過程控制系統(tǒng)及其應(yīng)用(第五章)

第五章過程控制對象的動(dòng)態(tài)特性

過程控制系統(tǒng)是根據(jù)被控制對象的特性和控制要求，選配合適的過程檢測與控制儀表所組成。在過程控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，主要的依據(jù)是被控對象的特性。所以必須了解被控對象的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性及控制要求才能實(shí)施控制方案的制定、儀表的選型以及系統(tǒng)參數(shù)的整定。在過程控制中，被控對象是指正在運(yùn)行中的各種生產(chǎn)設(shè)備，例如換熱器、蒸汽鍋爐、蒸餾塔等等。而被調(diào)參數(shù)通常是指溫度、壓力、液位、流量等。概述數(shù)學(xué)模型：當(dāng)某種形式的擾動(dòng)作用于被控對象，引起對象的輸出發(fā)生相應(yīng)的變化。這種變化在時(shí)域或頻域上用微分方程或傳遞函數(shù)進(jìn)行描述，稱為被控對象的數(shù)學(xué)模型，用來反映對象的特性，特別是動(dòng)態(tài)特性。線性化：

實(shí)際的被控對象的動(dòng)態(tài)特性或多或少都具有非線性的特點(diǎn)，這將使得對象的數(shù)學(xué)模型及分析處理變得復(fù)雜。為了分析和處理的方便，在研究對象的特性時(shí)，在一定的條件下對模型進(jìn)行簡化，而簡化的模型亦能正確地表征對象的特征。例如當(dāng)輸出與輸入變量在預(yù)定工作點(diǎn)附近的變化范圍很小，就可以進(jìn)行線性化，見圖5-1，將工作點(diǎn)的切線代替原曲線。以工作點(diǎn)處的增量作變量，則可得近似方程上式常

稱為線性化增量方程。被控制對象：是指正在運(yùn)行的各種生產(chǎn)設(shè)備。常見的被控對象，其中有一個(gè)輸出量y而有多個(gè)外作用量,……通常選一個(gè)容易被控制而又直接影響對象動(dòng)態(tài)特性的外作用量作為控制作用，即控制器輸出量x，常稱其為過程的“內(nèi)部擾動(dòng)”或“基本擾動(dòng)”。其余的外作用信號均可看作擾動(dòng)作用，統(tǒng)稱為“外部擾動(dòng)”。被控量y與輸入控制作用x的信號聯(lián)系稱為“控制通道”，被控量y與擾動(dòng)d的信號聯(lián)系稱為“干擾通道”。要達(dá)到的控制效果，即內(nèi)部擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)特性，要求合理選擇控制方案和整定調(diào)節(jié)參數(shù)。以鍋爐水位控制系統(tǒng)為例，給水流量和蒸汽流量變化都會(huì)引起水位的變化。給水流量變化可以用控制閥控制，表現(xiàn)為控制作用，即為內(nèi)部擾動(dòng)。蒸汽流量變化則由“用戶”要求所決定，系統(tǒng)本身無法控制，表現(xiàn)為干擾作用，即外部干擾。而給水流量變化引起鍋爐水位變化的對象特性即控制通道特性，蒸汽流量變化引起的鍋爐水位變化的對象特性即干擾通道特性

當(dāng)被控對象的被控量多于一個(gè)，且輸入量也多于一個(gè)，為,……及x1,x2……xn時(shí)，則稱為多輸入多輸出對象圖5-3多輸入多輸出對象及其信號通道示意圖多輸入多輸出對象若一個(gè)輸入量只對一個(gè)被控量起控制作用時(shí)，則各個(gè)控制通道互相獨(dú)立，這時(shí)可對各個(gè)控制通道單獨(dú)分析動(dòng)態(tài)特性。

本章討論的被控對象僅限于線性對象或線性化的對象，并且只有一個(gè)控制通道的被控對象的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)一個(gè)輸入量同時(shí)影響兩個(gè)或兩個(gè)以上的被控量，即被控量之間有一定關(guān)聯(lián)時(shí)，則必須要求各控制器能協(xié)調(diào)地工作或采用解耦控制來解除被控量相互間的影響。第一節(jié)有自平衡對象的動(dòng)態(tài)特性

自平衡對象：當(dāng)對象受到干擾作用，平衡狀態(tài)被破壞后，不需要外加任何控制作用，能依靠對象自身達(dá)到新的平衡狀態(tài)的能力稱為自平衡能力。這是一種自然形成的負(fù)反饋。過程控制對象有無自平衡能力，決定于對象本身的結(jié)構(gòu)，并與生產(chǎn)過程的特性有關(guān)。例：見圖5-4所示水箱液位對象，其液體流入量為，改變控制閥的開度x可以改變的大小。液位流出量為，它可根據(jù)需要通過負(fù)載閥來改變。液位h代表水箱中貯存液位的數(shù)量，它的變化反映了液體流入量與流出量不等而引起水箱中蓄水或泄水的過程。當(dāng)水的流入量與流出量相等時(shí)，水位保持不變。當(dāng)控制閥突然開大，水的流入量階躍增多，水位開始上升，隨著水位的升高，水箱內(nèi)液體的靜壓力增大，則水的流出量也隨之增多，最終會(huì)使流出量再次等于流入量，水位就在新的平衡位置穩(wěn)定下來。一、單容對象的動(dòng)態(tài)特性所謂單容對象是指只有一個(gè)儲蓄容量的對象。單容水箱見圖5-4所示，不斷有水通過控制閥流入水箱，同時(shí)不斷有水從水箱由負(fù)載閥流出。假如水箱高度無限大,根據(jù)物料平衡關(guān)系，在任何時(shí)刻液體流出量變化時(shí)，就會(huì)引起水箱中蓄水或泄水的過程，即設(shè)：A—水箱橫截面積；

