人教版八年級下冊數(shù)學(xué)第17章勾股定理課件

17.1勾股定理第一課時第二課時第三課時人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

勾股定理第一課時返回數(shù)學(xué)家曾建議用這個圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號.導(dǎo)入新知你知道這是為什么嗎？1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理.

2.能用勾股定理解決一些簡單問題.素養(yǎng)目標(biāo)3.通過利用勾股定理解決簡單問題，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察一下圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？探究新知知識點(diǎn)1勾股定理的認(rèn)識與證明ABC2.由這三個正方形A，B，C的邊長構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長度之間有怎樣的特殊關(guān)系？

【思考】1.三個正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SC探究新知（圖中每個小方格是1個單位面積）A中含有____個小方格，即A的面積是

個單位面積．B的面積是

個單位面積．C的面積是

個單位面積．99189ABC圖1結(jié)論：圖1中三個正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關(guān)系是:SA+SB=SC

【討論】1.三個正方形A，B，C

的面積有什么關(guān)系？探究新知【討論】2.SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC圖2結(jié)論：仍然成立。A的面積是

個單位面積．B的面積是

個單位面積．C的面積是

個單位面積．25169（圖中每個小方格是1個單位面積）探究新知你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流．ABC問題2

式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來表示嗎?問題4

那么直角三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系式是:abc

至此，我們在網(wǎng)格中驗證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SCa2+b2=c2a2+b2=c2問題1

去掉網(wǎng)格結(jié)論會改變嗎？問題3去掉正方形結(jié)論會改變嗎？探究新知命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b,斜邊長為c，那么a2+b2=c2.abc猜想：拼圖證明

是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？光靠實(shí)驗和猜想還不能把問題徹底搞清楚.這就需要我們對一般的直角三角形進(jìn)行證明．下面我們就一起來探究，看一看我國古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個命題的．探究新知

以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形如圖1連在一起，通過剪、拼把它拼成圖2的樣子.你能做到嗎？試試看.趙爽拼圖證明法：c圖1黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)圖2c小組活動：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個連體正方形，拼成一個新的正方形.

探究新知黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)b

a〓

MNP剪、拼過程展示：探究新知“趙爽弦圖”黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)cab探究新知∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，證明：

畢達(dá)哥拉斯證法：請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.探究新知aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2

=c2+2ab，探究新知aabbcc∴a2+b2=c2.美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.證明：∵探究新知勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.abc勾股弦abc表示為：Rt△ABC中，∠C=90°則探究新知ABC

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.cbaa2

+b2=c2a2=c2－b2b2=c2-a2探究新知公式變形1.求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144鞏固練習(xí)在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾2+股2=弦2探究新知小貼士

例1

如圖，在Rt△ABC中，

∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得CAB利用勾股定理求直角三角形的邊長素養(yǎng)考點(diǎn)1cba探究新知2.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；

（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得52+122=c2

c=13解：由勾股定理得62+b2=102

b=8解：由勾股定理得a2+152=252

a=20acb鞏固練習(xí)abc（1）若a：b=1：2

，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

例2

在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得提示：已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長求未知兩邊時，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.探究新知勾股定理和方程相結(jié)合求直角三角形的邊長素養(yǎng)考點(diǎn)2（舍去）（舍去）3.求出下列直角三角形中未知邊的長度：68x5x13解：（1）由勾股定理得：

=36+64

=100x2=62+82x=10∵x2+52=132∴x2=132-52

=169-25

=144x=12（2）由勾股定理得：鞏固練習(xí)1.（2018?濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A．5

B．6

C．7

D．8鞏固練習(xí)連接中考A2.（2019?畢節(jié)市）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（）A． B．3

C．D．5B1.若一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為（）

A.7或1

B.

C.5或

D.15或122.若一個直角三角形的斜邊長為17，一條直角邊長為15，則另一直角邊長為（）

A.8

B.40

C.50

D.363.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，則a=_____，b=______.CA6080課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題ABCD7cm4．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2

．49課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時，如圖，當(dāng)BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖提示：當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.課堂檢測能力提升題

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.

根據(jù)三角形面積公式，

∴

AC×BC=AB×CD.

∴CD=.ADBC34提示：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．課堂檢測拓廣探索題勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論課堂小結(jié)證明構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問題第二課時返回

這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用勾股定理解決實(shí)際問題.導(dǎo)入新知波平如鏡一湖面，3尺高處出紅蓮.亭亭多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊.離開原處6尺遠(yuǎn)，花貼湖面像睡蓮.請君動腦想一想，湖水在此深幾尺？2.能應(yīng)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題.1.能應(yīng)用勾股定理計算直角三角形的邊長.素養(yǎng)目標(biāo)3.從實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形解決生產(chǎn)、生活中的有關(guān)問題.

