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文檔簡介

第九章

機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波機(jī)械振動(dòng):物體在某一位置附近所作的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。波動(dòng):振動(dòng)狀態(tài)在空間或媒質(zhì)中的傳播過程。簡稱為波。機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播稱為彈性波。變化電場和變化磁場在空間的傳播稱為電磁波。振動(dòng):描述物體狀態(tài)的物理量在某一數(shù)值附近所作的周期性變化。

簡諧振動(dòng)是最簡單、最基本的振動(dòng),是研究各種復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ)。振動(dòng)和波動(dòng)是緊密聯(lián)系的兩種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式,振動(dòng)的規(guī)律是研究波動(dòng)的必備基礎(chǔ)。9.1簡諧振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí),如果離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦函數(shù)(或正弦函數(shù))的規(guī)律隨時(shí)間變化,這種運(yùn)動(dòng)就稱為簡諧振動(dòng)。9.1.1簡諧振動(dòng)的特征和運(yùn)動(dòng)方程彈簧振子:一個(gè)質(zhì)量可忽略的彈簧和一個(gè)剛體所組成的振動(dòng)系統(tǒng)。下面以水平彈簧振子為例討論。坐標(biāo)原點(diǎn)O為平衡位置;取坐標(biāo)軸x向右,所受彈性力為:負(fù)號(hào)表示彈性力F的方向與位移的方向相反,始終指向運(yùn)動(dòng)物體的平衡位置,故稱之為線性回復(fù)力。1、受力特征在線性回復(fù)力作用下物體沿x軸圍繞平衡位置O點(diǎn)作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。(2)平衡位置是物體受力為零的位置。(1)位移是相對(duì)平衡位置的。說明2、動(dòng)力學(xué)方程特征由牛頓第二定律,有:則有:加速度與離開平衡位置的位移大小成正比,方向相反。令:簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程注意:ω僅由系統(tǒng)本身決定,與振動(dòng)情況無關(guān)。若某系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足上述微分方程,且ω由系統(tǒng)性質(zhì)決定,則該系統(tǒng)做簡諧振動(dòng)。(該判斷方法具有一般性,不僅適用于機(jī)械振動(dòng))。3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(振動(dòng)方程)由:可解得:或:簡諧振動(dòng)是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動(dòng)。A—振幅(離開平衡位置的最大距離)ω—角頻率(2π秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)或單位時(shí)間相位改變)—相位(描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量)—初相位利用上述判據(jù)判斷是否做簡諧振動(dòng)的步驟:(1)確定研究對(duì)象,分析受力。(2)找出平衡位置(受合外力為零的點(diǎn)),寫出回復(fù)力(或回復(fù)力矩)的表達(dá)式。(3)寫出動(dòng)力學(xué)方程(利用牛頓第二定律或剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律)。4、簡諧振動(dòng)的判椐若位移x,滿足或或結(jié)論:如果質(zhì)點(diǎn)所受的力可以表示為或質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系可以表示為或則質(zhì)點(diǎn)做簡諧振動(dòng)。5、簡諧振動(dòng)的速度和加速度由:

1)v、a與x的ω相同。2)4)三者相位依次差π/2

。3)a與x方向相反,且成正比。說明對(duì)時(shí)間t求一階和二階導(dǎo)數(shù),得9.1.2描述簡諧振動(dòng)的特征量(1)振幅A(2)角頻率描述物體振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量描述振動(dòng)狀態(tài)恢復(fù)的快慢。周期T

:振動(dòng)物體作一次完全振動(dòng)(即一次往復(fù)運(yùn)動(dòng))所經(jīng)歷的時(shí)間。單位:秒(s)頻率ν:周期的倒數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)物體振動(dòng)的次數(shù)。單位:赫茲(Hz)則稱為角頻率或圓頻率,單位為對(duì)于彈簧振子,固有周期固有頻率(3)初相位、相位和相位差—t=0時(shí)的相位,反映初始時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。初相位—描述物體振動(dòng)狀態(tài)的物理量相位相位差:同相

