第八章-隨機(jī)解釋變量問題

◆學(xué)習(xí)目的了解隨機(jī)解釋變量問題的概念、產(chǎn)生的原因及造成的后果、克服的方法?！艋疽?)認(rèn)識到隨機(jī)解釋變量問題是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模經(jīng)常會遇到的問題;2)了解隨機(jī)解釋變量問題的概念、產(chǎn)生的原因及造成的后果;3)掌握存在隨機(jī)解釋變量問題時的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法及應(yīng)用。第八章隨機(jī)解釋變量問題主講人：楊君

一、線性回歸模型的基本假設(shè)

假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機(jī)變量；假設(shè)2、隨機(jī)誤差項具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假設(shè)3、隨機(jī)誤差項與解釋變量X之間不相關(guān)：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布i~N(0,2)i=1,2,…,n回顧

1、如果假設(shè)1、2滿足，則假設(shè)3也滿足;2、如果假設(shè)4滿足，則假設(shè)2也滿足。注意：

以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

回顧

普通最小二乘估計量（ordinaryleastSquaresEstimators）稱為最佳線性無偏估計量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）

高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。回顧◆隨機(jī)解釋變量問題及其產(chǎn)生原因◆隨機(jī)解釋變量的影響◆隨機(jī)解釋變量問題的修正第八章隨機(jī)解釋變量問題第一節(jié)隨機(jī)解釋變量問題及其產(chǎn)生原因—、隨機(jī)解釋變量問題

在很多情況下，我們不能假定解釋變量全部是確定性變量，而實際上它們有的是隨機(jī)變量，我們把違背這一基本假設(shè)的問題稱為隨機(jī)解釋變量問題。對于模型

其基本假設(shè)之一是解釋變量X1，X2，…，Xk都是確定性變量。如果存在一個或多個解釋變量為隨機(jī)變量，則稱原模型存在隨機(jī)解釋變量問題。例:為討論方便，假設(shè)(8-1)式中X2為隨機(jī)解釋變量。

1.隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項獨立(Independence)

2.

隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項同期無關(guān)(contemporaneouslyuncorrelated)，但異期相關(guān)。

3.隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項同期相關(guān)(contemporaneouslycorrelated)。

實際經(jīng)濟(jì)問題中的隨機(jī)解釋變量問題

在實際經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)濟(jì)變量往往都具有隨機(jī)性。但是在單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，凡是外生變量都被認(rèn)為是確定性的。于是隨機(jī)解釋變量問題主要表現(xiàn)于：用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。但是，并不是所有包含滯后被解釋變量的模型都帶來“隨機(jī)解釋變量問題”二、隨機(jī)解釋變量問題產(chǎn)生的原因耐用品存量調(diào)整模型。著名的“耐用品存量調(diào)整模型”可表示為例8-1:

該模型表示，耐用品的存量

由前一個時期的存量

和當(dāng)期收入

共同決定。這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不

只與

相關(guān)，與

不相關(guān)，屬于隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項同期無關(guān)，但異期相關(guān)的情況。

存在隨機(jī)干擾項的序列相關(guān)性，那么隨機(jī)解釋變量

（2）合理預(yù)期的消費函數(shù)模型

合理預(yù)期理論認(rèn)為消費Ct是由對收入的預(yù)期Yte所決定的：

預(yù)期收入Yte與實際收入Y間存如下關(guān)系的假設(shè)

容易推出Ct-1是一隨機(jī)解釋變量，且與(t-t-1)高度相關(guān)（Why?）。屬于上述第3種情況。第二節(jié)隨機(jī)解釋變量的影響

計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)干擾項相關(guān)的話，如果仍采用普通最小二乘法估計模型參數(shù)，則不同性質(zhì)的隨機(jī)解釋變量問題會產(chǎn)生不同的后果。以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說明。圖8-1

從圖形(圖4-1)上看，如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項正相關(guān)，則在抽取樣本時，容易出現(xiàn)X值較小的點在總體回歸線下方，而X值較大的點在總體回歸線上方的情況，因此，擬合的樣本回歸線則可能低估(underestimate)了截距項，而高估(overestimate)斜率項。反之，如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項負(fù)相關(guān)，則往往導(dǎo)致擬合的樣本回歸線高估截距項，而低估斜率項。對一元線性回歸模型在第二章曾得到如下最小二乘估計量：隨機(jī)解釋變量X與隨機(jī)干擾項的關(guān)系不同，參數(shù)OLS估計量的統(tǒng)計性質(zhì)也會不同。分三種不同情況：而,所以同理，所以參數(shù)OLS估計量,仍然是無偏一致估計量1、如果X與相互獨立，得到的參數(shù)估計量仍然是無偏、一致估計量。