一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

已知條件有哪些？探究新知知識點(diǎn)1

勾股定理解決線段長度問題【思考】1.木板能橫著或豎著從門框通過嗎？2.這個門框能通過的最大長度是多少？不能3.怎樣判定這塊木板能否通過木框？求出斜邊的長，與木板的寬比較.探究新知小于AC即可解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，

AC2=AB2+BC2=12+22=5．

AC=≈2.24．因為AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過．探究新知1.如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果取整數(shù)）.解:鞏固練習(xí)≈57m

如圖，一架2.6米長的梯子AB

斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？知識點(diǎn)2

勾股定理解決線段移動問題探究新知CODBA（2）在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.探究新知答：梯子的底端B距墻角O為1米.答：梯子底端B也外移約0.77米.2.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長各幾何？請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答這個問題.譯：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？ABC鞏固練習(xí)ABC解：設(shè)AB=x,則AC=x+1，有AB2+BC2=AC2，可列方程，得x2+52=（x＋1）2

，解方程得x=12.

因此x+1=13鞏固練習(xí)答：這個水池的深度是12尺，這根蘆葦?shù)拈L度是13尺.鞏固練習(xí)連接中考C1.（2018?東營）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B．C． D．解析：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=1.5π，所以AC=

，故選：C．鞏固練習(xí)連接中考52.（2019?南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有_____cm．解析：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度最長為：＝15，則筷子露在杯子外面的筷子長度最少為：20﹣15＝5（cm）．1.求出下列直角三角形中未知的邊.AC=8AB=17課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題ABC610ABC815ABC230°ABC245°2.直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形面積為7和8，則以斜邊為邊長的正方形的面積為

.15課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(5，0)和B(0，4)，求這兩點(diǎn)間的距離.解：在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4∴A、B兩點(diǎn)間的距離為.∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41∴AB=.4.一木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4米處.木桿折斷之前有多高？

解：由題意可知，在Rt△RPQ中，

∵PR=3，PQ=4，

∴RQ2＝PR2+PQ2＝32+42＝25

∴RQ＝5，PR+RQ＝3+5＝8∴木桿折斷之前有8m高.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題RPQ5.如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設(shè)AE=x

km，根據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即

152+x2=102+（25-x）2答：E站應(yīng)建在離A站10km處.∴x=10則

BE=（25-x）km1510課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長為()A.32 B.42 C.32或42 D.以上都不對C解析：如圖①，CD在△ABC內(nèi)部時，AB=AD+BD=9+5=14，此時，△ABC的周長=14+13+15=42，如圖②，CD在△ABC外部時，AB=AD-BD=9-5=4，此時，△ABC的周長=4+13+15=32.綜上所述，△ABC的周長為32或42.故選C.課堂檢測能力提升題如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（）.

A.3

B.

C.2

D.1ABABC21提示：

由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B課堂檢測拓廣探索題21化非直角三角形為直角三角形將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型課堂小結(jié)勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理作圖或計算第三課時返回欣賞下面海螺的圖片：在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，如第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽.導(dǎo)入新知這個圖是怎樣繪制出來的呢？2.能利用勾股定理在數(shù)軸上作出表示無理數(shù)的點(diǎn).1.會用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，建立數(shù)形結(jié)合的思想.素養(yǎng)目標(biāo)3.靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，并會運(yùn)用勾股定理解決相應(yīng)的折疊問題.

在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？知識點(diǎn)1探究新知

證明“HL”已知：如圖，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′

．求證：△ABC≌△A′B′C′

．A

B

C

ABC′

′′′′′′′′證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

根據(jù)勾股定理，得ABCABC′

′′

∵AB=A′B′,

AC=A′C′

,∴

BC=B′C′

．∴

△ABC≌

△A′B′C′

（SSS）．探究新知-101

23問題1

你能在數(shù)軸上表示出的點(diǎn)嗎？呢？用同樣的方法作呢？探究新知知識點(diǎn)2

利用勾股定理在數(shù)軸上確定無理數(shù)提示：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長為無理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點(diǎn).【討論】根據(jù)上面問題你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？√√問題2

長為的線段能是直角邊的長都為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？探究新知01234步驟：lABC1.在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=3;2.作直線l⊥OA,在l上取一點(diǎn)B，使AB=2;3.以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).O探究新知也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點(diǎn).探究新知方法點(diǎn)撥利用勾股定理表示無理數(shù)的方法:（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點(diǎn)為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點(diǎn)，在原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示是負(fù)無理數(shù)，在原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示是正無理數(shù).01234lABC探究新知利用勾股定理在數(shù)軸上確定無理數(shù)的點(diǎn)素養(yǎng)考點(diǎn)1例1

在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn).作法：（1）在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA=1；（2）過點(diǎn)A作直線垂直于OA，在直線上取點(diǎn)B,

使AB=4，那么OB=；（3）以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作

弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則OC=.