兩振動(dòng)步調(diào)相反。①同相和反相兩振動(dòng)步調(diào)相同。反相

txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2兩個(gè)同頻率的簡諧振動(dòng):②超前和滯后x2比x1較早達(dá)到正最大。x1比x2較早達(dá)到正最大。(4)振幅和初相位的確定由:初始條件:寫為:聯(lián)立1)和2)式,得:b)僅由中之一不能決定,需由其中兩個(gè)方程可求出。

a)

尚需滿足1)和2)所決定的狀態(tài)。注意例題1、單擺:質(zhì)量m,擺長l,試分析單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解:單擺受力如圖所示。取逆時(shí)針方向?yàn)榻俏灰痞鹊恼较?,則重力沿?cái)[球運(yùn)動(dòng)軌跡的切向分量為:負(fù)號(hào)表明該力的方向與角位移的方向相反。若θ很小,則有:即:擺球的切向運(yùn)動(dòng)方程為:因此,單擺在小角度下的擺動(dòng)是簡諧振動(dòng)。其中:單擺的周期:例題2、

一長為l的均勻細(xì)棒懸于其一端的光滑水平軸上,做成一復(fù)擺。此擺作微小擺動(dòng)的周期為多少?解:均勻細(xì)棒可看作剛體,分析所受力矩:取逆時(shí)針為正方向。θ很小,則:即:由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:所以是簡諧振動(dòng),其周期為:例題3、一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng),其角頻率。在t=0時(shí)刻,其初始位移,初始速度。求此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式。解:質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程及速度表達(dá)式分別為則根據(jù)初始條件可得:將初始條件和角頻率代入振動(dòng)方程有所以因此可以確定所以該質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)的表達(dá)式為例題4、一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng),其振動(dòng)曲線如圖所示。求此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式。x/m解:質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng),其振動(dòng)方程及速度表達(dá)式分別為由振動(dòng)曲線可知時(shí),由圖可知,即可以確定則該簡諧振動(dòng)的表達(dá)式為9.1.3簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法—振幅A作坐標(biāo)軸Ox,自O(shè)點(diǎn)作一矢量

OM,用表示。

t時(shí)刻與x軸的夾角—

相位ωt+

以恒定角速度ω

繞O點(diǎn)作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)—角頻率ω在t=0時(shí)與x軸的夾角—初相

矢量的端點(diǎn)M在x軸上的投影點(diǎn)P的坐標(biāo)為:所以,P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。P點(diǎn)的速度和加速度分別代表著簡諧振動(dòng)的速度和加速度。例題5、一作簡諧振動(dòng)的物體,其振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出該振動(dòng)的表達(dá)式。解:振動(dòng)方程為由振動(dòng)曲線可知,振幅為t=0時(shí),且其初始速度作旋轉(zhuǎn)矢量圖,如右圖??傻闷湔駝?dòng)初相位為又t=1s時(shí),由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知:則振動(dòng)方程為:例題6、一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng),振幅A=0.12

m,周期T=2

s,當(dāng)t=0時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移x0

=0.06m,此時(shí)向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)此振動(dòng)的表達(dá)式。(2)從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)間。

利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解,根據(jù)初始條件就可畫出振幅矢量的初始位置,從而得到:解

(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)振動(dòng)方程為:(2)由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知,從起始時(shí)刻到第一次質(zhì)點(diǎn)通過原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為:

v0>0時(shí),在3,4象限。v0

<0時(shí),在1,2象限。

x0

>0

時(shí),在1,4象限。x0<0

時(shí),在2,3象限。討論:9.1.4簡諧振動(dòng)的能量2、簡諧振動(dòng)的勢能

1、簡諧振動(dòng)的動(dòng)能3、簡諧振動(dòng)的總能量(以彈簧振子為例)振動(dòng)能量曲線如右圖①Ep與Ek

振幅相同,變化規(guī)律相同,周期相同,相位相反。②系統(tǒng)總能量守恒,與振幅的平方成正比,動(dòng)能與勢能相互轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)與外界無能量交換(無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng))③E∝A2,這是一切振動(dòng)形式的共同性質(zhì)。說明9.2簡諧振動(dòng)的合成9.2.1同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成:則合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程:設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同振動(dòng)方向,同頻率的簡諧振動(dòng)有:令其中:

合成結(jié)果仍為簡諧運(yùn)動(dòng)合振動(dòng)與分振動(dòng)在同一方向,且有相同頻率。說明:用旋轉(zhuǎn)矢量法研究同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成:由旋轉(zhuǎn)矢量圖可以直接得到合振動(dòng)的振幅及初相位。討論:(1)

(2)同相,合振幅最大反相,合振幅最小當(dāng)A1

=A2時(shí),質(zhì)點(diǎn)靜止。(3)一般情況(相位差任意)相位差在同頻率簡諧振動(dòng)合成中起決定性作用9.2.2同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成兩振動(dòng)的相位差隨時(shí)間變化。

一般情況下,合振動(dòng)不再是簡諧振動(dòng)。合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為:設(shè)兩振動(dòng)的振幅相同,都為A0,初相相同為。兩頻率都較大,而頻率差很小的情況。合振幅出現(xiàn)時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象—拍現(xiàn)象討論:x1x2ttxt當(dāng)

都很大,且相差甚微時(shí),可將視為振幅變化部分,合成振動(dòng)是以為角頻率的周期振動(dòng)。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻。拍現(xiàn)象的應(yīng)用:

用音叉振動(dòng)校準(zhǔn)樂器測定超聲波測定無線電頻率調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率等9.2.3同頻率相互垂直的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成消去參數(shù)t,得軌跡方程。橢圓方程,形狀決定于分振動(dòng)的振幅和相位差。運(yùn)動(dòng)方程:軌跡:1、兩個(gè)分振動(dòng)同相。合運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng),角頻率與初相不變。運(yùn)動(dòng)方程:合運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng),角頻率與初相不變。軌跡:2、兩個(gè)分振動(dòng)反相軌跡:y比x相位超前/2,橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的方向是順時(shí)針,即右旋的。3、軌跡:y比x相位滯后/2,橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的方向是逆時(shí)針,即左旋的。4、9.2.4不同頻率相互垂直的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成(1)若兩分振動(dòng)的頻率差異很小,可近似看成同頻率的合成,不過相位差不是定值而是在緩慢地變化,故合振動(dòng)是不穩(wěn)定的,由直線→橢圓→直線,重復(fù)進(jìn)行。xA1yo-A1A2-A2A2xA1yo-A2-A1A1yoA2x-A2-A1(2)若兩分振動(dòng)的頻率差別較大,但有簡單的整數(shù)比,則合振動(dòng)的軌跡是穩(wěn)定的封閉曲線(李薩如圖形)。9.3阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振9.3.1阻尼振動(dòng)1、阻尼的分類a、摩擦阻尼:機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能。b、輻射阻尼:能量輻射出去,形成波(音叉、樂器等)。實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)速度不太大時(shí):為阻尼系數(shù)

。動(dòng)力學(xué)方程:振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)叫做阻尼振動(dòng)。2、阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程:粘滯阻力:由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。

固有角頻率由阻尼系數(shù)決定。阻尼因子(1)時(shí),阻尼較小(欠阻尼),此方程的解:式中:3、阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程的解:欠阻尼特點(diǎn):

振幅隨時(shí)間t

作指數(shù)衰減。近似為簡諧振動(dòng)。阻尼振動(dòng)周期比系統(tǒng)的固有周期長。臨界阻尼:物體不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)的臨界情況。從周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榉侵芷谡駝?dòng)。(3)時(shí),為臨界阻尼。應(yīng)用:阻尼裝置可應(yīng)用于機(jī)器減振或儀器指針調(diào)節(jié)。(2)時(shí),阻尼較大(過阻尼)。無振動(dòng)發(fā)生、非周期運(yùn)動(dòng)欠阻尼臨界阻尼過阻尼9.3.2受迫振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下所作的等幅振動(dòng)。1、受迫振動(dòng)的定義阻尼力:彈性力:2、受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程策動(dòng)力:在阻尼較小的情況下,微分方程的解為:阻尼振動(dòng),隨時(shí)間的推移而消失簡諧振動(dòng),穩(wěn)定解。

