廣東省河源市東水中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省河源市東水中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（

）象限.A．一

B．二

C．三

D．四參考答案：B2.若某市8所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．91 B．91.5 C．92 D．92.5參考答案：B【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】把莖葉圖中的數(shù)據(jù)按照大小順序排列，求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，按照大小順序排列為，87、88、90、91、92、93、94、97；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=91.5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)求中位數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．3.如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③面；④EP⊥面SAC，其中恒成立的為（

）A.①③ B.③④ C.①② D.②③④參考答案：A連接相交于點(diǎn),連接.在①中,由正四棱錐,可得底面面.分別是的中點(diǎn),平面平面平面,故①正確;在②中,由異面直線的定義可知,和是異面直線,不可能,因此不正確;在③中,由①可知,平面//平面,平面,因此正確;在④中,由①同理可得,平面,若平面,則,與相矛盾,因此當(dāng)與不重合時(shí),與平面不垂直,即不正確.故選A.4.隨機(jī)調(diào)查某校110名學(xué)生是否喜歡跳舞，由列聯(lián)表和公式K2=計(jì)算出K2，并由此作出結(jié)論：“有99%的可能性認(rèn)為學(xué)生喜歡跳舞與性別有關(guān)”，則K2可以為（）附表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635A．3.565 B．4.204 C．5.233 D．6.842參考答案：D【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)有99%的可能性認(rèn)為學(xué)生喜歡跳舞與性別有關(guān)，可得K2＞6.635，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵有99%的可能性認(rèn)為學(xué)生喜歡跳舞與性別有關(guān)，∴K2＞6.635，故選：D．5.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．18

B．17

C．16

D．15參考答案：C6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（1，+∞）上遞增的是（）A．y=x3﹣6x B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x3﹣3x參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)的定義，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．【解答】解：A．y=x3﹣6x，y′=3（x2﹣2）；∴時(shí)，y′＜0，即該函數(shù)在上遞減；∴該函數(shù)在（1，+∞）上不遞增，即該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．y=x2﹣2x的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．y=sinx在（1，+∞）上沒(méi)有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．y=x3﹣3x，（﹣x）3﹣3（﹣x）=﹣（x3﹣3x）；∴該函數(shù)為奇函數(shù)；y′=3（x2﹣1），x＞1時(shí)，y′＞0；∴該函數(shù)在（1，+∞）上遞增，∴該選項(xiàng)正確．故選：D．7.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角．【分析】由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【解答】解：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且為平面BB1D1D的一個(gè)法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為故答案為D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系這一利用向量方法解決了抽象的立體幾何問(wèn)題．8.已知直線y＝x＋b，b∈[－2,3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率為()A.

B.

C.

D.參考答案：B9.已知圓的圓心為，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的中垂線和直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A.

B. C. D.參考答案：C略10.過(guò)點(diǎn)（2,1）的直線中，被圓截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的直線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小為．參考答案：120°【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得結(jié)論．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案為：120°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知向量，若，則___________；若則____________。參考答案：，-6略13.有下列五個(gè)命題：①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題．②若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．③在中，“”是“三個(gè)角成等差數(shù)列”的充要條件．④已知△ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B(0，4)，C(0，4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是．⑤已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量也是空間的一個(gè)基底．其中真命題的序號(hào)是___▲___．參考答案：①③⑤略14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，且PF1=2，則PF2的值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】橢圓焦點(diǎn)在x軸上，a=3，橢圓的定義可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=6，則丨PF2丨=4．【解答】解：由題意可知：橢圓焦點(diǎn)在x軸上，a=3，b=2，c=，由橢圓的定義可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=6，由丨PF1丨=2，則丨PF2丨=4，∴丨PF2丨的值為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.（不等式選講選做題）不等式|x2-3x-4|＞x+1的解集為_(kāi)_______

參考答案：16.一箱內(nèi)有十張標(biāo)有0到9的卡片,從中任取一張,則取到卡片上的數(shù)字不小于6的概率是____參考答案：17.f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分別是

參考答案：21，.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ為實(shí)數(shù)）．（1）求二面角D1-AC-D的余弦值；（2）當(dāng)λ=時(shí)，求直線EF與平面D1AC所成角的正弦值的大??；（3）求證：直線與直線不可能垂直．參考答案：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則，．

設(shè)平面的法向量為，則．即．令，則．

∴平面的一個(gè)法向量．

又平面的一個(gè)法向量為．故，即二面角的余弦值為．（2）當(dāng)λ=時(shí)，E（0，1，2），F(xiàn)（1，4，0），．所以．

因?yàn)椋詾殇J角，從而直線EF與平面所成角的正弦值的大小為．

（3）假設(shè)，則．∵，∴，．

∴．化簡(jiǎn)得．該方程無(wú)解，所以假設(shè)不成立，即直線不可能與直線不可能垂直．19.已知函數(shù).若在上的值域?yàn)閰^(qū)間D，試問(wèn)是否存在常數(shù)n，使得區(qū)間D的長(zhǎng)度為？若存在，求出所有n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：區(qū)間的長(zhǎng)度為）.參考答案：.原問(wèn)題等價(jià)于在上的值域的區(qū)間長(zhǎng)度為.①當(dāng)，即時(shí)，由，即，得.②當(dāng)，即時(shí)，由，∴，又，∴不合題意.③當(dāng)，即時(shí)，由.解得或，又，∴.綜上所述：只有符合題意.20.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程：（2）直線y=kx（k∈R，k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，D點(diǎn)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且|AD|=|BD|，請(qǐng)問(wèn)△ABD的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)直線AB的方程：若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)題意，，求出a，b，即可求出橢圓C的方程；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出△ABD的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，，∴a=2，b=1，∴橢圓C的方程：=1；（2）D在AB的垂直平分線上，∴OD：y=﹣x．，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4，同理可得|OC|=2，則S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=．由于≤，所以S△ABC=2S△OAC≥，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4（k＞0），即k=1時(shí)取等號(hào)．△ABD的面積取最小值．直線AB的方程為y=x．21.若二次函數(shù)滿足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若在區(qū)間[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；待定系數(shù)法． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解．由二次函數(shù)可設(shè)f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，從而問(wèn)題解決； （2）欲使在區(qū)間[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．【解答】解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1， ∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1 ∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x， ∴ ∴f（x）=x2﹣x+1 （2）由題意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立， 即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立 其對(duì)稱軸為，∴g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是減函數(shù)， ∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0， ∴m＜﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題． 22.已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線方程為．（1）若函數(shù)在時(shí)有極值，求的表達(dá)式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）（2）試題分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，由題意點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程為y=-3x+1，可得f′（1）=-3，再根據(jù)f（1）=-1，又由f′（-2）=0聯(lián)立方程求出a，b，c，從而求出f（x）的表達(dá)式．（2）由題意函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)其求導(dǎo)可得f′（x）在區(qū)間大于或等于0，從而求出b的范圍試題解析：，┉…………1分因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為-3，所以，即，┉…………2分又得．┉…………3分