曲線積分-曲面積分-矢量分析初步-習(xí)題課

第九章曲線積分曲面積分矢量分析初步習(xí)題課1湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場(chǎng)論初步

一、主要內(nèi)容2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院曲線積分曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)算三代一定二代一定(與方向有關(guān))4湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題5湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計(jì)算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))6湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院積分概念的聯(lián)系定積分二重積分8湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院曲面積分曲線積分三重積分曲線積分9湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院計(jì)算上的聯(lián)系10湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院其中11湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式12湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式13湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系或推廣推廣14湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院梯度通量旋度環(huán)流量散度（三）場(chǎng)論初步15湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、典型例題1.基本方法曲線積分第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終(一)、曲線積分的計(jì)算法16湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧17湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例1.計(jì)算其中為曲線解:利用輪換對(duì)稱性,有利用重心公式知(的重心在原點(diǎn))18湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例2.計(jì)算其中L是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a為半徑的上半圓周.19湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解法2

它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計(jì)算下述積分:(1)若L改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段20湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院思考題解答:(1)(2)21湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院思路:閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線或用公式22湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解23湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解(如下圖)24湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院25湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院曲面面積的計(jì)算法SDxy26湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院曲頂柱體的表面積如圖曲頂柱體，27湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解由對(duì)稱性28湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院29湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(二)、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面30湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院思考題1)二重積分是哪一類積分?答:第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問下列等式是否成立?

不對(duì)!對(duì)坐標(biāo)的積分與的側(cè)有關(guān)31湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2.基本技巧(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化32湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例6解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系33湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院34湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院向量點(diǎn)積法35湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例7解利用向量點(diǎn)積法36湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院37湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解(如下圖)38湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院39湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院40湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例9.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡(jiǎn)單閉曲面,a

為任意固定向量,n為的41湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例10.計(jì)算曲面積分其中,解:思考:本題改為橢球面時(shí),應(yīng)如何計(jì)算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.42湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例11.設(shè)是曲面解:取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計(jì)算則43湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式計(jì)算,得44湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例12.計(jì)算曲面積分中是球面解:利用對(duì)稱性用重心公式45湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例13.設(shè)L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時(shí)針方向,計(jì)算解:記為平面上

L所圍部分的上側(cè),D為在xoy面上的投影.由斯托克斯公式46湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院D的形心47湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院測(cè)驗(yàn)題48湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院