如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)C為表示

的點(diǎn).

1.如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（）2.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為（）CD鞏固練習(xí)

在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網(wǎng)格中以A出發(fā)分別畫出長度為的線段AB．BBB探究新知知識點(diǎn)3

利用勾股定理在網(wǎng)格上做長度為無理數(shù)的線段A.A.A.A【想一想】如圖為4×4的正方形網(wǎng)格,以格點(diǎn)與點(diǎn)A為端點(diǎn),你能畫出幾條邊長為的線段?探究新知小結(jié)：勾股定理與網(wǎng)格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網(wǎng)格構(gòu)成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.

例2

如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的田字格，只用沒有刻度的直尺在這個田字格中最多可以作出多少條長度為的線段？解：如圖所示，有8條.素養(yǎng)考點(diǎn)1利用勾股定理在網(wǎng)格上作線段探究新知一個點(diǎn)一個點(diǎn)地找，不要漏解.

3.如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，畫出一個三角形的長分別為

.ABC解：如圖所示.鞏固練習(xí)A′B′如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B′處，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，且B′C＝3，求AM的長.解：連接BM，MB′.設(shè)AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.∵M(jìn)B＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2.即AM＝2.知識點(diǎn)4

利用勾股定理在折疊問題中求線段的長度探究新知探究新知方法點(diǎn)撥折疊問題中結(jié)合勾股定理求線段長的方法:(1)設(shè)一條未知線段的長為x(一般設(shè)所求線段的長為x)；(2)用已知線段或含x的代數(shù)式表示出其他線段長；(3)在一個直角三角形中應(yīng)用勾股定理列出一個關(guān)于x的方程；(4)解這個方程，從而求出所求線段長.4.

如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的F點(diǎn)處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.設(shè)EC=xcm，則EF=DE=(8－x)cm

，在Rt△ECF中,根據(jù)勾股定理得x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的長為3cm.鞏固練習(xí)（2018?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為_________．鞏固練習(xí)連接中考(-1，0)1.小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上作一個無理數(shù)后，于是在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點(diǎn)D，然后點(diǎn)D做一條垂直于數(shù)軸的線段CD，CD為3個單位長度，以原點(diǎn)為圓心，以到點(diǎn)C的距離為半徑作弧，交數(shù)軸于一點(diǎn)，則該點(diǎn)位置大致在數(shù)軸上（）A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間B課堂檢測D基礎(chǔ)鞏固題2.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則AB邊上的高為_______.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.如圖，OP＝1，過P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝

；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝

；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012＝______.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，求重疊部分△AFC的面積.解：易證△AFD′≌△CFB(AAS)，∴D′F=BF，設(shè)D′F=x，則AF=8-x，在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,(8-x)2=x2+42，

∴S△AFC=AF?BC=10．課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題∴AF=AB-FB=8-3=5，解得x=3.

5.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，求a的值.解：∵圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長為，即-1到A的距離是，∴點(diǎn)A所表示的數(shù)為.提示：求點(diǎn)表示的數(shù)時注意畫弧的起點(diǎn)不從原點(diǎn)起，因而所表示的數(shù)不是斜邊長.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為,求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．解：能力提升題課堂檢測解：如圖,若△ABC三邊的長分別為(a＞0)，請利用圖中的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．∴△ABC即為所求，ABC課堂檢測拓廣探索題利用勾股定理作圖或計算在數(shù)軸上表示出無理數(shù)的點(diǎn)利用勾股定理解決網(wǎng)格中的問題利用勾股定理解決折疊問題及其他圖形的計算通常與網(wǎng)格求線段長或面積結(jié)合起來通常用到方程思想課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)17.2勾股定理的逆定理第一課時第二課時（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

勾股定理的逆定理第一課時返回按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結(jié)，4個結(jié)，5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.導(dǎo)入新知1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、互逆定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù).

2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形.素養(yǎng)目標(biāo)

據(jù)說，古埃及人曾用如圖所示的方法畫直角.這種方法對嗎？探究新知知識點(diǎn)1勾股定理的逆定理345三邊分別為3，4，5，滿足關(guān)系：32+42=52，則該三角形是直角三角形．探究新知問題1

用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是做一做：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形(單位：cm).①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17．探究新知下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;

②7,24,25;

③8,15,17.問題2

這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3

古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.a2+b2=c2探究新知問題4

據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個例子，我們猜想：命題2如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.探究新知我覺得這個猜想不準(zhǔn)確，因為測量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.已知：如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且ABbcab證明：作?A1B1C1

在△ABC和△A1B1C

1中，

Ca求證：∠C=90°使∠C1=90°根據(jù)勾股定理，則有∠C=∠=90°探究新知BAB1C1=a，C1A1=bA1B12=B1C12+C1A12=a2+b2∵a2+b2=c2∴A1B1=c，∴AB=A1B1≌∴?ABC

?A1B1C1

符號語言：在△ABC中，若a2+b2=c2則△ABC是直角三角形探究新知

如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：bcCaBA探究新知方法點(diǎn)撥勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應(yīng)的角為直角.

