第八章空間解析幾何與向量代數(shù)-81及其線性運(yùn)算

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、向量概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算五、向量的模、方向角、投影一、向量概念向量：有向線段.符號(hào)表示：，，，，等.向量的大小：長(zhǎng)度的值.自由向量：只研究大小與方向，與起始點(diǎn)無關(guān).向量的相等：大小相等且方向相同.向量的模：向量的長(zhǎng)度.||，||單位向量：模為1的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意.AB向量平行：兩個(gè)非零向量與的方向相同或者相反.兩向量的夾角的概念：特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.設(shè)AB跟異面直線的夾角定義相似Ok個(gè)向量共面：k(2)個(gè)有公共起點(diǎn)的向量的k個(gè)終點(diǎn)和起點(diǎn)在一個(gè)平面上.向量共線：當(dāng)平行向量的起點(diǎn)在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在同一條直線上。二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加減法加法：(2)平行四邊形法則(1)三角形法則多個(gè)向量相加，可以按照三角形法則.a+b+c+dabcd二、向量的線性運(yùn)算向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.減法：特例：注意：兩邊之和大于第三邊表示兩向量起點(diǎn)相同,方向相反2.向量與數(shù)的乘法向量與實(shí)數(shù)的乘積記作數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：向量的加減與數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算ABDCM例1在平行四邊形ABCD中，試用

和

表示向量、、和這里M是平行四邊形對(duì)角線的角交點(diǎn).解由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,所以即于是因?yàn)樗杂忠蛩杂捎谒陨鲜奖砻鳎阂粋€(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.任意非零向量都可單位化：兩個(gè)向量的平行關(guān)系定理設(shè)向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使.證：充分性顯然；必要性‖設(shè)取當(dāng)與同向時(shí)取正值，當(dāng)與反向時(shí)取負(fù)值，即有此時(shí)與同向，且的唯一性設(shè)又設(shè)兩式相減，得即故即定理設(shè)向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使.．．OiPxx點(diǎn)P實(shí)數(shù)x軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是.=xi=

xi向量三、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸：取空間一個(gè)定點(diǎn)O,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別叫作x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸);點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)（或原點(diǎn)）.通常取x軸、y軸水平放置；z軸豎直放置，它們的正向符合右手法則.OZYX圖7-1Oxyz坐標(biāo)系可記作[O；，，]坐標(biāo)系坐標(biāo)面：空間直角坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面。xOy面、yOz面、xOz面.卦限：坐標(biāo)面將空間分為八個(gè)卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量

的坐標(biāo)分解式：向徑：以原點(diǎn)為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)的向量，例如.空間的點(diǎn)M有序數(shù)組向量

的坐標(biāo)分解式：特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)（為實(shí)數(shù)）推論：則當(dāng)分母為0時(shí)表示分子也為0說明：(1)例2求解以向量為未知元的線性方程組其中解如同解以實(shí)數(shù)為未知元的線性方程組一樣，可解得以的坐標(biāo)表示式代入，即得解設(shè)為直線上的點(diǎn)，由題意知：這就是點(diǎn)M的坐標(biāo).

))((例3已知A和B以及實(shí)數(shù)AB直線上求點(diǎn)M,使x2,,y2,z2x1,,y1,z11-1l，在這就是空間坐標(biāo)中定比分點(diǎn)公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)的距離公式向量的模：設(shè)有點(diǎn)，則其距離為例4求證以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解因?yàn)橥砜傻盟?

,即

為等腰三角形.例6已知兩點(diǎn)A(4,0,5)和B(7,1,3),求與AB

平行的單位向量.解因?yàn)锳B=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以例5在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點(diǎn).解因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)M在z軸上,即兩邊去根號(hào),解得所求的點(diǎn)M(0,0,).與AB

平行的單位向量為：所以設(shè)M(0,0,z),依題義有2.方向角與方向余弦兩向量的夾角的概念：特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.設(shè)AB類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.跟異面直線的夾角定義相似OMPQROzyx非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角方向角：r的方向角：設(shè)非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:單位向量的方向余弦為:例7已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量得模、方向余弦和方向角.

解解依題意有由關(guān)系式得因點(diǎn)A在第卦限,知于是這就是點(diǎn)A的坐標(biāo).例8設(shè)點(diǎn)A位于第卦限,向徑OA與x軸、y軸的夾角依次為和，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。3.向量在軸上的投影.空間一點(diǎn)在軸上的投影:設(shè)，則數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或.

則或記作過點(diǎn)作軸的垂直平面，交點(diǎn)即為點(diǎn)在軸上的投影.注意：設(shè)(2)

性質(zhì)1(即),

其中為向量與軸的夾角;

性質(zhì)2(即);性質(zhì)3(即).