廣東省汕頭市工業(yè)職業(yè)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省汕頭市工業(yè)職業(yè)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，則角B的值為()A．

B．

C．或

D．或參考答案：B2.復(fù)數(shù)z的虛部為，模為2，則該復(fù)數(shù)z=(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C略3.根據(jù)右邊給出的數(shù)塔猜測(cè)1234569+8=（

）A.1111110

19+2=11B.1111111

129+3=111C.1111112

1239+4=1111D.1111113

12349+5=11111參考答案：C略4.已知兩點(diǎn)，向量若，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．-2

B．-1

C．1

D．2參考答案：B5.觀察，，

，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知，則A. B. C. D.參考答案：A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．7.據(jù)研究，甲磁盤(pán)受到病毒感染的量（單位：比特?cái)?shù)）與時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，乙磁盤(pán)受到病毒感染的量（單位：比特?cái)?shù)）與時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，顯然當(dāng)時(shí)，甲磁盤(pán)受病毒感染的增長(zhǎng)率比乙磁盤(pán)受病毒感染的增長(zhǎng)率大。根據(jù)上述事實(shí)可以提煉出的一個(gè)不等式為A．

B．

C．

D．）參考答案：C8.已知是虛數(shù)單位，，則=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為（

）A

472

B252

C

232

D

484參考答案：A10.在空間中，給出下列說(shuō)法：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；④過(guò)平面的一條斜線，有且只有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確的是（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③參考答案：B分析】說(shuō)法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法③：當(dāng)與相交時(shí)，是否在平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，進(jìn)行判斷；說(shuō)法④：可以通過(guò)反證法進(jìn)行判斷.【詳解】①平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

當(dāng)時(shí)的值為_(kāi)________。參考答案：012.已知i為虛數(shù)單位，設(shè)z=1+i+i2+i3+…+i9，則|z|=．參考答案：【考點(diǎn)】A1：虛數(shù)單位i及其性質(zhì)．【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和化簡(jiǎn)，再由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)得答案．【解答】解：∵z=1+i+i2+i3+…+i9==1+i．∴|z|=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．13.已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是

．參考答案：（﹣7，3）【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；74：一元二次不等式的解法．【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得：f（｜x+2｜）=f（x+2），則f（x+2）＜5可變?yōu)閒（｜x+2｜）＜5，代入已知表達(dá)式可表示出不等式，先解出｜x+2｜的范圍，再求x范圍即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（｜x+2｜）=f（x+2），則f（x+2）＜5可化為f（｜x+2｜）＜5，即｜x+2｜2﹣4｜x+2｜＜5，（｜x+2｜+1）（｜x+2｜﹣5）＜0，所以｜x+2｜＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案為：（﹣7，3）．14.已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且，，，則此三棱錐外接球的表面積為_(kāi)____參考答案：16π【分析】以，，為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，則所求外接球半徑即為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半，利用勾股定理求解得到半徑，代入球的表面積公式求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，，，兩兩互相垂直以，，為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球長(zhǎng)方體外接球半徑R為其體對(duì)角線長(zhǎng)的一半此三棱錐外接球的表面積：本題正確結(jié)果：16π【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球的表面積求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩兩互相垂直的關(guān)系構(gòu)造出長(zhǎng)方體，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼忾L(zhǎng)方體外接球的問(wèn)題.15.某種元件用滿6000小時(shí)未壞的概率是，用滿10000小時(shí)未壞的概率是，現(xiàn)有一個(gè)此種元件，已經(jīng)用過(guò)6000小時(shí)未壞，則它能用到10000小時(shí)的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】直接利用條件概率的計(jì)算公式，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：由于使用6000小時(shí)的概率是，能使用10000小時(shí)的概率是，則在已經(jīng)使用了6000小時(shí)的情況下，還能繼續(xù)使用到10000小時(shí)的概率為=．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查條件概率的計(jì)算公式P（B|A）=的應(yīng)用，屬于中檔題．16.對(duì)于曲線C：+=1，給出下面四個(gè)命題：（1）曲線C不可能表示橢圓；（2）若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜k＜；（3）若曲線C表示雙曲線，則k＜1或k＞4；（4）當(dāng)1＜k＜4時(shí)曲線C表示橢圓，其中正確的是(