V—水箱液體體積。

圖5-4單容對象一段時(shí)間內(nèi)，液體流出量與流入量不相等，當(dāng)水箱面積一定時(shí)，將引起水位的變化。

將式（5-1）改寫為（5-2）這時(shí)水位維持在一個(gè)定值。

當(dāng)擾動(dòng)發(fā)生后，各個(gè)量都將偏離平衡時(shí)的穩(wěn)態(tài)值，可以以增量形式表示這種偏離程度，即（5-4）

由式（5-2）、（5-3）與式（5-4），得

（5-5）

這是增量形式的方程，表示單容水箱在某一靜態(tài)工作點(diǎn)附近的物料平衡關(guān)系。

設(shè)流入量的變化與控制閥的開度變化有關(guān)，即（5-6）式中kx是決定于閥門的比例系數(shù)，可假設(shè)為常數(shù)。

該流出量Qo是隨液位h的變化而變化的，h越高，出口靜壓越大，流出量Qo也越大。流出量與液位關(guān)系可表示為（5-7）

可見流出量與液位h成非線性關(guān)系。若只考慮水位在其工作點(diǎn)ho附近不大的范圍內(nèi)變化，則可進(jìn)行線性化處理，將式（5-7）泰勒級數(shù)展開后取一次項(xiàng)，得增量方程為

（5-8）

式中k是與負(fù)載閥開度有關(guān)的系數(shù)，在固定不變的開度下，k可視為常數(shù)。這樣流出量變化與液位變化呈線性關(guān)系。令，則式（5-8）可寫為（5-9）或（5-10）

稱為流阻，是使產(chǎn)生單位流出量變化時(shí)，所需的液位變化量。將式（5-6）、（5-8）、（5-10）代入式（5-5），可得寫成一般形式或（5-11）

式中C—液容，C=A；T—對象的時(shí)間常數(shù)，；K—對象的放大系數(shù)，。

式（5-11）表明單容對象是一階對象。將式（5-11）經(jīng)拉氏變換后，可得對象的傳遞函數(shù)為:（5-12）

在過程控制中，分析各種對象動(dòng)態(tài)特性最常用的方式是階躍信號輸入時(shí)的響應(yīng)?？梢杂猛蝗患哟罂刂崎y的開度，施加階躍擾動(dòng)。解式（5-11）可得單容對象的階躍響應(yīng)為（5-13）

其曲線見圖5-5所示，單容對象的階躍響應(yīng)是指數(shù)曲線，與放大系數(shù)K和時(shí)間常數(shù)T有關(guān)。圖5-5單容對象的階躍響應(yīng)曲線（一）放大系數(shù)K

對象輸出量達(dá)到新穩(wěn)態(tài)值時(shí)，輸出量的變化值與輸入量的變化值之比，稱為對象的放大系數(shù)。以上例水箱液位對象為例，解式（5-13）可得所謂，即是水位經(jīng)過很長時(shí)間后，不再變化。如果把水箱看作一個(gè)環(huán)節(jié)，閥門這好比輸入量變化值經(jīng)水箱這個(gè)環(huán)節(jié)后放大了K倍而成為輸出量的變化值。因此對象放大系數(shù)可表示為而達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)開度△X作為輸入量，它的輸出量即水位變化量（5-14）

由于放大系數(shù)K是不隨時(shí)間變化的，只與被控量的變化起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，故放大系數(shù)是對象的靜態(tài)特性參數(shù)。特別注意，對象的輸入與輸出不一定是同一個(gè)物理量，其量綱也不盡相同。若輸入與輸出均以變化值的百分?jǐn)?shù)表示，則K為一個(gè)無因次的比值，這樣的表示方法對分析問題比較簡單。（二）時(shí)間常數(shù)T時(shí)間常數(shù)Ｔ是指被控量保持起始速度不變而達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所經(jīng)歷的時(shí)間?？梢詮膱D5-5中的響應(yīng)曲線的起始點(diǎn)作切線，與新穩(wěn)態(tài)值線相交，其交點(diǎn)與起始點(diǎn)之間的時(shí)間間隔即為時(shí)間常數(shù)T。當(dāng)時(shí)，響應(yīng)曲線，利用此關(guān)系，也可測量時(shí)間常數(shù)T，即被控量從開始變化到穩(wěn)態(tài)值63.2%所需的時(shí)間即為時(shí)間常數(shù)T。

從式（5-13）可知，時(shí)間常數(shù)T反映了對象在擾動(dòng)作用后，被控量變化的快慢程度。T越大，表征被調(diào)參數(shù)完成其變化過程所需的時(shí)間越長，表明對象的慣性越大。故時(shí)間常數(shù)是對象的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。時(shí)間常數(shù)是由流阻和容量決定的動(dòng)態(tài)參數(shù)，具有時(shí)間量綱。（三）流阻和容量C對特性的影響在推導(dǎo)微分方程中，已經(jīng)得到放大系數(shù)K和時(shí)間常數(shù)T與流阻和容量C之間的關(guān)系。重寫如下：

（5-15）

從式（5-15）中可以看出，流阻不但影響T，還影響K。而容量C僅影響T，而不影響K。圖5-6流阻對動(dòng)態(tài)特性的影響圖5-7容量C對動(dòng)態(tài)特性的影響

流阻對動(dòng)態(tài)特性的影響見圖5-6所示。

設(shè)原來的響應(yīng)過程為曲線①，它是當(dāng)負(fù)載閥處于某一個(gè)開度下，水箱表現(xiàn)出的動(dòng)態(tài)特性。如果用水量（即負(fù)荷）變大，因而負(fù)載閥處于比原來更大的開度，這時(shí)液位的響應(yīng)過程是圖5-6中的曲線②。這是因?yàn)樨?fù)載閥開度大了，它的阻力減小了，那么根據(jù)式(5-9)關(guān)系，水位只需改變一點(diǎn)兒就能引起輸出量較大變化，最后變化量就要小一些。也就是說，當(dāng)比較小時(shí)，只需較小一些變化，就可以使有較大變化而達(dá)到與輸入量流入量相等的數(shù)值，從而使水位最后穩(wěn)定下來。從式（5-15）可見，減小后，放大系數(shù)K跟著減小，在圖5-6中。另外從式（5-13）可得：

