機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩第十章模型（彈簧振子）什么是振動(dòng)？振動(dòng):任何物理量在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化力學(xué)量（如位移、速度）電磁量（如I、V、E、B）如何研究振動(dòng)？推廣1．掌握描述諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波動(dòng)的各物理量（特別是位相和位相差）的物理意義及各量的相互關(guān)系。2．掌握旋轉(zhuǎn)矢量法，并能用以分析有關(guān)問題。3．掌握諧振動(dòng)的基本特征。能根據(jù)給定的初始條件建立一維諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義。理解諧振動(dòng)的能量及其特點(diǎn)。4．理解兩個(gè)同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成規(guī)律，以及合振動(dòng)振幅極大和極小的條件?！?0-0教學(xué)基本要求

簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式§10-1諧振動(dòng)連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。彈簧振子：——理想模型忽略物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的一切阻力；忽略彈簧的質(zhì)量；忽略物體的彈性.受力情況：mgNF“–”表示力與位移的方向相反.物體在任意位置x

所受的力為——?jiǎng)恿W(xué)方程由牛頓第二定律知受力分析：解此二階常系數(shù)線性微分方程可得——運(yùn)動(dòng)方程——?jiǎng)恿W(xué)方程振幅角頻率初相位為積分常數(shù)x可代表任意物理量或用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的

圖

此式表示出了作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系.x-t曲線稱之為振動(dòng)曲線.

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為0對(duì)振動(dòng)速度求導(dǎo)得振動(dòng)的加速度為

從以上兩式可知，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的速度和加速度是時(shí)間的周期函數(shù)，而且加速度和位移成正比但方向相反.對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求導(dǎo)得振動(dòng)速度為

簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系:初始相位為零時(shí)

1.振幅:

物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。

2周期和頻率

周期：物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全振動(dòng)的次數(shù)。二、描述諧振動(dòng)的特征量(簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素)角頻率:

物體在秒內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：對(duì)于彈簧振子，因有，得3.相位和初相相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0

時(shí)的相位。怎樣用初始條件求振幅和初相位？

假設(shè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在初始時(shí)刻的速度和位移分別為和解之可得存在兩個(gè)值，可根據(jù)在到之間，通常進(jìn)行取舍。

相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為相位究竟是什么東西？A/2二者的相位差為b.當(dāng)時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；a.當(dāng)

時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為同相；討論：d.當(dāng)

時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)

。c.當(dāng)

時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)；

相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)。對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在:

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式振動(dòng)三要素：振幅A：給出了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)范圍角頻率：決定于振動(dòng)系統(tǒng)的固有屬性；初相位：決定于初始時(shí)刻的狀態(tài)。彈簧振子解析法例題分析1.一個(gè)質(zhì)量為m的物體系于一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長(zhǎng)了l=9.810-2m.如圖所示，如果給物體一個(gè)向下的瞬時(shí)沖擊力，使它具有向下的速度v=1ms-1，它就上下振動(dòng)起來，試寫出振動(dòng)方程.解:物體處于平衡時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o，向下為y

軸的正向，如圖所示當(dāng)物體偏離平衡位置時(shí)它所受的合力為-ky，因此動(dòng)力學(xué)方程為平衡時(shí)受力分析則上式變?yōu)?/p>

物體在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要求出三要素，即可寫出振動(dòng)方程.

以物體處于平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則y0=0，v0=1ms-1，于是有該物體的振動(dòng)方程為求解振動(dòng)三要素中的初相位：（一）解析法（二）圖像法由振動(dòng)曲線決定初相(給定振動(dòng)曲線，寫出振動(dòng)方程)為四象限角

t0xx0t0A28、一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示．當(dāng)振子處在位移為零、速度為-ωA、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)時(shí)，應(yīng)對(duì)應(yīng)于曲線上的________點(diǎn)．當(dāng)振子處在位移的絕對(duì)值為A、速度為零、加速度為-ω2A和彈性力為-kA的狀態(tài)時(shí)，應(yīng)對(duì)應(yīng)于曲線上的____________點(diǎn)．a(chǎn),eb,f30、一簡(jiǎn)諧振動(dòng)用余弦函數(shù)表示，其振動(dòng)曲線如圖所示，則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量為A=________；ω=__________；φ=___________．10cm(p/6)rad/sp/36、已知一質(zhì)點(diǎn)沿ｙ軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)．其振動(dòng)方程為．與之對(duì)應(yīng)的振動(dòng)曲線是(D)-A-Aoyt

