第二節(jié)-牛頓迭代法

第三節(jié)

牛頓迭代法與弦割法1、牛頓法基本思想將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解。將非線性方程線性化，取x0

x*，將f(x)在x0

處做一階Taylor展開:，在x0

和x

之間2.

牛頓迭代法的原理

，可將(x*

x0)2

看成高階小量，則有：如何實現？？取xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，則

x*就是f

的根。是如下線性方程的根！3.牛頓迭代法的幾何解釋：方程的根在幾何上是曲線與x

軸的交點的橫坐標。若是根的一個近似，過曲線上橫坐標為的點作曲線的切線，則該切線與

x軸交點的橫坐標即為。xyx*x0例2.5：寫出求的牛頓迭代格式；寫出求的牛頓迭代格式,要求公式中既無開方運算，又無除法運算。解：等價于求方程的正根解法一：等價于求方程的根退化為二分法?。〗夥ǘ旱葍r于求方程的正根設x*

為方程f(x)=0的根，在包含x*的某個開區(qū)間內連續(xù)，且，則存在x*的鄰域，使得任取初值，由牛頓迭代法產生的序列以不低于二階的收斂速度收斂于x*.4、牛頓迭代法的局部收斂性定理其中，則收斂證明：牛頓迭代法事實上是一種特殊的不動點迭代定義1.

--------(9)3.5迭代法收斂階與加速收斂1、迭代法收斂階與加速收斂定理3-6.

2.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;

（2）

定理

設f(x*)=0,,且在x*的鄰域上f二次連續(xù)可微

，則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開,并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故

所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,及,故例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的

Newton迭代公式是一種特殊的不動點迭代,其迭代函數為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.

方法有效前提:

Newton迭代法的特征

牛頓迭代法的優(yōu)缺點優(yōu)點：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確解。

缺點:1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計算量比較大:因每次迭代除計算函數值外還要計算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結果;21牛頓迭代法的改進缺點克服:

1.局部線性收斂------改進公式或加速2.每步都要計算微商值-----簡化Newton迭代法

或弦截法3.初值近似問題-------二分法求初值或”下山算法”21方法一.若已知重數m(m>1),則利用m構造新的迭代公式:此時,,至少2階收斂.不實用:m往往不確定.方法二.取,再對函數F(x)用Newton迭代:6.Newton法的改進(I)---重根情形從而可構造出相應的迭代法格式為對構造出相應的牛頓迭代格式，迭代函數為若已知根的重數為n，可將迭代格式改為，則，所以上述格式是平方收斂的。收斂比牛頓迭代法慢，且對初值要求同樣高。第五節(jié)弦割法x0x1切線

割線

切線斜率

割線斜率需要2個初值x0

和x1。基本思想：牛頓迭代法每一步要計算f和，為了避免計算導數值，現用f

的差商近似代替微商，從而得到弦割法。x2Th2.10

局部收斂性設表示區(qū)間，x*為方程f(x)=0的根，函數f(