可見，水位起始速度與阻力Ro大小無關(guān)。因此，當(dāng)Ro比較小時(shí)，盡管水位起始變化速度還和原來一樣，但因水位最終變化量減小了，所以響應(yīng)過程時(shí)間也變短了，其時(shí)間常數(shù)由T1減小到T2，見圖5-6。一般說來，希望對象的阻力小些，則時(shí)間常數(shù)較小，響應(yīng)較快，容易獲得較好的控制效果。但有時(shí)也不希望阻力太小，以免響應(yīng)過程過于靈敏，反而造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

容量C表示被控對象儲存物質(zhì)或能量的能力大小，又稱為容量系數(shù)。在液位對象中，其物理意義是產(chǎn)生單位液位變化時(shí)，所需對象儲存液體的變化量，即

（5-16）從式（5-15）可以看出，改變?nèi)萘肯禂?shù)C可以影響時(shí)間常數(shù)T。圖5-7表示了容量C對動(dòng)態(tài)特性的影響。如果原來水位響應(yīng)過程為曲線1，其時(shí)間常數(shù)為，隨著容量系變成，見圖5-7中曲線2也變大，水位變化速度變小，響應(yīng)從上面討論中可知，改變設(shè)備結(jié)構(gòu)（即容量系數(shù)）可以改變對象的動(dòng)態(tài)特性；負(fù)荷變化（即流阻變化）也會(huì)改變對象的動(dòng)態(tài)特性，或者說，在不同負(fù)荷下對象的動(dòng)態(tài)特性是不同的。后一點(diǎn)在設(shè)計(jì)和整定控制系統(tǒng)中應(yīng)特別注意。數(shù)增大，那么它的慣性過程時(shí)間變長，其時(shí)間常數(shù)由二、多容對象的動(dòng)態(tài)特性

由多個(gè)容積和阻力構(gòu)成的被控對象稱為多容對象。多容對象的動(dòng)態(tài)特性以兩個(gè)串連的單容對象構(gòu)成的雙容對象比較典型?，F(xiàn)以圖5-8所示的雙容對象進(jìn)行討論。與單容對象的分析方法相同，根據(jù)物料平衡關(guān)系可以得出下列方程：

式中各變量前加△符號表示增量。消去上式中間變量后可得：

式中—第一容積的流阻；

—第二容積的的流阻；

—第一容積的時(shí)間常數(shù)，；

—第二容積的時(shí)間常數(shù)，；

K—對象的放大系數(shù)，；

、—兩個(gè)容積的斷面積，也就是兩個(gè)水箱的容量系數(shù)、。圖5-8雙容過程及其響應(yīng)曲線a)雙容對象b)響應(yīng)曲線雙容對象寫成傳遞函數(shù)為或(5-17)

從圖5-8中可見，當(dāng)控制閥突然加大開度，即流量加一階躍變化時(shí)，流體先經(jīng)過前置水箱1再進(jìn)入水箱2。由于多了一個(gè)容積，水位表現(xiàn)出來的響應(yīng)特性就不同于單容水箱。響應(yīng)過程在時(shí)間上落后一步，響應(yīng)曲線呈現(xiàn)S形，見圖5-8b）所示。多容過程的特點(diǎn)是受到擾動(dòng)后，被控量的變化速度開始變化比較緩慢，而要經(jīng)過一段延遲時(shí)間以后響應(yīng)速度才能達(dá)到最大，這段滯后時(shí)間主要是對象容量增加和容積之間存在阻力所造成的。所以稱為“容量滯后”或“容量延遲”。通常用表示。容量滯后可以通過作圖法求得。通過的S型響應(yīng)曲相交于C，與時(shí)的投影為B，則AB近似表示過程的等效時(shí)間常數(shù)。線的拐點(diǎn)D作切線，與穩(wěn)態(tài)值

交于A。用0A近似表示容量滯后時(shí)間間軸相。而C點(diǎn)在時(shí)間軸

對于內(nèi)部擾動(dòng)作用下，雙容對象的階躍響應(yīng)曲線中容積滯后的存在，對調(diào)節(jié)過程影響很大，它意味著控制過程的不及時(shí)。所以也是表征控制對象特征的一個(gè)重要參數(shù)。因此對于雙容對象，需要用，和K三個(gè)參數(shù)來表征它的性）串聯(lián)構(gòu)成。即

能。有時(shí)可將響應(yīng)曲線近似的看作是由一個(gè)等效純滯后環(huán)節(jié)及一個(gè)等效單容對象（等效時(shí)間常數(shù)為

容量滯后是多容對象的主要特征。構(gòu)成的對象串聯(lián)容積愈多，容量滯后愈大。圖5-9所示為1~5個(gè)儲存容積串聯(lián)對象的階躍響應(yīng)曲線。它們?nèi)匀怀蒘形，都可以用，和K三個(gè)參數(shù)來表征。

多容對象的傳遞函數(shù)一般表示為（5-18）

由于多容對象的分析計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，為了簡便計(jì)算,一般采用等容環(huán)節(jié)的串聯(lián)來近似n階多容對象，即設(shè)，這時(shí)是傳遞函數(shù)可寫為（5-19）圖5-9多容對象階躍響應(yīng)曲線三、具有純滯后對象的動(dòng)態(tài)特性還有當(dāng)物質(zhì)或能量沿著一條特定的路徑傳輸時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)滯后，稱為“純滯后”或“傳輸滯后”，用表示。

純滯后是由路徑長度和運(yùn)動(dòng)速度兩個(gè)因素所構(gòu)成，即

在被控對象中，所謂滯后是指被控參數(shù)開始變化的時(shí)間落后于擾動(dòng)。單容對象的時(shí)間常數(shù)具有類似滯后性質(zhì)，一般稱為“慣性滯后”；對多容對象，還有附加的“容量滯后”；純滯后的量綱是時(shí)間。圖5-10a)是一個(gè)具有純滯后的單容水箱液位控制。被控對象本身是一個(gè)單容水箱，它的階躍響應(yīng)曲線見圖5-10b)中的虛線1所示。由于控制閥安裝在距離水箱較遠(yuǎn)的地方，則當(dāng)控制閥開度變化而產(chǎn)生擾動(dòng)后，水要經(jīng)過較長的通道才流入水箱，即需要經(jīng)過一段傳輸時(shí)間才會(huì)使流量Q2也跟著變化并開始對水位發(fā)生影響。因此水位的實(shí)際階躍響應(yīng)過程見圖5-10b)中實(shí)線2。它等于曲線1向右平移一個(gè)距離τ0。圖5-10純滯后單容對象及響應(yīng)曲線a)純滯后單容對象b)響應(yīng)曲線具有純滯后單容對象的微分方程為其傳遞函數(shù)為

