概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)答題

1、已知一批產(chǎn)品中

96%是合格品

.檢查產(chǎn)品時(shí)，一合格品被誤以為是次品的概率是；

一次品被誤以為是合格品的概率是

.求在被檢查后以為是合格品的產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率

.A是被查后以為是合格品的事件，

B是抽查的產(chǎn)品為合格品的事件

..P(A)P(B)P(AB)P(B)P(AB)0.960.980.040.050.9428，P(BA)P(B)P(AB)/P(A)0.9408/0.94280.998.2、某商店銷售某種名貴商品

.依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該商品每周銷售量聽從參數(shù)為

1的泊松散布

.假設(shè)各周的銷售量是互相獨(dú)立的

.用中心極限制理計(jì)算該商店一年內(nèi)

(52周)售出該商品件數(shù)在

50件到

70件之間的概率

.解：設(shè)Xi為第i周的銷售量,i1,2,,52Xi~P(1)52則一年的銷售量為YXi，E(Y)52,D(Y)52.i1由獨(dú)立同散布的中心極限制理，所求概率為P(50Y70)P2Y521818252525215252(2.50)(0.28)10.99380.610310.6041.1、某商店擁有某產(chǎn)品共計(jì)12件，此中4件次品，已經(jīng)售出2件，現(xiàn)從剩下的10件產(chǎn)品中任取一件，求這件是正品的概率.解：設(shè)A=“取到正品”B＝售出兩件中有i件次品，i0,1,2，2則P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)i0P(A)C826C81C417C4280.67C12210C12210C122102、設(shè)某種電子元件的壽命聽從正態(tài)散布N(40,100)，隨機(jī)地取5個(gè)元件，求恰有兩個(gè)元件壽命小于50的概率.（0(1)0.8413，0(2)0.9772）解：令X＝“元件壽命”則P{X50}PX405040(1)0.8413,10令Y“5件中壽命小于50的元件個(gè)數(shù)”則Y~B(5,0.8413).所以P{Y2}C520.84132(10.8413)30.0283.F(X,Y)A(BxarctanyA,B,C3、已知arctan)(B),1)求常數(shù)；2)求23P0X2,0Y3.F(,)A(B)(C)1C222解：F(,y)A(B2)(Carctany)0解得B23F(x,)A(Bx)0A1arctan)(c222F(x,y)1(arctanx)(2arctany)22231P{0X2,0Y3}F(0,0)F(2,3)F(0,3)F(2,0)164、從一正態(tài)整體中抽取容量為10的樣本，假設(shè)有2％的樣本均值與整體均值之差的絕對(duì)值在4以上，求整體的標(biāo)準(zhǔn)差.（0(2.055)0.98,0(2.325)0.99）2解：X~N(,)，n而P|X|410.020.98，故24445.44.10.98，0.99，2.325，nnn1、10把鑰匙中有3把能夠把門打開，今隨意取兩把，求能夠開門的概率.解：（1）先求在10把鑰匙中隨意取兩把，不能夠夠開門的概率，樣本點(diǎn)總數(shù)是90，因?yàn)椴荒軌蜷_門，所以這兩把鑰匙均取自7把不能夠開門的鑰匙中間，有益事件數(shù)為6742。不能夠夠開門的概率為21，452180.53.（2）能夠開門的概率為115452、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)Aex(x),求(1)系數(shù)A；（2）散布函數(shù)F(X).Qf(x)dx1，即（0xx解：（1）edxedx)1，0A1/21xxdt，（2）F(x)e211x當(dāng)x0，（）xtedte2當(dāng)x0，F(xiàn)(x)etdt21etdt11ex0x2023、設(shè)整體X聽從正態(tài)散布N(,2)，此中2是已知的，而未知的，(X1,X2,X3)是從整體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。(1)求(X1,X2,X3)的密度函數(shù)；(2)指出X1X2X3，X3Xi22，min(X1,X2,X3)，2，i1X3X1之中，哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為何213(xi)2解：（1）(x1,x2,x3))3ei122(2（2）X1X2X3，，min(X1,X2,X3)，X3X12都是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樗鼈兙话ㄈ魏挝粗獏?shù)；而32X2不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量Xi2,因?yàn)樗钦w的函數(shù)，而不是樣本的函數(shù)，2中包括未知參數(shù)，所以它不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.i11、某工廠有三條流水線生產(chǎn)同一種晶體管，每條流水線的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、80%、5%,又這三條流水線的次品率分別為、、，現(xiàn)在從這批晶體管中隨機(jī)取一只，求它是次品的概率.