例1

下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？(1)

a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，總結(jié)：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.1.下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是()A.1,2,3

B.2,3,4 C.4,5,6

D.2.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三個內(nèi)角比為1：2：1

B.三邊之比為1：2：

C.三邊之比為

D.三個內(nèi)角比為1：2：3DCDC鞏固練習(xí)例2若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=

，試說明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2勾股定理的逆定理和乘法公式判斷三角形3.若△ABC的三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.

試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴

a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.

即

(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，

即

a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.鞏固練習(xí)探究新知知識點(diǎn)2勾股數(shù)如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).

4.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是

(

)

A.3，4，6

B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D

鞏固練習(xí)方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.命題2

如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.看下邊的兩個命題：探究新知知識點(diǎn)3互逆命題和互逆定理你發(fā)現(xiàn)了什么？命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論

它們是題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個命題.發(fā)現(xiàn)1

兩個命題的條件和結(jié)論如下所示：發(fā)現(xiàn)2

兩個命題的條件和結(jié)論有如下聯(lián)系：探究新知?dú)w納總結(jié)：一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.探究新知5.說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；

逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．真命題．（2）對頂角相等；

逆命題：相等的角是對頂角．假命題．（3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．

逆命題：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．真命題．

任何一個命題都有逆命題；原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題．鞏固練習(xí)1.（2019?威海模擬）已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形鞏固練習(xí)連接中考B1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.3，4，7

B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.將直角三角形的三邊長擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形

B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形

D.不可能是直角三角形BA課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.寫出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題的真假性.(1)如果兩個角是直角，那么它們相等.(2)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.(3)如果，那么a≥0.解：(1)如果兩個角相等，那么這兩個角是直角.假命題.(2)在角的內(nèi)部，角的平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等.真命題.(3)如果a≥0，那么

.真命題.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.若△ABC的三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題A,B,C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？解：∵AB2+BC2＝122+52

=144+25=169，

AC2=132=169，∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正東方向，所以C地在B地的正北方向.課堂檢測能力提升題

如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由．解：AF⊥EF.理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.課堂檢測拓廣探索題勾股定理的逆定理內(nèi)容作用從三邊數(shù)量關(guān)系判定一個三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.注意最長邊不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股數(shù)一定是正整數(shù)課堂小結(jié)勾股數(shù)互逆命題和互逆定理

勾股定理的逆定理的應(yīng)用第二課時返回NEP

QR12工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都有一定的規(guī)格要求，如圖所示：該模板中的AB、BC

相交成直角才符合規(guī)定。你能測出這個零件是否合格呢？(身邊只有刻度尺)ABC導(dǎo)入新知在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學(xué)知識和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會被用到，這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)吧.導(dǎo)入新知2.進(jìn)一步加深對勾股定理與其逆定理之間關(guān)系的認(rèn)識.1.應(yīng)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題.素養(yǎng)目標(biāo)3.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.12

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEP

QR探究新知知識點(diǎn)1

利用勾股定理的逆定理解答角度問題【思考】1.認(rèn)真讀題，找已知是什么？“遠(yuǎn)航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如下圖.12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=18303.由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長，要求角，由此我們想到利用什么思想？要解決的問題是求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理探究新知【思考】2.需要解決的問題是什么？轉(zhuǎn)化的思想4.知道線段長度，通過線段長度來求角的度數(shù)，我們可以利用什么轉(zhuǎn)化呢？解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12探究新知方法點(diǎn)撥：解決實(shí)際問題的步驟：①標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；②構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；③應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解.1.在尋找馬航MH370航班過程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B.接到消息后，一艘艦艇以16海里/時的速度離開港口O(如圖所示)向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇在同時以12海里/時的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個半小時后相距30海里，問另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？鞏固練習(xí)解：由題意得，OB＝12×1.5＝18海里，OA＝16×1.5＝24海里，又∵AB＝30海里，∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°.∵∠DOA＝40°，∴∠BOD＝50°.則另一艘艦艇的航行方向是北偏西50°.鞏固練習(xí)

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD

的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5cm.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=

BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD探究新知知識點(diǎn)2

利用勾股定理的逆定理解答面積問題2.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA鞏固練習(xí)

如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運(yùn)用所學(xué)知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．知識點(diǎn)3探究新知

利用勾股定理的逆定理解答檢測問題3.

一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖所示