（5-20）

若是多容對象既有純滯后又有容積滯后，在近似處理來表示，即。這樣的對象其動(dòng)態(tài)特性仍然用，TC和中，常把兩種滯后加在一起，稱為“滯后”或“延遲”，用K三個(gè)參數(shù)來表征。

有純滯后的雙容對象的傳遞函數(shù)可表示為（5-21）

多容對象的傳遞函數(shù)一般表示為（5-22）

n階等容對象的傳遞函數(shù)為（5-23）

對象的純滯后特性給自動(dòng)控制帶來極為不利的影響，例如測量或傳輸造成的純滯后都將引起控制的不及時(shí)，降低控制質(zhì)量，故在實(shí)現(xiàn)過程控制的工作中總是盡量把它消除或減到最小。第二節(jié)無自平衡能力對象的動(dòng)態(tài)特性

一、單容對象的動(dòng)態(tài)特性當(dāng)對象受到干擾作用后，平衡狀態(tài)被破壞，不能依靠它自身能力達(dá)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)，稱為無自平衡能力。以單容水箱為例，將上節(jié)單容水箱的出口閥換成定量泵，見圖5-11a)。由于定量泵流出量與水箱的液位無關(guān)。當(dāng)進(jìn)水控制閥的開度變化，引起液位變化，而流出量不變，所以水箱內(nèi)的液位或者逐漸上升直至液體溢出，或者逐漸下降直至液體抽干，其階躍響應(yīng)曲線見圖5-11b）所示。因此，無自平衡過程在沒有自動(dòng)控制的情況下，不允許長時(shí)間無人照管。圖5-11無自平衡能力單容過程及其階躍響應(yīng)曲線

下面來分析無自平衡能力的單容對象動(dòng)態(tài)特性。對于圖5-11，其微分方程由物料平衡關(guān)系可寫為或若寫成可見這是一個(gè)積分過程。寫成傳遞函數(shù)為

（5-24）

式中—過程積分時(shí)間常數(shù)。

當(dāng)對象具有純滯后時(shí)，其傳遞函數(shù)為（5-25）二、雙容對象的動(dòng)態(tài)特性圖5-12a)中有上下二個(gè)容器，如果下面容器的流出閥為定量泵，則下容器流出量的變化量，就成為無自平衡能力的雙容對象。當(dāng)控制閥發(fā)生擾動(dòng)，上容器流入量產(chǎn)生階躍變化時(shí)，上容器流出量也產(chǎn)生變化，而下容器液位變化量為，其開始變化的起始變化速度較低，經(jīng)過一段時(shí)間后達(dá)到最大變化速度，這是多容對象的特性所決定的。響應(yīng)曲線見圖5-12b)。圖5-12無自平衡能力雙容過程及其階躍響應(yīng)曲線a)無自平衡能力雙容過程b)階躍響應(yīng)曲線根據(jù)物料平衡關(guān)系，可寫出雙容對象的動(dòng)態(tài)特性方程為消去中間變量可得或式中—時(shí)間常數(shù)，—積分時(shí)間常數(shù)，其傳遞函數(shù)為（5-26）

若對象含有純滯后，則傳遞函數(shù)為（5-27）

同理對于無自平衡能力的n階等容對象的傳遞函數(shù)為（5-28）

以及當(dāng)對象含有純滯后時(shí)，傳遞函數(shù)為

（5-29）

了解對象的特性和生產(chǎn)過程的特點(diǎn)是十分重要的，要使設(shè)計(jì)和投運(yùn)的控制系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期效果，就必須研究對象特性。根據(jù)不同對象的特征，選擇合適的控制系統(tǒng)和合適的控制規(guī)律并正確地整定控制器的參數(shù)。這就是分析和了解對象動(dòng)態(tài)特性的目的。第三節(jié)時(shí)域法辨識對象的動(dòng)態(tài)特性

前面已經(jīng)介紹過，只有掌握好被控對象的特性，才能夠正確地設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，正確選擇控制器的控制規(guī)律和參數(shù)，使控制器動(dòng)作與被控對象特性配合，從而獲得良好的控制質(zhì)量。由于工業(yè)生產(chǎn)過程都不是簡單的控制對象，根據(jù)被控對象的機(jī)理直接推導(dǎo)出對象的動(dòng)態(tài)特性是困難的，有些甚至是不可能的。因此可以采用試驗(yàn)的方法來測出對象的動(dòng)態(tài)特性。常用的測試方法有1）響應(yīng)曲線法，它主要用階躍試驗(yàn)或脈沖試驗(yàn)，根據(jù)響應(yīng)曲線，用幾何方法確定對象的動(dòng)態(tài)參數(shù)。2）頻率法，用頻率域方法來描述對象的動(dòng)態(tài)特性,目前已研究出多種求對象頻率特性的方法。3）統(tǒng)計(jì)法，用偽隨機(jī)信號測試，采用相關(guān)技術(shù)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法測試出對象的動(dòng)態(tài)特性。