2、如果X與同期不相關(guān)，異期相關(guān)，得到的參數(shù)估計量有偏、但卻是一致的。

kt的分母中包含不同期的X；由異期相關(guān)性知：kt與t相關(guān)，因此，但是

注意：

如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當(dāng)該滯后被解釋變量與隨機(jī)誤差項同期相關(guān)時，OLS估計量是有偏的、且是非一致的。即使同期無關(guān)，其OLS估計量也是有偏的，因為此時肯定出現(xiàn)異期相關(guān)。

3、如果X與同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致。

第三節(jié)隨機(jī)解釋變量問題的修正工具變量的選取工具變量的應(yīng)用工具變量法估計量的性質(zhì)

模型中出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量并且與隨機(jī)干擾項相關(guān)時，普通最小二乘估計量是有偏的。如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項異期相關(guān)，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；但如果是同期相關(guān)，即使增大樣本容量也無濟(jì)于事。這時，最常用的方法是工具變量(instrumentvariables)法。一、工具變量的選取——在模型估計過程中被作為工具使用的變量，

用以替代與隨機(jī)干擾項相關(guān)的隨機(jī)解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：1.工具變量Z與所替代的隨機(jī)解釋變量X高度相關(guān)，即2.工具變量Z與隨機(jī)干擾項不相關(guān)，即3.工具變量Z與模型中其他解釋變量不相關(guān)，以避免出現(xiàn)多重共線性。

工具變量二、工具變量的應(yīng)用（以一元回歸模型為例說明）

記一元線性回歸模型如下：用普通最小二乘法估計模型得正規(guī)方程組：

按照工具變量的選擇條件選擇z為X的工具變量得正規(guī)方程組：于是于是

然而，如果Xi與i相關(guān)，即使在大樣本下，也不存在

(xii)/n0

，則在大樣本下也不成立，OLS估計量不具有一致性。由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味著大樣本下

(xii)/n0

表明大樣本下成立，即OLS估計量具有一致性。

采用工具變量法得到的正規(guī)方程組為二、工具變量的應(yīng)用（以多元線性回歸模型為例說明）

其矩陣形式為采用參數(shù)估計量得到的正規(guī)方程組為（4-22）其中通常，對于沒有選擇另外的變量作為工具變量的解釋變量，可以認(rèn)為用自身作為工具變量。于是Z稱為工具變量矩陣。三、工具變量法估計量的性質(zhì)1．工具變量法估計量是有偏估計量2．工具變量法估計量是一致估計量1．工具變量法估計量是有偏估計量

用工具變量法所求的參數(shù)估計量

與總體參數(shù)真值

之間的關(guān)系為于是因Z和X都是隨機(jī)變量，在一般情況下，故

上式說明工具變量法估計量一般不具有無偏性。這說明工具變量法估計量具一致性。2．工具變量法估計量是一致估計量如果工具變量Z選取恰當(dāng)，則有

因此，對式（4-23），兩邊取概率極限得隨機(jī)解釋變量的Eviews操作實例1，已知1978-1998年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP、宏觀消費CONS、資本總額CAPI數(shù)據(jù)。假設(shè)最初建立模型為：

CONS=β0+β1GDP+μGDP為隨機(jī)解釋變量，必定與隨機(jī)誤差項相關(guān)?！捎霉ぞ咦兞糠ㄟM(jìn)行修正操作步驟：１、建立工作文件e4-4-2，建立數(shù)據(jù)組并輸入數(shù)據(jù)

2、計算CONS=β0+β1GDP+μ的回歸結(jié)果3、生成殘差序列e=resid4、用殘差序列e和CAPI做相關(guān)分析

E與CAPI的相關(guān)系數(shù)為-0.0328，說明兩者不相關(guān)，所以選擇CAPI作為GDP的工具變量5、用工具變量進(jìn)行修正引入工具變量后得到的回歸方程為：引入工具變量前得到的回歸方程為：(1)在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。注意：幾個重要的概念

(2)工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為“工具”被使用。(3)如果模型中有兩個以上的隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項相關(guān)，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結(jié)果。(4)OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。