oyt(C)AAAoyt

Aoyt

(A)(B)求解振動(dòng)三要素中的初相位：（一）解析法（二）圖像法（三）旋轉(zhuǎn)矢量法

旋轉(zhuǎn)矢量:一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量在紙平面

可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。三、諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。在任意刻t，矢量端點(diǎn)在x軸上的投影為沿ox軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在t時(shí)刻相對(duì)于原點(diǎn)的位移.所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示.旋轉(zhuǎn)矢量的模簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)角速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)角頻率旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：直觀地表達(dá)諧振動(dòng)的各特征量便于解題,特別是確定初相位便于振動(dòng)合成由x、v

的符號(hào)確定

所在的象限：24o解：作t=0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量求：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=-12cm處所需最短時(shí)間。已知：

A=24cm,T=3s,t=0時(shí)作x=-12cm處的旋轉(zhuǎn)矢量12-12補(bǔ)充知識(shí)：利用旋轉(zhuǎn)矢量法作x-t

圖:xx(cm)t(s)t=0OOT速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M

點(diǎn):

沿X軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式。兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為例題10-1

一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06

m向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解:

(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫為初始條件：t=0s,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,據(jù)初始條件

O若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件可畫出振幅的初始位置，如下圖所示。A得從而可得(2)由(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得在t=T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度(3)當(dāng)x=-0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是(3)物體從x=-0.06m向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為例.已知x—t曲線,寫出振動(dòng)方程解1作業(yè)：P4610－1，10－2，10－31.單擺一根不會(huì)伸長(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下端懸掛一個(gè)四、幾種常見的諧振動(dòng)很小重物，重物略加移動(dòng)就可以在豎直平面內(nèi)來回?cái)[動(dòng)。單擺受力分析如右圖所示，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得很小時(shí)（小于），可取其中單擺在擺角很小時(shí)，在平衡位置附近作角諧振動(dòng)，周期的表達(dá)式可寫為轉(zhuǎn)角由初始條件求得。角振幅和初相

根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。當(dāng)不是很小，物體不再作諧振動(dòng)，而單擺周期的關(guān)系為與角振幅很小時(shí)單擺的周期。為2.復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺(物理擺)。

剛體的質(zhì)心為C,對(duì)過O

點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,O、C

兩點(diǎn)間距離的距離為h。據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得角度較小時(shí)若令例題10-2

一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。解：

船靜止時(shí)浮力與重力平衡，

船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用y表示。船的位移為y時(shí)船所受合力為船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為因得動(dòng)能勢(shì)能以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能：五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。能量平均值上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。考慮到，系統(tǒng)總能量為，表明諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線:*六、用能量法解諧振動(dòng)問題步驟：一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動(dòng)從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動(dòng)的方程。例題10-3

在橫截面為S的U形管中有適量液體，液體總長(zhǎng)度為，質(zhì)量為，密度為，求液面上下起伏的振動(dòng)頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）。解：選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時(shí)的平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)。系統(tǒng)的勢(shì)能為液體的動(dòng)能為由能量守恒得對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并整理可得液體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率及周期分別為又因?yàn)?/p>

解：設(shè)棒長(zhǎng)為2R,質(zhì)量為m，在且不計(jì)

例題10-4

一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端,用長(zhǎng)度都為棒扭動(dòng)時(shí),其質(zhì)心沿上下運(yùn)動(dòng)。因扭動(dòng)角度很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭動(dòng)角度為時(shí),質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來,當(dāng)棒以微小角度繞中心軸細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為，則有扭動(dòng)時(shí)，求證其運(yùn)動(dòng)周期為：。

hc是棒的質(zhì)心相對(duì)棒平衡時(shí)質(zhì)心位置的高度,有系統(tǒng)機(jī)械能守恒將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用關(guān)系常量例題10-5

勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l