由于用響應(yīng)曲線法測取對象動(dòng)態(tài)特性不需要專門的信號裝置，方法簡單，現(xiàn)場容易實(shí)現(xiàn)和控制，所以在單輸入單輸出系統(tǒng)的分析中，一直應(yīng)用這種方法。本節(jié)將介紹在階躍擾動(dòng)或矩形脈沖擾動(dòng)作用下對象的動(dòng)態(tài)特性，據(jù)此分析過程控制對象的特點(diǎn)，并介紹試驗(yàn)的方法及根據(jù)特性響應(yīng)曲線確定動(dòng)態(tài)參數(shù)和傳遞函數(shù)的方法。一、階躍響應(yīng)曲線的測定（一）階躍擾動(dòng)法當(dāng)對象處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，對輸入量施加一個(gè)階躍擾動(dòng)，并保持不變，測定其輸出量隨時(shí)間而變化的曲線稱為階躍響應(yīng)曲線，見圖5-13所示，這種方法前面已經(jīng)作了介紹。測取階躍響應(yīng)的原理很簡單，但實(shí)際測量時(shí)應(yīng)注意以下事項(xiàng)：

(1)合理地選擇階躍擾動(dòng)信號的幅度。階躍擾動(dòng)的幅度過大會(huì)影響正常生產(chǎn)，甚至危及生產(chǎn)安全，這是不允許的。若階躍信號過小則可能受干擾信號的影響，不能保證測試結(jié)果的真實(shí)可靠性。所以，在一般情況下，取允許最大值的5%～20%之間。在可能的情況下，以不影響生產(chǎn)為準(zhǔn)，取大的擾動(dòng)量為好。

(2)

測試前確保被控對象處于選定的某一穩(wěn)定工作狀態(tài)。一次試驗(yàn)要進(jìn)行到被控過程達(dá)到或接近穩(wěn)定狀態(tài)。

(3)實(shí)驗(yàn)時(shí)可以在相同的測試條件下重復(fù)多次，至少獲得兩次基本相同的響應(yīng)曲線。實(shí)驗(yàn)中應(yīng)設(shè)法排除發(fā)生偶然性的干擾。

(4)

考慮到實(shí)際對象的非線性，實(shí)驗(yàn)時(shí)施加的擾動(dòng)要分別從正方向和反方向變化，分別測出正方向和反方向變化的響應(yīng)曲線，以求真實(shí)掌握對象的動(dòng)態(tài)特性。

(5)要特別注意記錄下響應(yīng)曲線的起始部分，以很好地獲得對象的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。（二）矩形脈沖法如果在生產(chǎn)中不允許長時(shí)間的階躍擾動(dòng)試驗(yàn)，可以采用矩形脈沖輸入代替階躍擾動(dòng)輸入。即施加一個(gè)較大幅值的階躍擾動(dòng)，待被控量將要到生產(chǎn)允許的最大偏差值時(shí)，立即清除擾動(dòng)，使被控量回到起始值。這種方法的優(yōu)點(diǎn)充許擾動(dòng)幅值大些，可達(dá)到20%～30%，施加擾動(dòng)的時(shí)間短，被控量的變化不會(huì)超過生產(chǎn)的允許值。故此方法應(yīng)用也較多。圖5-13階躍響應(yīng)曲線

圖5-14矩形脈沖分解成兩個(gè)階躍作用

由于階躍響應(yīng)曲線的參數(shù)估計(jì)較方便，所以需要將矩形脈沖響應(yīng)曲線轉(zhuǎn)換成兩個(gè)階躍響應(yīng)曲線再處理。將矩形脈沖分解成兩個(gè)階躍信號，見圖5-14與的幅值相等，但方向相反，且開始作用的，即時(shí)間不同，相差因此

假設(shè)被控過程是線性的，階躍信號和的響應(yīng)分和，根據(jù)迭加原理，則矩形脈沖響應(yīng)就是兩個(gè)別為階躍響應(yīng)之和，即

或?qū)懗筛鶕?jù)上式就可以用分段遞推作圖法得到階躍響應(yīng)。

實(shí)測矩形脈沖輸入和被控對象輸出響應(yīng)曲線見圖5-15具體方法如下：(2)將所測繪的響應(yīng)曲線按時(shí)間間隔△t進(jìn)行等分。(3)第一個(gè)區(qū)間。即階躍響應(yīng)曲線與脈沖響應(yīng)曲線一致。(4)第二個(gè)區(qū)間

即將第一區(qū)間的階躍響應(yīng)曲線迭加到第二區(qū)間的脈沖響應(yīng)曲線上，即得第二區(qū)間的階躍響應(yīng)曲線。(5)

以此類推，將前一區(qū)間的階躍響應(yīng)曲線迭加到本區(qū)間的脈沖響應(yīng)曲線上，即得本區(qū)間的階躍響應(yīng)曲線。

脈沖寬度的選擇視輸出量的幅值而定，并需考慮對象的慣性和滯后時(shí)間的大小。一般的方法是在正式測定前，取不同寬度的脈沖試擾動(dòng)幾次，觀察被控量的變化，選其中最適合的一次繼續(xù)進(jìn)行測定。

圖5-15中，b)表示有自平衡能力的對象，衰減不會(huì)完全衰減。得很快。而圖5-15中c)表示無自平衡能力的對象,圖5-15矩形脈沖響應(yīng)曲線求階躍響應(yīng)曲線

二、由階躍響應(yīng)曲線求對象的傳遞函數(shù)

用測試法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型，首要的問題就是選定模型的結(jié)構(gòu)。工業(yè)生產(chǎn)中的大多數(shù)對象特性可以近似地以一階、二階以及一階加純滯后，二階加純滯后特性之一來描述，即：（5-30）

（5-31）

（5-32）

（5-33）

對少數(shù)無自平衡對象的特性，可用下面的傳遞函數(shù)來近似描述，即：（5-34）

（5-35）

用實(shí)驗(yàn)方法可測的對象的響應(yīng)曲線，可以與以上歸納的幾種標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的響應(yīng)曲線進(jìn)行比較，即可確定對象屬于哪一類傳遞函數(shù)，并從響應(yīng)曲線求出傳遞函數(shù)的各個(gè)參數(shù)，如放大系數(shù)K、時(shí)間常數(shù)T以及純滯后時(shí)間。工程上由階躍響應(yīng)曲線求對象傳遞函數(shù)的常用方法有切線近似法、圖解法及兩點(diǎn)法等。（一）切線近似法切線近似法的特點(diǎn)是簡單，但精度有較大隨意性，而實(shí)踐證明它可以成功地應(yīng)用于PID控制器的參數(shù)整定,所以至今仍然得到廣泛的應(yīng)用。1、無滯后一階對象的傳遞函數(shù)此對象的傳遞函數(shù)為

