第二節(jié)-牛頓迭代法

第三節(jié)

牛頓迭代法與弦割法1、牛頓法基本思想將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解。將非線性方程線性化，取x0

x*，將f(x)在x0

處做一階Taylor展開(kāi):，在x0

和x

之間2.

牛頓迭代法的原理

，可將(x*

x0)2

看成高階小量，則有：如何實(shí)現(xiàn)？？取xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，則

x*就是f

的根。是如下線性方程的根！3.牛頓迭代法的幾何解釋：方程的根在幾何上是曲線與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若是根的一個(gè)近似，過(guò)曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為。xyx*x0例2.5：寫出求的牛頓迭代格式；寫出求的牛頓迭代格式,要求公式中既無(wú)開(kāi)方運(yùn)算，又無(wú)除法運(yùn)算。解：等價(jià)于求方程的正根解法一：等價(jià)于求方程的根退化為二分法??！解法二：等價(jià)于求方程的正根設(shè)x*

為方程f(x)=0的根，在包含x*的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，則存在x*的鄰域，使得任取初值，由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列以不低于二階的收斂速度收斂于x*.4、牛頓迭代法的局部收斂性定理其中，則收斂證明：牛頓迭代法事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代定義1.

--------(9)3.5迭代法收斂階與加速收斂1、迭代法收斂階與加速收斂定理3-6.

2.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;

（2）

定理

設(shè)f(x*)=0,,且在x*的鄰域上f二次連續(xù)可微

，則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開(kāi),并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故

所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,及,故例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的

Newton迭代公式是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代,其迭代函數(shù)為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.

方法有效前提:

Newton迭代法的特征

牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過(guò)程中只要迭代幾次就會(huì)得到很精確解。

缺點(diǎn):1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計(jì)算量比較大:因每次迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果;21牛頓迭代法的改進(jìn)缺點(diǎn)克服:

1.局部線性收斂------改進(jìn)公式或加速2.每步都要計(jì)算微商值-----簡(jiǎn)化Newton迭代法

或弦截法3.初值近似問(wèn)題-------二分法求初值或”下山算法”21方法一.若已知重?cái)?shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時(shí),,至少2階收斂.不實(shí)用:m往往不確定.方法二.取,再對(duì)函數(shù)F(x)用Newton迭代:6.Newton法的改進(jìn)(I)---重根情形從而可構(gòu)造出相應(yīng)的迭代法格式為對(duì)構(gòu)造出相應(yīng)的牛頓迭代格式，迭代函數(shù)為若已知根的重?cái)?shù)為n，可將迭代格式改為，則，所以上述格式是平方收斂的。收斂比牛頓迭代法慢，且對(duì)初值要求同樣高。第五節(jié)弦割法x0x1切線

割線

切線斜率

割線斜率需要2個(gè)初值x0

和x1?；舅枷耄号ｎD迭代法每一步要計(jì)算f和，為了避免計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，現(xiàn)用f

的差商近似代替微商，從而得到弦割法。x2Th2.10

局部收斂性設(shè)表示區(qū)間，x*為方程f(x)=0的根，函數(shù)f(