)A．（2）（3） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）參考答案：A【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征．【專(zhuān)題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可．【解答】解：（1）當(dāng)，即k∈（1，）∪（，4）時(shí)，曲線C表示橢圓，∴（1）錯(cuò)誤；（2）若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4﹣k＞k﹣1＞0，解得1＜k＜，∴（2）正確；（3）若曲線C表示雙曲線，則（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞4或k＜1，∴（3）正確；（4）當(dāng)k=時(shí)，4﹣k=k﹣1，此時(shí)曲線表示為圓，∴（4）錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線的方程，根據(jù)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義是解決本題的關(guān)鍵．17.已知為鈍角，sin（+）=，則sin（－）=

.參考答案： 試題分析：有題意可得cos（+）=±,由因?yàn)闉殁g角，所以cos（+）=，所以sin（－）=cos[-（-）]=cos（+）=.考點(diǎn)：1.誘導(dǎo)公式；2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角為60°．（Ⅰ）求直線A1C與底面ABC所成的角；（Ⅱ）在線段A1C1上是否存在點(diǎn)P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求出C1P的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）過(guò)B1作B1O⊥BC于O，證明B1O⊥平面ABC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐標(biāo)，底面ABC的法向量，設(shè)直線A1C與底面ABC所成的角為θ，通過(guò)，求出直線A1C與底面ABC所成的角．（Ⅱ）假設(shè)在線段A1C1上存在點(diǎn)P，設(shè)=，通過(guò)求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通過(guò)=0，求出．．求解．【解答】（本題滿分14分）解：（Ⅰ）過(guò)B1作B1O⊥BC于O，∵側(cè)面BCC1B1⊥平面ABC，∴B1O⊥平面ABC，∴∠B1BC=60°．又∵BCC1B1是菱形，∴O為BC的中點(diǎn)．…以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，B（0，﹣1，0），C（0，1，0），，，∴，又底面ABC的法向量…設(shè)直線A1C與底面ABC所成的角為θ，則，∴θ=45°所以，直線A1C與底面ABC所成的角為45°．

…（Ⅱ）假設(shè)在線段A1C1上存在點(diǎn)P，設(shè)=，則，，．…設(shè)平面B1CP的法向量，則．令z=1，則，，∴．

…設(shè)平面ACC1A1的法向量，則令z=1，則，x=1，∴．

…要使平面B1CP⊥平面ACC1A1，則==．∴．∴．

…19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，；數(shù)列的前項(xiàng)和是，且。（I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）記，設(shè)的前n項(xiàng)和，求證：。參考答案：20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：xy-1131-113(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若函數(shù)y＝f(kx)(k＞0)周期為，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，方程f(kx)＝m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；參考答案：(1)f(x)＝2sin(x－)＋1;(2)[＋1,3)(1)設(shè)f(x)的最小正周期為T(mén)，得T＝－(－)＝2π，由T＝，得ω＝1.-----------------1分又----------------3分 令ω·＋φ＝，即＋φ＝，

解得φ＝－，∴f(x)＝2sin(x－)＋1.-----------------5分(2)∵函數(shù)y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期為，又k＞0，∴k＝3.-------6分令t＝3x－，∵x∈[0，]，∴t∈[－，]如圖sint＝s在[－，]上有兩個(gè)不同的解的充要條件是s∈[，1)，-----------10分∴方程f(kx)＝m在x∈[0，]時(shí)恰好有兩個(gè)不同的解，m∈[＋1,3)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[＋1,3)．--------------------12分

21.（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.參考答案：證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0·＝1，∴原等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，則有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k，∴n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)得對(duì)任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.22.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1B1的中點(diǎn)，．（I）求證：A1C∥平面BMC1；（II）若，求二面角的余弦值．參考答案：（I）見(jiàn)解析；（II）【分析】（I）利用直線與平面平行的判定定理，即可證得平面；（II）以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求