其階躍響應(yīng)為非周期過程見圖5-16。只需確定放大系數(shù)K和時(shí)間常數(shù)T即可確定傳遞函數(shù)。1、靜態(tài)放大系數(shù)K：由階躍響應(yīng)曲線上可定出，則

（5-36）

2、時(shí)間常數(shù)T：在響應(yīng)曲線的起點(diǎn)作切線與y(∞)相交點(diǎn)在時(shí)間軸上的投影，即為時(shí)間常數(shù)T。圖5-16無滯后一階對象響應(yīng)曲線

2、具有純滯后一階對象的傳遞函數(shù)此對象的傳遞函數(shù)為其階躍響應(yīng)曲線見圖5-17。在時(shí)，曲線斜率為零。隨著的增加，其斜率逐漸增大，當(dāng)過拐點(diǎn)后，斜率又慢慢變小，該曲線呈S型，可近似認(rèn)為帶純滯后的一階非周期過程。若對象有容量滯后也可以當(dāng)成純滯后處理。用切線法確定參數(shù)的方法如下：對象靜態(tài)放大系數(shù)K的求法與無滯后一階對象的求法相同。時(shí)間常數(shù)T和純滯后τ的確定：在階躍響應(yīng)曲線的拐點(diǎn)處D作一切線。在時(shí)間軸上的交點(diǎn)B，則OB為純滯后時(shí)間τ。與穩(wěn)態(tài)值線的交點(diǎn)為A，A在時(shí)間軸上的投影為C，則BC為時(shí)間常數(shù)T。圖5-17有純滯后對象的一階近似假定放大系數(shù)(即按照=1調(diào)整縱軸刻度），其單位階躍響應(yīng)曲線見圖5-18所示。圖5-18具有自平衡能力二階對象的響應(yīng)曲線3、具有自平衡能力二階對象的傳遞函數(shù)對象的傳遞函數(shù)為過拐點(diǎn)A作切線，與水平線相交為D，與縱坐標(biāo)相交于E。過拐點(diǎn)作垂直線，與線相交為C，作水平線與縱坐標(biāo)相交于B。則可得CD值與BE值?？梢宰C明有下面的結(jié)論成立：（1）；（2）BE是的函數(shù)。設(shè)，則BE與m的相互關(guān)系如表5-1所示。表5-1BE與m的相互關(guān)系mBE000.050.13470.100.18090.150.2393mBE0.200.26930.250.29130.300.30020.350.3236mBE0.400.33190.450.34100.500.34660.550.3523mBE0.600.35630.650.35890.700.36200.750.3641mBE0.800.36560.850.36650.900.36711.000.3679

這樣求取、的方法如下：（1）過階躍響應(yīng)曲線上的拐點(diǎn)作切線；（2）分別定出A、B、C、D和E點(diǎn)，并求得CD和BE值；（3）從表5-1中的BE值，可得相應(yīng)的m值；（4）由解出與值。4、具有純滯后環(huán)節(jié)的二階對象的傳遞函數(shù)其對象的傳遞函數(shù)為（5-37）

在階躍擾動(dòng)△x的作用下，對應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線見圖5-19所示。在起始階段有一小段水平線OB，它代表純滯后，在B點(diǎn)以后是一段S型曲線，它是雙容對象的響應(yīng)特性曲線。

從曲線上拐點(diǎn)P作切線，可確定時(shí)間常

數(shù)T和容量滯后。當(dāng)時(shí)，被控參數(shù)的變化量為。當(dāng)時(shí)，被控參數(shù)變化量為。假定傳函中的、均已給定，則T、和、等大小也就定了。因此只要知道了比值、和T的大小，也可以知道和的值，進(jìn)而也可確定值。圖5-20具體地表明了這些比值之間的關(guān)系。根據(jù)有自平衡對象的階躍響應(yīng)特性曲線換算為帶純滯后二階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的步驟如下：在階躍響應(yīng)特性曲線上確定出、T和τ值；。計(jì)算時(shí)應(yīng)注意將K值無，并根據(jù)查圖5-20定出、、的值，查圖方法見圖5-20虛線所示；2.根據(jù)穩(wěn)態(tài)值計(jì)算出K值：3.計(jì)算比值因次化；圖5-19具有純滯后的二階對象響應(yīng)曲線

圖5-20二階對象響應(yīng)曲線上若干特征值間關(guān)系根據(jù)T值計(jì)算出、和τc值；計(jì)算純滯后：。從圖5-20中可以看到，比值最大值以0.034為限，此時(shí)，。因此在計(jì)算中可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，即從響應(yīng)曲線上定出來的值，這時(shí)就只能?。海?-38）這樣當(dāng)然會(huì)帶來明顯的誤差，除非用三階環(huán)節(jié)近似，而這樣一來，計(jì)算將要復(fù)雜多了。5、n階等容慣性對象的傳遞函數(shù)n階等容慣性對象傳遞函數(shù)的形式為對應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線見圖5-21a)所示，通過曲線拐點(diǎn)B作切線，分別交于穩(wěn)態(tài)值y（∞）線為A，交于橫軸為C，交于豎軸為D。在豎軸上的截距為b。從響應(yīng)曲線上可得對象的響應(yīng)時(shí)間TA、拐點(diǎn)坐標(biāo)TB、對象的等效時(shí)間常數(shù)TC和滯后時(shí)間τ。當(dāng)系統(tǒng)階次n和時(shí)間常數(shù)T確定時(shí)，曲線形狀已定，即TA、TB、TC、τ和b都已確定，并有b/y（∞）=f（n）、TA=fA(n，T)、TB=fB(n，T)、TC=fC(n，T)和τ=fτ(n，T)等關(guān)系成立。將這些關(guān)系列表見表5-2。

