空間向量的數(shù)量積運(yùn)算教案

1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【課標(biāo)要求】.掌握空間向量夾角的概念及表示方法，掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律..掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.【核心掃描】.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.(重點(diǎn)).利用空間向量的數(shù)量積求夾角及距離.(難點(diǎn)).空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律.(易錯(cuò)點(diǎn))01*課前探究學(xué)習(xí) 挑戰(zhàn)自我點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)自學(xué)導(dǎo)引.空間向量的夾角定義已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間中任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則/AOB叫做向量a,b的夾角記法a,b>范圍[0,nt]當(dāng)〈a,b>=機(jī),a±b想一想：〈a,b〉與〈b,a〉相等嗎？〈a,b〉與〈a,—b〉呢？提示〈a,b>=〈b,a〉，〈a,—b〉=兀一〈a,b>..空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量 a,b,則|a||bCos〈a,b〉叫做a,b的數(shù)量積，記作ab.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(冶)b=Kab)交換律ab=ba分配律a(b+c)=ab+ac⑶數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若a,b是非零向量，則a1b?ab=0.(2)若a與b同向,則ab=|a||b|;若反向，則ab=—|a||b|.特別地：aa=|a|2或|a|=M0'aab(3)若。為a,b的夾角，則cos仁麗.(4)|ab日a||叫想一想：類比平面向量，你能說(shuō)出 ab的幾何意義嗎？提示數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.名師點(diǎn)睛.空間向量夾角的理解(1)任意兩個(gè)空間向量均是共面的，故空間向量夾角范圍同兩平面向量夾角范圍一樣，即 ［0,兀J兀(2)空間向量的夾角在［0,nt之間，但空間兩異面直線夾角在 (0,習(xí)內(nèi)，利用向量求兩異面直線夾角時(shí)注意轉(zhuǎn)化，兩異面直線的夾角余弦值一定為非負(fù)數(shù)..平面向量與空間向量數(shù)量積的關(guān)系由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量， 所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)、 向量的模的概念和表示符號(hào)、 以及運(yùn)算律等都與平面向量相同.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用由于空間向量的數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān)， 所以立體幾何中的許多問(wèn)題， 如距離、夾角、垂直等問(wèn)題的求解，都可借助于向量的數(shù)量積運(yùn)算解決.ab(1)ab=|a||bCos〈a,b〉，則cos〈a,b>=而］/可用來(lái)求兩個(gè)向重的夾角.(2)aXb?ab=0,用于判斷兩個(gè)向量的垂直.(3)|a|2=aa,用于對(duì)向量模的計(jì)算，求兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度.注意：①數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律若a,b,c(bw0)為實(shí)數(shù)，則ab=bc?a=c;但對(duì)于向量就不正確，即 ab=bc(bW0)?/a=c.②數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律，分配律及數(shù)乘Z合律，但不適合乘法結(jié)合律，即 (ab)c不一定等于a(bc).這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.問(wèn)題一：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離例1已知向量a±b,向量c與反b的夾角都是601且a=1,b=2,c=3,試求（1）a+b⑵（a+b-c）思路：利用向量的平方等于模長(zhǎng)的平方求解，老師先復(fù)習(xí)平面向量的基本知識(shí)，然后引導(dǎo)學(xué)生這兩個(gè)例題，第一個(gè)稍微對(duì)下答案，第二個(gè)引導(dǎo)學(xué)生如何將三個(gè)向量的平方展開(kāi)，中心思想就是將前面兩個(gè)看成一個(gè)數(shù)，然后利用完全平方和展開(kāi) ^變式練習(xí)如圖所示，平行六面體ABCDAiBiCiDi中，AB=1,AD=2,AA1=3,/BAD=90°,/BAAi=/DAAi=60°,求ACi的長(zhǎng).（學(xué)生上黑板演練，老師公布答案）［思路探索］利用|屆1|2=/12=（屆+俞+京1）2求解. .PlC,解因?yàn)閱a(chǎn)苑+起+京， I/一"『所以忘2=漏+AD+京）2 , —"cA R=AB2+AD2+AA12+2（ABAD+ABAA1+ADAA1）.因?yàn)?BAD=90°,ZBAA1=ZDAA1=60°,所以〈AB,AD〉=90°,〈AB,aA1〉=〈AD,AA1>=60°所以/12=1+4+9+2（1X3Xcos60+2X3Xcos60）=23.因?yàn)锳C12=AC1I2,所以|/1|2=23,AC1尸而，即AC1=V23.規(guī)律方法利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離， 可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|=再求解即可.問(wèn)題二：求數(shù)量積例2：如圖所示，已知正四面體O-ABC的棱長(zhǎng)為1,求OAOB、ABOC. 入（第一個(gè)請(qǐng)學(xué)生回答，第二個(gè)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接找兩個(gè)向量的夾角是行 /1\Axp>c

不通的，所以要將兩個(gè)向量用其他向量表示， 將未知向量轉(zhuǎn)化成已知向量， 最好是化成同起點(diǎn)的已知向量,更能方表找到夾角）1 i— 41解：OAOB=OAOBcos60=—2AB=OB-OA,ABOC=(OB-OA)OC=0變式變式練習(xí)：已知長(zhǎng)方體ABCD—AiBiCiDi中，AB=AA1=2,AD=4,F為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算:算:1,且a,b,1,且a,b,c三個(gè)向量?jī)蓛蓨A角均為 60°,BD?AF （學(xué)生自主完成，喊通學(xué)生黑板演練，適當(dāng)講評(píng)，總結(jié)一般在六面體中其他向量基本裝化成同起點(diǎn)的三條棱為基本向量）探究：利用數(shù)量積求夾角如圖所示，已知S是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA=SB=SC=1,M、N分別是AB、SC的中點(diǎn)，求異面直線SM與BN所成角的余弦值.（學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求夾角可以轉(zhuǎn)化成求數(shù)量積和求模長(zhǎng)兩個(gè)問(wèn)題）解設(shè)SA=a,SB=b,SC=c,貝U|a|=|b|=|c|=ab=bc=ac=1TOC\o"1-5"\h\z士—7 17 3 7-SMBN=2(SA+SB)(.SN—SB)=2(a+b)(2c-b)11 1 2=2(2ac—ab+2bc—b)=-(-x1--+1x1-1)=-12(22222 , 2.一一 -1cos<SM,…穿皿=k2T=-2|SM||BN|近迫322所以，異面直線SM與BN所成角的余弦值為2.3

思路探索］可先求向量OA與BC的夾角，再根據(jù)異面直線的夾角與向量的夾角之間的關(guān)系得出最后結(jié)果.規(guī)律方法在異面直線上取兩個(gè)向量，則兩異面直線所成角的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問(wèn)題. 需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)角的關(guān)系可能相等也可能互補(bǔ)六.小結(jié)（1）夾角、空間向量數(shù)量積、運(yùn)算律（2）夾角、距離的求法（五）課后鞏固：1.已知空間四邊形ABCD,求ABCD