(5)要找到與隨機(jī)擾動項不相關(guān)而又與隨機(jī)解釋變量相關(guān)的工具變量并不是一件很容易的事

可以用Xt-1作為原解釋變量Xt的工具變量。

案例2：居民總消費模型以居民消費總額JMXF為被解釋變量；以GDP和JMXF(-1)為解釋變量；進(jìn)行OLS估計。JMXF(-1)為隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)誤差項相關(guān)；以政府消費ZFXF作為工具變量，進(jìn)行IV估計。數(shù)據(jù)OLS估計IV估計估計結(jié)果OLS:JMXF=1001.164757+0.1367699684*GDP+0.7238178139*JMXF(-1)IV:JMXF=1059.996753+0.1584492759*GDP+0.6655810226*JMXF(-1)

IV案例：居民總消費模型以居民消費總額JMXF為被解釋變量；以GDP和JMXF(-1)為解釋變量；進(jìn)行OLS估計。經(jīng)分析，GDP可能為隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)誤差項相關(guān)；以政府消費ZFXF作為工具變量，進(jìn)行IV估計；以政府消費ZFXF和資本形成ZBXC作為工具變量，進(jìn)行GMM估計。數(shù)據(jù)解釋變量的內(nèi)生性檢驗——Hausman檢驗如果δ顯著為0→v與Y同期無關(guān)→v與μ同期無關(guān)→X與μ同期無關(guān)→X是同期外生變量；如果δ顯著不為0→v與Y同期相關(guān)→v與μ同期相關(guān)→X與μ同期相關(guān)→X是同期內(nèi)生變量。Z1外生，與μ不相關(guān)選擇Z2作為X的工具變量解釋變量的內(nèi)生性檢驗——Hausman檢驗如果δ顯著為0→v與Y同期無關(guān)→v與μ同期無關(guān)→X與μ同期無關(guān)→X是同期外生變量；如果δ顯著不為0→v與Y同期相關(guān)→v與μ同期相關(guān)→X與μ同期相關(guān)→X是同期內(nèi)生變量。JMXF(-1)外生，與μ不相關(guān)分別選擇ZFXF與ZBXC作為GDP的工具變量選擇ZFXF作為GDP的工具變量檢驗GDP是否為內(nèi)生變量做如下方程，求殘差項V把殘差項V代入方程DependentVariable:JMXFMethod:LeastSquaresDate:09/23/11Time:08:13Sample:19792005Includedobservations:27VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1216.304280.01904.3436500.0002GDP0.3308590.0683944.8375410.0001JMXF(-1)0.2047140.1828071.1198400.2743V0.2977150.0963913.0886270.0052R-squared0.998346Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.998130S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression945.5075Akaikeinfocriterion16.67727Sumsquaredresid20561641Schwarzcriterion16.86925Loglikelihood-221.1432F-statistic4627.565Durbin-Watsonstat1.048512Prob(F-statistic)0.000000由分析結(jié)果中的V檢驗，可知GDP是內(nèi)生性變量IV估計用ZFXF作為GDP的工具變量進(jìn)行分析軟件操作：EVIEWS-----Quick------EstimateEquationDependentVariable:JMXFMethod:Two-StageLeastSquaresDate:09/23/11Time:08:27Sample(adjusted):19792005Includedobservations:27afteradjustingendpointsInstrumentlist:CZFXFJMXF(-1)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C972.6883321.30333.0273220.0058GDP0.1208470.0419822.8785290.0083JMXF(-1)0.7658610.1114746.8703320.0000R-squared0.997635Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.997437S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression1106.898Sumsquaredresid29405335F-statistic5056.138Durbin-Watsonstat0.517847Prob(F-statistic)0.000000ZFXF作為GDP的工具變量的分析結(jié)果：GMM估計用ZFXF和ZBXC作為GDP的工具變量進(jìn)行分析軟件操作：EVIEWS-----Quick------EstimateEquationZFXF和ZBZC作為GDP的工具變量的分析結(jié)果：DependentVariable:JMXFMethod:GeneralizedMethodofMomentsBandwidth:Fixed(2)Kernel:BartlettConvergenceachievedafter:2weightmatricies,3totalcoefiterationsInstrumentlist:CZFXFZBXCJMXF(-1)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C975.1255382.97082.5462140.0177GDP0.1218420.0353963.4422640.0021JMXF(-1)0.7631300.0902668.4542180.0000R-squared0.997638Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.997441S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression1106.190Sumsquaredresid29367767Durbin-Watsonstat0.516445J-sta