圖5-21切線法求等容對象特性a)階躍響應(yīng)曲線b)計(jì)算圖表表5-2

b/y（∞）TA/T、TB/T、TC/T、τ/T與n的關(guān)系

由此可得求n階等容慣性對象傳遞函數(shù)的一般步驟為：由階躍響應(yīng)曲線，確定y（∞）、TA、TB、TC、τ和b等值，見圖5-21a)；由穩(wěn)態(tài)值計(jì)算出K值：?！鱴為階躍擾動(dòng)值。由表5-2和圖5-21b)確定n和T值。對象的階數(shù)n也可用近似公式計(jì)算

（5-39）n123456789101426b/y(∞)00.1040.2180.3190.4100.4930.5700.6420.7100.7731.0001.50TA/T134.55.897.228.519.7710.95TB/T-1234567891324TC/T12.7123.6924.4805.1205.7006.2506.7107.1607.5809.10012.33τ/T00.2820.8051.4302.1002.8103.5604.3105.0805.8609.12018.50當(dāng)n為1～6階時(shí)，可用更簡單的公式計(jì)算（5-40）對象的時(shí)間常數(shù)T可計(jì)算為（5-41）此方法簡便，近似計(jì)算結(jié)果也能滿足生產(chǎn)上的需要。6、無自平衡對象的傳遞函數(shù)1）積分對象其傳遞函數(shù)為階躍響應(yīng)曲線見圖5-22所示，是一條等速變化的直線。響應(yīng)時(shí)間就是直線的斜率，因此按下式計(jì)算（5-42）

式中△x為階躍擾動(dòng)幅值。

α為響應(yīng)曲線與橫軸夾角。即響應(yīng)y=△x時(shí)，所需的時(shí)間即為響應(yīng)時(shí)間。圖5-22積分對象階躍響應(yīng)曲線2）帶有純滯后的單容對象其傳遞函數(shù)為階躍響應(yīng)曲線見圖5-23所示。響應(yīng)曲線的開始變化速度緩慢，然后以等速上升。沿響應(yīng)曲線等速上升部分作切線，交橫軸于A點(diǎn)，則OA就是滯后時(shí)間。而響應(yīng)時(shí)間也按式（5-42）計(jì)算。圖5-23有純滯后的單容對象近似法

3）有純滯后的雙容對象其傳遞函數(shù)為對象的階躍響應(yīng)曲線見圖5-24所示。經(jīng)過一段滯后時(shí)間以后，才開始響應(yīng)。同樣沿響應(yīng)曲線的等速上升部分作切線交時(shí)間軸于A點(diǎn)，可以得到純滯后時(shí)間及時(shí)間常數(shù)T，響應(yīng)時(shí)間也按式（5-42）計(jì)算。圖5-24有純滯后的雙容對象的響應(yīng)曲線4）多容對象其傳遞函數(shù)為（5-43）對象的單位階躍響應(yīng)曲線見圖5-25所示。其響應(yīng)方程為（5-44）當(dāng)t→∞時(shí)，切線與被控量y(t)重合，切線方程為

（5-45）

當(dāng)=0時(shí)，切線與時(shí)間坐標(biāo)相交點(diǎn)位，代入上式得

即則時(shí)間常數(shù)T為（5-47）

當(dāng)t=0時(shí)，切線與縱軸交點(diǎn)為b，代入式（5-45）得（5-48）將式（5-46）代入（5-48）式可得

（5-49）則響應(yīng)時(shí)間Tα為當(dāng)時(shí)，代入式（5-44）得（5-51）

式（5-51）與式（5-49）的比值為（5-52）這是n的單值函數(shù)，由上式算出表5-3或繪成圖5-26。（5-50）

圖5-25多容對象近似法

圖5-26y(ta)/ob與n關(guān)系n1234560.3680.2710.2240.1950.1750.161這樣從響應(yīng)曲線確定多容對象傳遞函數(shù)的步驟為：作切線，分別確定，，和；2.由式（5-50）求得響應(yīng)時(shí)間

；；3.由表5-3或圖5-26確定階數(shù)n；4.由式（5-47）求得時(shí)間常數(shù)T；5.將以上參數(shù)代入式（5-43）得對象傳遞函數(shù)。當(dāng)計(jì)算的n不是整數(shù)時(shí)，取最相近的整數(shù)值。若求出的n>6，即<0.161時(shí)，可

將對象作為有純滯后的單容過程進(jìn)行表5-3y(ta)/ob與n關(guān)系處理。若算出的n≥3，還可簡化為具有純滯后的雙容對象進(jìn)行處理。對象的階數(shù)n也可按下式計(jì)算（5-53）（二）計(jì)算法由于切線近似法中，響應(yīng)曲線中的拐點(diǎn)位置不易選準(zhǔn)，切線方向亦有較大的隨意性，因此結(jié)論比較粗糙。為了避免在響應(yīng)曲線上作切線的困難，可以選用計(jì)算法。1、無純滯后的一階對象的傳遞函數(shù)無純滯后的一階對象傳遞函數(shù)對象的放大系數(shù)K同前方法求得為而階躍響應(yīng)為（5-54）由式（5-54）可知：當(dāng)t=T/2時(shí)的響應(yīng)值為y(T/2)=0.393y（∞）；當(dāng)t=T/1.44時(shí)的y(T/1.44)=0.5y（∞）；當(dāng)t=T時(shí)的y(T)=0.632y（∞）；而t=2T時(shí)的y(2T)=0.865y（∞）。見圖5-27所示。因此可以在階躍響應(yīng)曲線上找到的點(diǎn)，就可確定時(shí)間常數(shù)T，其他的特殊點(diǎn)可作校驗(yàn)用。圖5-27無純滯后的一階對象響應(yīng)曲線2、具有純滯后一階對象的傳遞函數(shù)對象傳遞函數(shù)重寫為式中放大系數(shù)K用前方法求得：。被控量y(t)以相對值y0(t)=y(t)/y(∞)表示，則階躍作用下的解為其響應(yīng)曲線見圖5-28所示。選擇兩個(gè)不同時(shí)間t1和t2，得兩個(gè)聯(lián)立方程