經(jīng)一段時(shí)間受迫振動(dòng)變?yōu)橐圆邉?dòng)力的頻率為振動(dòng)頻率的簡諧振動(dòng)。其振幅為:初相位:9.3.3共振當(dāng)策動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí),受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振。共振的振幅共振的角頻率

位移共振時(shí),振幅最大,系統(tǒng)形變最大。1、位移共振:2、速度共振:當(dāng)策動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí),受迫振動(dòng)的速度振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為速度共振。共振的角頻率注意:位移共振與速度共振,條件不同。速度共振時(shí),速率最大,系統(tǒng)動(dòng)能最大。也稱能量共振。共振的速度振幅速度振幅隨阻尼的減小而增大,但共振頻率皆為3、共振的危害及應(yīng)用:利:樂器利用之可提高音效、電磁共振選臺(tái)(收音機(jī))、核磁共振。害:橋梁、建筑物等。1940年11月7日塔科瑪海峽大橋的共振斷塌。1940年7月1日通車,四個(gè)月后戲劇性地被微風(fēng)摧毀9.4機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播9.4.1機(jī)械波的產(chǎn)生3、橫波和縱波(1)橫波:傳播方向與振動(dòng)方向垂直(如:繩上波)

任一波,例如水波、地表波,都能分解為橫波與縱波來進(jìn)行研究。2、機(jī)械波產(chǎn)生的條件:

(1)要有振源(波源);(2)要有傳播振動(dòng)的彈性媒質(zhì)。1、機(jī)械波:機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播。(2)縱波:傳播方向與振動(dòng)方向平行(如:聲波)橫波有波峰和波谷;只能在固體中傳播。縱波有疏部和密部;可在固體、液體和氣體中傳播。由彈性力結(jié)合的連續(xù)媒質(zhì)注意:波動(dòng)只是振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播,不論橫波還是縱波,在傳播過程中,媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn),只是在各自的平衡位置附近振動(dòng)。(2)波前:某時(shí)刻在最前面的波面(3)波射線:沿波的傳播方向作的射線,簡稱波線在各向同性均勻介質(zhì)中,波線與波面垂直.(1)波面:t時(shí)刻相位相同的點(diǎn)組成的空間曲面(波陣面)4、波的幾何描述——波面、波線、波前波面波線波線波面可用任意一條波線上的波動(dòng)情況代表整個(gè)波的傳播情況。9.4.2描寫波動(dòng)的物理量橫波:相鄰的兩個(gè)波峰(或波谷)之間的距離;

縱波:相鄰的兩個(gè)密部(或疏部)之間的距離。波長反映了波的空間周期性。1、波長:同一波線上相鄰的、相位差為2π的兩質(zhì)元間的距離。

即一個(gè)完整波形的長度.()2、周期:波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要的時(shí)間,或一個(gè)完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間(T)周期反映了波的時(shí)間周期性。3、頻率:單位時(shí)間內(nèi)波前進(jìn)距離中所包含的完整波的數(shù)目。(

)4、波速:在波動(dòng)過程中,某一振動(dòng)狀態(tài)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離叫做波速,也稱相速。(u

