線交于點F，∠C＝75°，CD＝2－eq\r(3)，求⊙O的半徑和BF的長.【解】(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：(第12題解①)如解圖①，連結OE.∵DE是⊙O的切線，∴OE⊥DE.∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠OEB＝∠C.∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠B，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形.(第12題解②)(2)如解圖②，過點O作OG⊥AC于點G，連結OE，則四邊形OGDE是矩形.∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠A＝180°－75°－75°＝30°.設OG＝x，則DG＝OE＝OB＝OA＝2x，AG＝eq\r(3)x.∵AB＝AC，∴4x＝eq\r(3)x＋2x＋2－eq\r(3)，解得x＝1.∴OE＝OB＝2，即⊙O的半徑為2.在Rt△OEF中，∵∠EOF＝∠A＝30°，∴OF＝eq\f(OE,cos∠EOF)＝2÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3)，∴BF＝OF－OB＝eq\f(4\r(3),3)－2.13.如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D，A分別作⊙O的切線交于點G，并與AB的延長線交于點E.(第13題)(1)求證：∠1＝∠2.(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半徑為3，求AG的長.【解】(1)連結OD.∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，即∠2＋∠ODC＝90°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°.∵OC⊥OB，∴∠C＋∠CFO＝90°.∴∠2＝∠CFO.又∵∠1＝∠CFO，∴∠1＝∠2.(2)∵OF∶OB＝1∶3，⊙O的半徑為3，∴OF＝1.∵∠1＝∠2，∴EF＝DE.設DE＝x，則EF＝x，OE＝x＋1.在Rt△ODE中，∵OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4.∴DE＝4，OE＝5.∵AG為⊙O的切線，∴AG⊥AE，∴∠GAE＝90°＝∠ODE.又∵∠OED＝∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴eq\f(DO,AG)＝eq\f(DE,AE)，即eq\f(3,AG)＝eq\f(4,3＋5)，∴AG＝6.14.如圖，射線QN與等邊三角形ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經(jīng)過t(s)，以點P為圓心，eq\r(3)cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點在邊上)，請寫出t可取的一切值：t＝2或t＝8或3≤t≤7(單位：s).(第14題)【解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝AM＋MB＝4cm，∠A＝∠C＝∠B＝60°，∴△ABC的高線長為2∵QN∥AC，AM＝BM，∴N為BC的中點，∠BMN＝∠BNM＝∠C＝∠A＝60°，∴MN＝eq\f(1,2)AC＝2cm，∴△BMN的高線長為eq\r(3)cm，∴MN與AC間的距離為2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3)(cm).分為三種情況：①如解圖①.(第14題解①)當⊙P切AB于點M′時，連結PM′，則PM′＝eq\r(3)cm，∠PM′M＝90°.∵∠PMM′＝∠BMN＝60°，∴M′M＝1cm，PM＝2MM′＝∴QP＝4－2＝2(cm)，即t＝2.②如解圖②.(第14題解②)當⊙P切AC于點A時，連結PA，則∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝eq\r(3)cm，∴PM＝1cm，∴QP＝4－1＝3(cm