解：由全概率公式P(A)0.020.150.010.800.030.050.01252、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的散布函數(shù)F(x)ABarctanx,(x),(1)確立常數(shù)A與B；（2）求X的概率密度函數(shù)f(x).解：F()AB1,F()AB0A1/2,B1/2211F(x)arctanx2f(x)F'(x)1(1x2)3、擲一枚平均硬幣，正面為1點(diǎn)、反面為0點(diǎn)，隨機(jī)變量為連擲二次點(diǎn)數(shù)之和，試（1）求的散布律；（2）并求E和D.解：(1)散布律以下表012p1/41/21/4(2)E011122141，4E201112414342DE2(E)2124、設(shè)某公司有100件產(chǎn)品進(jìn)行拍賣，每件產(chǎn)品的成交價(jià)為聽從正態(tài)散布N(1000,1002)的隨機(jī)變量，求這100件產(chǎn)品的總成交價(jià)不低于萬元的概率.解：設(shè)第i件產(chǎn)品的成交價(jià)為Xi，則Xi~N(1000,1002)，i1,2,L,n又因?yàn)閄1,X2,L,Xn互相獨(dú)立,100聽從N(10,0.12)萬元的散布.所以總成交價(jià)XiXi故有P(X9.9)1(9.910)0.84130.1故總成交價(jià)不低于萬元的概率為%10xU[0,]，它的密度函數(shù)為f(x;,5、設(shè)母體X聽從平均散布)，（1）求未知參數(shù)的矩法預(yù)計(jì)0,otherwise量；（2）當(dāng)子樣察看值為，，，，，時(shí)，求的矩法預(yù)計(jì)值.解：(1)因?yàn)镋(X)xf(x;)dx1xdx21nX，所以2X令E(X)Xi=X，即ni12(2)由所給子樣察看值算得2x0.96331、設(shè)隨機(jī)變量X的散布列為PXkak(k1,2,L),求：(1)參數(shù)a，(2)PX4，(3)Y2X12的散布列.解：（1）由a1a1k12k111（2）P{X4}l02k516k52k（3）P{Y2k1}P{Xk}1（k1,2,L）2k2、將一枚硬幣連拋三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫出(X,Y)的聯(lián)合散布律、關(guān)于X和Y的邊沿散布律.解：設(shè)Ai“第i次出現(xiàn)正面”(i1,2,3)，則此隨機(jī)試驗(yàn)包含8個(gè)基本事件：A1A2A3(3,0)；A1A2A3(0,3)；A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3(2,1)；A1A2A3,A1A2A3,A1A2A3(1,1)，它們相應(yīng)的(X，Y)取值為P(X3,Y0)12,Y1)3,P(X；3818P(X1,Y1)0,Y3),P(X.88進(jìn)而，(X，Y)的聯(lián)合散布律為和邊沿散布律：YOX0123pgj0000118810330688831000188pig133188883、整體X~N(80,202)，從整體中抽取一個(gè)容量為100的樣本，問樣本均值與整體均值之差的絕對(duì)值大于3的概率是多少((1.5)=0.9332)解：設(shè)容量為100的樣本為(X1,X2,,X100)，X是樣本的均值，則X80~N(0,1)，2所求概率為P{|X80|3}1P{|X80|3}22221[(1.5)(1.5)]2(10.9332)0.13364、設(shè)母體X聽從指數(shù)散布，它的密度函數(shù)為f(x;)exx00，試求未參數(shù)0x，的最大似然估0計(jì).解：設(shè)x1,x2,L,xn是X的子樣察看值，nnexi那么的似然函數(shù)為L(zhǎng)()i1n就有l(wèi)nL()nlnxii1dlnL()nn于是，似然方程為xi0di1進(jìn)而，可得?1X1、袋中裝有m枚正品硬幣、n枚次品硬幣（次品硬幣兩面均印有國徽）.從袋中任取一枚硬幣，將它扔擲r次，已知每次均出現(xiàn)國徽，問這枚硬幣是正品硬幣的概率是多少解：設(shè)事件A“所取硬幣為正品”，事件B“所取硬幣擲r次均出現(xiàn)國徽”，所求概率為P(A|B).m1rnP(A)，P(B|A)，P(A)，P(B|A)1mn2mn故：P(A|B)P(B|A)P(A)mr.P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)mn22、對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，設(shè)每次命中率為,（1）寫出X的散布律；（2）求最少3次命中目標(biāo)的概率.解：（1）設(shè)X為4次射擊中的命中次數(shù)。則X?B(4,P{Xk}C4k0.1k0.94kk0,1,2,3,4（2）P{X3}P{X3}P{X4}C430.130.90.140.00413、設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里，某電器設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）為隨機(jī)變量，其概率密度為1x0x1500150021，求E(X)，D(X).f(x)15002(x3000)1500x30000其余解：E(X)=xf(x)dx=150012x2dx3000(30002x)xdx0150015001500=500+1000=1500E(X2)=150012x3dx3000(30002x)x2dx0150015001500=562500+2062500=2625000D(X)E(X2)E2(X)=3750004、生產(chǎn)燈泡的合格率為，求10000個(gè)燈泡中合格燈泡數(shù)在5800~6200的概率.1、解：由題意10000個(gè)燈泡中合格燈泡數(shù)X~B（10000，），再由中心極限制理知X~N（6000，2400），則所求概率為P{5800X6200}62006000(58006000)()24002400(4.082)(4.082)2(4.082)115、設(shè)總體X~N(0,1),從此總體中取一個(gè)容量為6的樣本(X1,,X6),設(shè)Y(X1X2X3)2(X4X5X6)22,試決定常數(shù)c,使得隨機(jī)變量cY聽從散布.