)②液體、氣體中(僅有縱波)B——液體或氣體的容變彈性模量ρ——媒質(zhì)的密度①固體中橫波:縱波:其中:G——切變彈性模量Y——楊氏彈性模量

——固體媒質(zhì)的密度③柔繩和弦線中橫波其中:F—張力μ—質(zhì)量線密度說明:3)波長由波源和媒質(zhì)共同決定。同一頻率的波其波長將隨媒質(zhì)的不同而不同。僅由波源決定,與媒質(zhì)無關(guān)。1)2)波速的大小取決于媒質(zhì),與頻率無關(guān)。5、波程差對(duì)應(yīng)的相位差波線上相距為的兩點(diǎn)間的相位差為由于波線上單位長度對(duì)應(yīng)的相位差為,所以:9.5平面簡諧波在平面波的傳播過程中,若波源作簡諧振動(dòng),媒質(zhì)中各質(zhì)元均按余弦(或正弦)規(guī)律振動(dòng),則此平面波稱為平面簡諧波。9.5.1平面簡諧波的波函數(shù)1、平面簡諧波平面簡諧波是一種最簡單、最基本的波動(dòng)過程。2、波函數(shù)波動(dòng)過程中,各質(zhì)元的位移y隨時(shí)間t和質(zhì)元所在空間位置x變化的函數(shù)關(guān)系稱為波函數(shù),又稱為波的表示式。x表示不同質(zhì)元在x軸上的坐標(biāo)。y表示離開平衡位置的位移。3、平面簡諧波波函數(shù)的建立在理想無吸收的均勻無限大媒質(zhì)中,要建立平面簡諧波的波函數(shù),只要得到波線上任意點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式即可。要寫出波線上任意點(diǎn)P的振動(dòng)表達(dá)式,可從點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的波程差或時(shí)間差兩個(gè)方面來考慮:(假設(shè)波沿x正方向傳播)(1)由波程差求波函數(shù)點(diǎn)P的相位落后于點(diǎn)O的相位,落后的相位為:設(shè)O點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)方程為則P點(diǎn)的振動(dòng)方程為:由于點(diǎn)P是任意一點(diǎn),因此波動(dòng)過程中任意一點(diǎn)的振動(dòng)位移隨時(shí)間的變化規(guī)律為此即沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)。(2)由時(shí)間差求波函數(shù)點(diǎn)P的振動(dòng)時(shí)間落后于原點(diǎn)O。振動(dòng)從點(diǎn)O傳到點(diǎn)P所需的時(shí)間為P點(diǎn)在t時(shí)刻重復(fù)的是O點(diǎn)t-△t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài):波函數(shù)的不同形式波函數(shù)若波沿x軸負(fù)方向傳播,則波函數(shù)的形式為:9.5.2波函數(shù)的物理意義1、x確定時(shí)(x=x0)為該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程,對(duì)應(yīng)曲線為該處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)曲線。2、t確定時(shí)(t=t0)為該時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)位移分布,對(duì)應(yīng)曲線為該時(shí)刻波形圖。x確定時(shí)t確定時(shí)其中:注意:波形圖與振動(dòng)曲線的區(qū)別3、t,x都變化時(shí),表示不同時(shí)刻,不同平衡位置處各質(zhì)元的位移情況,即所有質(zhì)元位移隨時(shí)間變化的整體情況—行波。波形曲線(波形圖)波函數(shù)描述了波形(相位)的傳播,速度為u在△t時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形以速度u向前推進(jìn)了△x=u△t。例題1、一平面簡諧波沿x軸的正方向傳播,已知其波函數(shù)為(SI)求:(1)波的振幅、波長、周期和波速;(2)媒質(zhì)中質(zhì)元振動(dòng)的最大速度;(3)畫出t1=0.0025s和t2=0.005s時(shí)的波形曲線。