第八章空間解析幾何與向量代數(shù)-81及其線性運算

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運算第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程第一節(jié)向量及其線性運算一、向量概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系四、利用坐標作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影一、向量概念向量：有向線段.符號表示：，，，，等.向量的大?。洪L度的值.自由向量：只研究大小與方向，與起始點無關.向量的相等：大小相等且方向相同.向量的模：向量的長度.||，||單位向量：模為1的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意.AB向量平行：兩個非零向量與的方向相同或者相反.兩向量的夾角的概念：特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.設AB跟異面直線的夾角定義相似Ok個向量共面：k(2)個有公共起點的向量的k個終點和起點在一個平面上.向量共線：當平行向量的起點在同一點時，它們的終點和公共起點在同一條直線上。二、向量的線性運算1.向量的加減法加法：(2)平行四邊形法則(1)三角形法則多個向量相加，可以按照三角形法則.a+b+c+dabcd二、向量的線性運算向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結合律：負向量：大小相等但方向相反的向量.減法：特例：注意：兩邊之和大于第三邊表示兩向量起點相同,方向相反2.向量與數(shù)的乘法向量與實數(shù)的乘積記作數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結合律：（2）分配律：向量的加減與數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算ABDCM例1在平行四邊形ABCD中，試用

和

表示向量、、和這里M是平行四邊形對角線的角交點.解由于平行四邊形的對角線互相平分,所以即于是因為所以又因所以由于所以上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.任意非零向量都可單位化：兩個向量的平行關系定理設向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)，使.證：充分性顯然；必要性‖設取當與同向時取正值，當與反向時取負值，即有此時與同向，且的唯一性設又設兩式相減，得即故即定理設向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)，使.．．OiPxx點P實數(shù)x軸上點P的坐標為x的充分必要條件是.=xi=

xi向量三、空間直角坐標系坐標軸：取空間一個定點O,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫作x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸);點O叫作坐標原點（或原點）.通常取x軸、y軸水平放置；z軸豎直放置，它們的正向符合右手法則.OZYX圖7-1Oxyz坐標系可記作[O；，，]坐標系坐標面：空間直角坐標系中任兩軸確定的平面。xOy面、yOz面、xOz面.卦限：坐標面將空間分為八個卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量

的坐標分解式：向徑：以原點為起點，M為終點的向量，例如.空間的點M有序數(shù)組向量

的坐標分解式：特殊點的表示:坐標軸上的點坐標面上的點四、利用坐標作向量的線性運算設（為實數(shù)）推論：則當分母為0時表示分子也為0說明：(1)例2求解以向量為未知元的線性方程組其中解如同解以實數(shù)為未知元的線性方程組一樣，可解得以的坐標表示式代入，即得解設為直線上的點，由題意知：這就是點M的坐標.

))((例3已知A和B以及實數(shù)AB直線上求點M,使x2,,y2,z2x1,,y1,z11-1l，在這就是空間坐標中定比分點公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點的距離公式向量的模：設有點，則其距離為例4求證以三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解因為同理可得所以,

,即

為等腰三角形.例6已知兩點A(4,0,5)和B(7,1,3),求與AB

平行的單位向量.解因為AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以例5在z軸上求與兩點A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點.解因為所求的點M在z軸上,即兩邊去根號,解得所求的點M(0,0,).與AB

平行的單位向量為：所以設M(0,0,z),依題義有2.方向角與方向余弦兩向量的夾角的概念：特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.設AB類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.跟異面直線的夾角定義相似OMPQROzyx非零向量與三條坐標軸的正向的夾角方向角：r的方向角：設非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:單位向量的方向余弦為:例7已知兩點和，計算向量得模、方向余弦和方向角.

解解依題意有由關系式得因點A在第卦限,知于是這就是點A的坐標.例8設點A位于第卦限,向徑OA與x軸、y軸的夾角依次為和，且，求點A的坐標。3.向量在軸上的投影.空間一點在軸上的投影:設，則數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或.

則或記作過點作軸的垂直平面，交點即為點在軸上的投影.注意：設(2)

性質(zhì)1(即),

其中為向量與軸的夾角;

性質(zhì)2(即);性質(zhì)3(即).