聯(lián)立求解得

（5-55）

一般可在響應(yīng)曲線上選擇y0(t1)=0.393，y0(t2)=0.632，代入上式，則可得（5-56）對計(jì)算出的T和τ還應(yīng)進(jìn)行校驗(yàn)。在相對值曲線y0(t)上另取一對時(shí)間的響應(yīng)值，例如y0(t3)=0.33，y0(t4)=0.7，則由（5-55）式可得

（5-57）

若分別由（5-55）式和（5-57）式計(jì)算的兩組T與τ相差太大，則應(yīng)選用二階帶滯后環(huán)節(jié)來近似。如果兩組值都很接近，則可取平均值，即

（5-58）圖5-28有純滯后對象的一階近似3、無純滯后二階對象的兩點(diǎn)法無純滯后二階對象的傳遞函數(shù)為

階躍響應(yīng)曲線見圖5-29所示，在響應(yīng)曲線上選擇0.4和0.8兩個(gè)點(diǎn)，然后用近似公式計(jì)算

（5-59）

上式適用于0.32<<0.46。當(dāng)=0.32時(shí)，為一階環(huán)節(jié)，,則（5-60）當(dāng)=0.46時(shí)，為二階等容環(huán)節(jié)，，則（5-61）當(dāng)>0.46時(shí)，表明過程是高于二階的，但仍可用二階環(huán)節(jié)來近似。(a)無純滯后二階對象(b)有純滯后二階對象圖

5-29二點(diǎn)法求對象傳遞函數(shù)若二階對象具有純滯后，傳遞函數(shù)為其滯后時(shí)間T，可根據(jù)階躍響應(yīng)曲線開始出現(xiàn)變化的時(shí)刻來確定，見圖5-29b。在時(shí)間軸上截去純滯后部分，以時(shí)刻T作為時(shí)間起點(diǎn)0，設(shè)縱坐標(biāo)為y（t），這時(shí)y（t）曲線與圖5-29a的無純滯后二階對象相同，然后利用上述方法計(jì)算T1和T2，而求K得方法不變。4、n階對象的兩點(diǎn)法對象傳遞函數(shù)為在階躍響應(yīng)曲線上取兩點(diǎn)，方法同前面討論的一樣。則近似公式計(jì)算系統(tǒng)階次

（5-62）

n與t1/t2的關(guān)系計(jì)算成表5-4，以便使用。注意n取最接近的整數(shù)值。時(shí)間常數(shù)

(5-63)

增益系數(shù)兩點(diǎn)法方法簡便，使用方便，不用完全畫出對象的階躍響應(yīng)曲線，而只要測得選定時(shí)刻相對應(yīng)的被控量數(shù)值，即可求出對象近似傳遞函數(shù)。一般講兩點(diǎn)法精度要高于切線近似法。對于工程整定，兩點(diǎn)法的精度范圍是足夠的。表5-4n與t1/t2的關(guān)系n1234567t1/t20.3170.4600.5340.5840.6180.6400.666n891011121314t1/t20.6840.6990.7120.7240.7340.7480.7511、一階自平衡對象的傳遞函數(shù)設(shè)一階自平衡對象的傳遞函數(shù)為（三）圖解法

在階躍擾動(dòng)△x作用下，其響應(yīng)為（5-64）

式中，同前述方法一樣，由此可確定放大系數(shù)K值。時(shí)間響應(yīng)曲線見圖5-30。

圖5-30一階對象的響應(yīng)曲線

將式（5-64）寫為兩邊取自然對數(shù)

（5-65）這是直線方程。以為縱坐標(biāo)，以時(shí)間t做橫坐標(biāo)，直線見圖5-31。直線與縱坐標(biāo)交于A點(diǎn)，直線斜率為-1/T，由圖可知令t=T，則取反對數(shù)得所以直線上0.368A所對應(yīng)的時(shí)間，即為時(shí)間常數(shù)T。

圖5-31半對數(shù)坐標(biāo)時(shí)間常數(shù)圖解

通常利用半對數(shù)坐標(biāo)紙作曲線，但其對數(shù)坐標(biāo)是以常用對數(shù)值刻度的，所以必須將自然對數(shù)換算為常用對數(shù)，則式（5-65）直線方程改為則式（5-65）直線方程改為或（5-66）

式(5-66)同樣是直線方程，直線見圖5-32，它交縱坐標(biāo)于A點(diǎn)，交橫坐標(biāo)于C，斜率為-1/2.303T。這樣由圖得即（5-67）

圖5-32半常用對數(shù)坐標(biāo)時(shí)間常數(shù)圖解

由于半對數(shù)紙的對數(shù)坐標(biāo)上標(biāo)的都是未取對數(shù)時(shí)的真值，所以只須將實(shí)測的數(shù)值或從階躍響應(yīng)曲線上獲得的數(shù)據(jù)（見圖5-30），按坐標(biāo)軸標(biāo)度直接點(diǎn)上去，再用上述方法求出一階對象的傳遞函數(shù)。若在半對數(shù)坐標(biāo)紙上，所繪的多數(shù)點(diǎn)遠(yuǎn)離直線分布，而且是無規(guī)則的，這說明測試精度不夠，應(yīng)采取措施提高測試精度后，重新測試。若在t較大時(shí)各點(diǎn)接近于直線，而t較小時(shí)各點(diǎn)偏離直線，則可能是二階或二階以上的對象特性。2、二階自平衡對象的傳遞函數(shù)二階自平衡對象的傳遞函數(shù)為其中，則階躍響應(yīng)為（5-68）其響應(yīng)曲線見圖5-33圖5-33二階對象的響應(yīng)曲線

對象的放大系數(shù)K仍可按以前的方法計(jì)算。而時(shí)間常數(shù)現(xiàn)在采用圖解法。在響應(yīng)曲線上仔細(xì)量出的數(shù)值，并用描點(diǎn)法繪制（一般當(dāng)時(shí)），則當(dāng)t項(xiàng)相對于項(xiàng)可忽略不計(jì)，這樣，在半對數(shù)坐標(biāo)紙上。若大到一定程度后，式（5-68）可簡化為

或兩邊取對數(shù)得（5-69）

或（5-