解:(1)將已知的波函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式將上式與比較,可得(2)媒質(zhì)中質(zhì)元的振動(dòng)速度為其最大值為(3)t1=0.0025s時(shí),波形表達(dá)式為t2=0.005s時(shí),波形表達(dá)式為y/mt/s波形圖如下所示:例題2、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標(biāo)原點(diǎn)O處質(zhì)元的振幅為0.01m,振動(dòng)周期為0.01s,并且在t=0時(shí)刻,其正好經(jīng)過平衡位置沿正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)波函數(shù);(2)距原點(diǎn)2m處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程;(3)若以2m處為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出波函數(shù)。解:(1)由題意,原點(diǎn)處質(zhì)元在t=0時(shí),初始位移y0=0,初始速度v0>0,根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法得其初相位為因此O點(diǎn)的振動(dòng)方程為所以其波函數(shù)為(2)將x=2m代入波函數(shù),得到2m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為解:(3)如果坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在2m處,則x軸正方向x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位落后了所以新坐標(biāo)下的波函數(shù)為例題2、一平面簡諧波以400m/s的波速沿x軸正方向傳播。已知坐標(biāo)原點(diǎn)O處質(zhì)元的振幅為0.01m,振動(dòng)周期為0.01s,并且在t=0時(shí)刻,其正好經(jīng)過平衡位置沿正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)波函數(shù);(2)距原點(diǎn)2m處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程;(3)若以2m處為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出波函數(shù)。例題3、有一平面簡諧波沿x方向傳播,已知P點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為,在下列四種坐標(biāo)選擇下,寫出波函數(shù)及距P點(diǎn)為b的A點(diǎn)的振動(dòng)方程。解:四種情況下A點(diǎn)的振動(dòng)都比P點(diǎn)落后,根據(jù)相位差可寫出它們對(duì)應(yīng)的波函數(shù):(此時(shí)A點(diǎn)為任意點(diǎn),坐標(biāo)為x)例題4、一平面簡諧波在t=0時(shí)的波形如圖(a)所示,在波線上x=1m處質(zhì)元P的振動(dòng)曲線如圖(b)所示。求該平面簡諧波的波函數(shù)。y/mx/m圖(a)y/mt/s圖(b)解:由圖(a)可得由圖(b)可得由圖(b)可知P點(diǎn)處質(zhì)元在t=0時(shí)向下運(yùn)動(dòng),因此波是沿x軸負(fù)方向傳播的。則對(duì)于O點(diǎn)處,t=0時(shí):由旋轉(zhuǎn)矢量法可得O處質(zhì)元的初相為所以波函數(shù)為例題5、一平面簡諧波在t=1s時(shí)的波形如圖所示。若已知波的振幅A、波速u和波長λ,求:(1)該簡諧波的波函數(shù);(2)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。yx對(duì)于x=0處的質(zhì)點(diǎn),在t=1s時(shí):解:(1)由于波沿x軸負(fù)方向傳播,設(shè)波函數(shù)為由旋轉(zhuǎn)矢量法:所以波函數(shù)為:(2)將代入波函數(shù),得P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為:9.5.3波動(dòng)方程將平面簡諧波的波函數(shù)對(duì)時(shí)間t和對(duì)x分別求二階偏導(dǎo)數(shù),有:平面波波動(dòng)方程推廣:任何物理量滿足上式,則以波動(dòng)形式傳播。9.5.4、波的能量波的傳播過程:(1)振動(dòng)狀態(tài)的傳播(相位)(2)能量的傳播取AB段為研究對(duì)象ρ為弦的質(zhì)量線密度(1)AB段的動(dòng)能:1、行波的能量以弦上橫波為例,其波函數(shù)為:代入上式,得:利用了(2)AB段的勢能:彈性勢能應(yīng)為張力T在線元伸長的過程中所作的功,即:(3)總機(jī)械能:(4)能量密度:(單位體積中的能量ρ為質(zhì)量密度)(5)平均能量密度(對(duì)t求平均)(6)特點(diǎn):相位,大小均相同(注意與振動(dòng)能量相區(qū)別)極大能量極小