解：X1X2X3~N(0,3)，X1X221X3~2(1)(X1X2X3)2~2(1)則3，即31(X4X5X6)2~2(1)同理有，3且(X1X2X3)2與(X4X5X6)2獨(dú)立，1Y1X2X3)2(X4X5X6)2~2(2)則有(X133故c131、在射擊室里有9支槍，此中經(jīng)試射的有兩支，試射過的槍的命中率是,未試射過的槍的命中率為.今從射擊室里任取一槍，發(fā)射一次結(jié)果命中了.求“所取槍是已經(jīng)試射過”的概率.解：設(shè)A—發(fā)射一次命中；H1—所取的槍試射過；H2—所取的槍未試射過由題意，P(A/H1)0.8,P(A/H2)0.1,P(H1)2,P(H2)799由貝葉斯公式：P(H1/A)P(A/H1)P(H1)1623P(A/H1)P(H1)P(A/H2)P(H2)2、隨機(jī)變量X~U1,1,求YX2的散布函數(shù)與概率密度.fXx11x122解：,且yg(x)x,0其余0y<00y<0yFYyfXxdx1y0y1dx0y1,y2x2y1y11y110y1fY(y)FY'(y)2y.0其余3、設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X聽從參數(shù)為50的泊松散布，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化為成蟲的概率為,且各卵的孵化是互相獨(dú)立的，求此昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X與孵化為成蟲卵數(shù)Y的聯(lián)合散布律.解：本題已知隨機(jī)變量X的散布律為PXi50ie50,i0,1,2,i!由題意易見，該昆蟲下一代只數(shù)Y在Xi的條件下聽從參數(shù)為i,的二項(xiàng)散布,故有P{Yj|Xi}Cij0.8i0.2ij，j0,1,...,i由PXi,YjPYi|XiPXi,得(X,Y)的聯(lián)合散布律為：P{Xi,Yj}Cij0.8jij50ie500,1,;j0,1,,i.0.2i!，i4、已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切貝雪夫不等式預(yù)計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升含白細(xì)胞X個(gè)，則E（X）=7300，D（X）=700，由切貝雪夫不等式知，所求概率P(5200X9400)P(-2100X-73002100)P{|XE(X)|2100}1D(X)17002821002210029即所求概率約為8.95、在整體X~N(12,4)，從X中隨機(jī)抽取容量為6的樣本(X1,X6).求樣本均值與整體均值之差的絕對(duì)值大于2的概率.(0(2.4495)0.995)解：設(shè)整體為X，由題意：X~N(12,2/3)，則XEX~N(0,2/3)，所求概率為：P{|XEX|2}1P{|XEX|2}1[(2/2/3)(2/2/3)]＝2[1(2.4495)]＝.6、設(shè)整體X的密度函數(shù)為f(x)x1,0x10.試求的最大似然預(yù)計(jì)量.0,其余此中是未知參數(shù)，且解：設(shè)x1,x2,,xn是X的子樣察看值，nn1那么樣本的似然函數(shù)為L(zhǎng)()xi，i1lnL()nln(1)nlnxi，取對(duì)數(shù)得i1dlnL()nnlnxi0，于是，似然方程為di1進(jìn)而，可得?nnlnXii11、玻璃杯成箱銷售，每箱20只.假設(shè)各箱含0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為、和，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，不然退回.試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率.解：設(shè)事件A表示“顧客買下該箱”，Bii01,2i表示“箱中恰好有件次品”，，則P(B0)0.8，P(B1)0.1，P(B2)0.1，P(A|B0)1，P(A|B1)C1944C18412C204，P(A|B2)C20419.5(1)由全概率公式得240.112P(A)P(Bi)P(A|Bi)0.810.10.94；i0519(2)由貝葉斯公式(B0|A)P(B0)P(A|B0)0.810.85.P(A)0.94X的概率密度為2Ax,0x13}；（3）2、已知隨機(jī)變量fx0,其余，求：（1）參數(shù)A；（2）P{0.5XP{Xx}.1解：(1)由歸一性，得f(x)dx2Axdx1A1031(2)p{0.5x3}f(x)dx2xdx0.750.50.5x(3)p{Xx}f(t)dtx當(dāng)x<0時(shí)，f(t)dt0;xx當(dāng)0x時(shí)，f(t)dt2tdt21x0x1當(dāng)x時(shí),f(t)dt2tdt1103、已知隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其散布律分別為：X10Y-101pXPY分別求隨機(jī)變量Z=max(X,Y)，與W=X-Y的散布律.并求Z,W的散布律.解:作