極小波形能量以速度u

傳播(由w

的公式可看出)2、波的能流密度:

(描述波的能量傳播的物理量)(1)能流:單位時(shí)間內(nèi)垂直通過波傳播方向上某一面積的能量稱為通過該面積的能流。(2)平均能流:單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一面積的平均能量。如右圖。dt時(shí)間內(nèi),通過面積S的平均能量就等于體積Sudt中的能量。所以,單位時(shí)間內(nèi)通過面積S的平均能量,即平均能流為單位:W波的能流也稱為波的功率。(3)能流密度:單位時(shí)間內(nèi)通過垂直波傳播方向單位面積的平均能流,稱為能流密度或波的強(qiáng)度。單位:W/m2

能流密度是矢量,其方向與波速方向相同。波在媒質(zhì)中傳播時(shí),媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此,波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將減弱,這種現(xiàn)象稱為波的吸收。(4)波的吸收:α為吸收系數(shù),取決于媒質(zhì)和波的頻率9.6波的疊加原理波的干涉9.6.1波的疊加原理當(dāng)幾列波在媒質(zhì)中傳播時(shí):不論是否相遇,各列波仍將保持其原有的頻率、波長、振動(dòng)方向等特征繼續(xù)沿原來的傳播方向前進(jìn),不受其它波的影響。在幾列波相遇處,質(zhì)元的振動(dòng)是各列波單獨(dú)存在時(shí)對(duì)該質(zhì)元所引起振動(dòng)的合成。

——波的疊加原理——波傳播的獨(dú)立性原理能分辨不同的聲音正是這個(gè)原因;疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。9.6.2波的干涉1、干涉現(xiàn)象:

在一定條件下,兩波相遇,在媒質(zhì)中某些位置的點(diǎn)振幅始終最大,另些位置振幅始終最小,而其它位置,振動(dòng)的強(qiáng)弱介乎二者之間,保持不變,這種現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象。2、產(chǎn)生干涉的條件:兩波源具有恒定的相位差。兩波源的振動(dòng)方向相同。兩波源具有相同的頻率。滿足上述條件的稱為相干波。3、干涉加強(qiáng)、減弱條件:設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源S1和S

2

傳播到P點(diǎn)引起的振動(dòng)為:在P點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。由疊加原理,P點(diǎn)合振動(dòng)為:其中:干涉加強(qiáng)的條件干涉減弱的條件當(dāng)兩波源的初相位相同時(shí),相干條件可寫為:干涉加強(qiáng)干涉減弱例題1、如圖所示,S1和S2是兩相干波源,相距1/4波長,S1比S2的相位超前。設(shè)兩列波在S1、S2連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化,問S1、S2連線上在S1外側(cè)各點(diǎn)處的合成波的強(qiáng)度如何?又在S2外側(cè)各點(diǎn)處的強(qiáng)度如何?解:(1)

S1外側(cè)各點(diǎn)以任意點(diǎn)M表示,兩波在此相遇時(shí)的相位差為:所以在S1外側(cè)各點(diǎn)的合振幅A=0,波的強(qiáng)度也為零。(2)S2外側(cè)各點(diǎn)以任意點(diǎn)N表示,兩波在此相遇時(shí)的相位差為:所以在S2外側(cè)各點(diǎn)的合振幅A=2A0,合振動(dòng)強(qiáng)度:為兩波源單獨(dú)存在時(shí)強(qiáng)度的4倍。解選S1處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,向右為x軸正方向,設(shè)點(diǎn)S1

的振動(dòng)初相位為零,由已知條件可得波源S1和S2作簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為:S1

發(fā)出的向右傳播的波的波函數(shù)為:S2

發(fā)出的向左傳播的波的波函數(shù)為:例題2、在同一媒質(zhì)中相距為20m

的兩平面簡諧波源S1

和S2

作同方向,同頻率(=100Hz

)的諧振動(dòng),振幅均為A=0.05m,點(diǎn)S1

為波峰時(shí),點(diǎn)S2

恰為波谷,波速u=200m/s

。求:兩波源連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置。因干涉而靜止的點(diǎn)的條件為:化簡上式,得:所以在兩波源的連線上因干涉而靜止的點(diǎn)的位置分別為:將代入,可得:9.6.3駐波(駐波是干涉的特例)1、駐波:兩列振幅相同,而傳播方向相反的相干波,其合成波是駐波。設(shè)有兩列相干波,振幅相同,初相皆為零,分別沿x軸正、負(fù)方向傳播,選初相位均為零的表達(dá)式為:2、駐波的形成:其合成波稱為駐波,其表達(dá)式:整理可得:駐波方程各點(diǎn)作頻率相同、振幅不同的簡諧振動(dòng)。振幅為隨x變化3、駐波的特征:(1)波節(jié)和波腹:波節(jié):振幅為零的點(diǎn)稱為波節(jié)。波腹:振幅最大的點(diǎn)稱為波腹。兩相鄰波節(jié)間的距離/2。兩相鄰波腹間的距離/2。兩相鄰波節(jié)與波腹間的距離/4。的各點(diǎn)。即:波節(jié)的位置為:的各點(diǎn)。即:波腹的位置為:(應(yīng)用):可用之測量波腹間的距離,來確定波長。(2)相位:(3)波形:相位為相位為*在波節(jié)兩側(cè)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。同時(shí)達(dá)到反向最大或同時(shí)達(dá)到反向最小。速度方向相反。

結(jié)論:*兩個(gè)波節(jié)之間的點(diǎn)其振動(dòng)相位相同。同時(shí)達(dá)到最大或同時(shí)達(dá)到最小。速度方向相同。波形不傳播。能量不傳播——“駐”駐波表達(dá)式中不含項(xiàng),所以駐波不是行波。分段振動(dòng)當(dāng)一列波從波疏媒質(zhì)入射到波密媒質(zhì)的界面時(shí),反射波在反射點(diǎn)有π的相位突變,等效于波多走或少走半個(gè)波長的波程,這種現(xiàn)象稱為半波損失。彈性波:ρu

較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì);

較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì)。波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)形成的駐波在界面處是波腹。無半波損失無半波損失密疏波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)形成的駐波在界面處是波節(jié)。半波損失半波損失密疏9.6.4半波損失例、圖示為一向右傳播的簡諧波在t時(shí)刻的波形圖,BC為波密介質(zhì)的反射面,P點(diǎn)反射,則反射波在t時(shí)刻的波形圖為:[B]例題3設(shè)入射波的波函數(shù)為,在x=0處發(fā)生反射,反射點(diǎn)為一自由端,求:(1)反射波的波函數(shù);(2)合成波(駐波)的波函數(shù),并由合成波的波函數(shù)說明哪些點(diǎn)是波腹,哪些點(diǎn)是波節(jié)?

解:(1)依題意,在x=0處反射,因此入射波在反射點(diǎn)的振動(dòng)方程為反射方向上任意一點(diǎn)P比反射點(diǎn)落后相位,又由于無半波損失,因此反射波的波函數(shù)為(2)合成波的波函數(shù)為顯然,那些點(diǎn),振幅最大(2A),即波腹;的那些點(diǎn),振幅最小(0),是波節(jié)。例題4一列沿x軸正方向傳播的入射波的波函數(shù)為。該波在距坐標(biāo)原點(diǎn)O為x0=5λ處被一垂直面反射,如圖,反射點(diǎn)為一波節(jié)。求:(1)反射波的波函數(shù);(2)駐波的表達(dá)式;(3)原點(diǎn)O到x0間各個(gè)波節(jié)和波腹的坐標(biāo)。解(1)從入射波的波函數(shù)可以確定在原點(diǎn)的振動(dòng)方程為反射波在O點(diǎn)的振動(dòng)相位比入射波在O點(diǎn)的振動(dòng)相位要落后所以反射波在O點(diǎn)的振動(dòng)方程為據(jù)此可寫出反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)為:(2)駐波表達(dá)式為(3)因?yàn)樵c(diǎn)O和x0=5λ處均為波節(jié),鑒于相鄰波節(jié)的間距為λ/2,可知各波節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為又兩波節(jié)之間為一波腹,故波腹點(diǎn)的坐標(biāo)為9.8多普勒效應(yīng)一、多普勒效應(yīng)如果波源或觀察者或兩者都相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng),并且在二者連線方向上有相向或相反的運(yùn)動(dòng)分量時(shí),則觀察者接收到的頻率將不同于波源發(fā)出的頻率,這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。波源頻率:單位時(shí)間內(nèi)波源振動(dòng)的次數(shù)或單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出的“完整波”的數(shù)目。觀察者接收到的頻率:觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的“完整波”的個(gè)數(shù)。波的頻率:單位時(shí)間內(nèi)通過媒質(zhì)中某點(diǎn)的“完整波”的數(shù)目。首先區(qū)別下面三種頻率:二、三種不同情況下頻率的變化表示波源相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度。表示觀察者相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度。表示媒質(zhì)中的波速三

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